더플러스수학학원

수학과 공부이야기

• [더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!....

  수학과 공부이야기 2022. 6. 17. 16:19

  [더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!....꽃들에게 희망을!!!!! 호랑애벌레.... 올라간다. 위에는 아무것도 없다. 허무하다. 주위의 애벌레에게 말을 해도 알아듣지 못한다.노랑애벌레... 나비가 되어 애벌레 기둥에 먼저 올라가서 없다는 것을 미리 안다. 우리는 어떤 애벌레가 되어야 할까?우리 학생들과 어머님들은 이학원 저학원 다니면서 학생들이 공부 잘 하게 노력하신다.그러나 학생들과 어머님들은 이학원이 더 잘가르치는지 저학원이 잘 가르치는지 평가하는 능력만 올라간다. 그러나 학생들의 수학실력은......? 수학 잘하는 방법은 없다. 학원에 없다. 학생에게 있다는 것을 빨리 깨달아야 한다.우리 학생들은 수업을 너무 많이 듣는다. 수업을 많이 듣는다고 문제를 ..

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• [옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 3. 22. 01:09

  울산과학고 학생들이 공부하는 AP-Calculus(미적분학)를 학원에서 가르치다 보면 해석학에서 나오는 개념들인 상계, 하계 등등에 대한 개념을 정리할 필요성을 느낀다. 먼저 상한(최소상계)와 최대값의 개념이 혼란스러울 것이다.예를 들어 유한집합 $\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}$를 생각해 보면, 이 집합 $\displaystyle S$의 최댓값은 $\displaystyle 4$로 존재한다.그런데 다음과 같은 무한집합 $\displaystyle S_2 = [0,~2)$에서는 최댓값은 존재하지 않는다.그런데 여기서 $\displaystyle 2$는 집합 $\displaystyle S_2$의 원소는 아니지만 또, \(\displays..

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• [AP-Calculus] Proof of $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L$ [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 3. 16. 22:03

  Prove that $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ if and only if $\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow }f(a+h)=L$. (Use the precise definition of limits with $\displaystyle \epsilon-\delta$) -극한에 대한 엄밀한 정의인 $\displaystyle \epsilon-\delta$논법을 이용하여 다음이 서로 동치-필요충분조건임을 보이시오. $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ $\displaystyle \Longleftrightarrow$ \(\..

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• [AP-Calculus] 고려대 미적분학 기출 (Spring, 2010) [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 3. 12. 21:48

  2010학년도 봄, 고려대 미적분학 기출 Calculus Ⅰ Exam 1(Spring, 2010) 1. (15 pts) Let $\displaystyle f ( x)= {\begin{cases}x ^{2} +1, ~& \rm {if}~ x \leq 0\\x ^{3} +1, ~&\rm{if}~ x>0\end{cases}}$ Use the '$\displaystyle \epsilon - \delta$ argument' to show that $\displaystyle f$ is continuous on the real line. 2. (15 pts) Let $\displaystyle f$ be a polynomial and let {\(\displaystyle x _{0} ,x _{1}..

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• [더플러스수학] 증가함수(또는 감소함수)의 역함수도 증가함수(또는 감소함수)이다.

  수학과 공부이야기 2022. 3. 5. 10:58

  정의 증가함수함수 $\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)$가 다음 조건을 만족할 때를 (순)증가함수-strictly increasing function라고 한다.임의의 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$에 대하여 \(\displaystyle x_1 또, 다음을 만족하면 단조증가함수(monotonic increasing function) 또는 감소하지 않는 함수(non-decreasing function)이라 한다.\(\displaystyle x_1 증가함수를 부정하면 즉, 증가함수가 아님을 보기 위해서는 위의 (i)을 부정하면 된다."모든, 어떤"을 포함하고, "~이면~"을 포함한 명제의 부정은 다음의 글을 ..

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• [고려대 미적분학 기출] 2018년 2학기 미적분학1 -exam1

  수학과 공부이야기 2022. 2. 24. 11:17

  1. Using the precise definition of limit, show that $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 1}\frac{x^2 +1}{x^3 +x}=1$. (12pts) 2. If $\displaystyle f(x)$ and $\displaystyle g(x)$ are differentiable functions such that $\displaystyle f \left( g(x)\right)=\tan x$ and $\displaystyle f'(x)=1+f^2 (x)$, \(\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}

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• [카이스트 미적분기출] 2008 Midterm Exam of Calculus I [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 2. 20. 19:38

  1. Let $\displaystyle f(x) = 2x + cos x$. (a) (8 points) Verify that $\displaystyle f$ has an inverse. (b) (8 points) Find $\displaystyle (f ^{−1} ) ( \pi)$. 2. (15 points) Let $\displaystyle f(x) = \sqrt{4x+1}$. Use the formal $\displaystyle \epsilon-\delta$ definition of limit with given $\displaystyle \epsilon =1$ to explain that $\displaystyle f$ is continuous at \(\displayst..

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• [수학의 기초] 일대일 대응인 연속함수는 그 역함수도 연속함수이다.

  수학과 공부이야기 2022. 2. 16. 12:52

  과학고 AP-Calculus수업에서 다음 명제와 부딪혔다. 이것을 증명해 보자.정리  열린 구간 $\displaystyle  (a,~b)$에서 정의된 일대일 대응인 연속함수 $\displaystyle f$를 생각하자. 그러면 함수 $\displaystyle f$의 역함수인 $\displaystyle f^{-1}$도 연속함수이다. 위의 명제를 증명하기 위해서는 먼저 다음의 보조정리를 증명한다.열린 구간 $\displaystyle  (a,~b)$에서 정의된 일대일 대응인 연속함수 $\displaystyle  f$는 그 구간에서 증가함수이거나 감소함수이다. (증명) 귀류법으로 증명하자. 만약 함수 $\displaystyle  f$가 증가함수도 감소함수도 아니라고 가정하면아래의 두 경..

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• [수학의 기초] 삼각부등식 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 2. 13. 14:37

  과학고 AP-Calculus 수업을 할 때, 특히 극한을 $\displaystyle \epsilon-\delta$ 논법을 이용하여 증명할 때, 많이 나온다. 물론 이 내용은 수학 하에서 부등식의 증명단원에서 절댓값을 포함한 부등식을 증명할 때, 예로 나온다.먼저 중학교 1학년에서 배운 절댓값의 정의에서 시작하자.절댓값실수 $\displaystyle x$에 대하여 절댓값 $\displaystyle x$ 즉, $\displaystyle \left| x \right|$는 원점으로부터 실수 $\displaystyle x$까지의 거리를 나타낸다. 예를 들어 $\displaystyle \left| -5 \right|$는 수직선에서 원점 $\displaystyle 0$로부터 점..

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• [카이스트 방학숙제2] winter 2022 assignment 2 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 1. 27. 16:05

  Problem 1Suppose that a function $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies the following conditions for all real values $\displaystyle x$ and $\displaystyle y$:(i) $\displaystyle f(x + y) = f(x) · f(y)$.(ii) $\displaystyle f(x) = 1 + xg(x)$, where $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x) = 1$Show that the derivative f′(x) exists at every value of x (tha..

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