더플러스수학학원

27학년도 울산과고 입시 준비

울산과고전문 더플러스수학학원 — Tue, 19 May 2026 11:16:26 +0900

27학년도 울산과고 입시 준비,
지금은 ‘막연한 선행’보다 정확한 진단이 먼저입니다.
중3이 되면 많은 학생들이
“어디까지 공부했는가”에만 집중합니다.
하지만 울산과고 입시에서는
단순히 진도를 많이 나간 것보다,
✔ 수학적으로 생각하는 힘
✔ 조건을 해석하고 설명하는 능력
✔ 생기부에 드러나는 탐구 방향
✔ 구술 상황에서 자신의 생각을 말하는 힘
이 더 중요하게 작용합니다.

더플러스수학은
학생을 시스템에 맞추는 방식이 아니라,
학생 개인의 현재 상태를 먼저 진단하고
그 학생에게 맞는 입시 준비 방향을 설계합니다.
이번 상담은
원장 권도형의 1:1 대면 진단으로 진행되며,
필요한 경우 정밀 평가 보고서를 통해
학생의 수학적 사고력과 생기부 보완 방향까지 함께 확인할 수 있습니다.
5월에는 진단하고,
7월에는 방향을 완성해야 합니다.
울산과고를 준비하는 중3 학생이라면
지금 자신의 위치를 정확히 확인해보세요.
대상
울산 경남권 과고 지망 중3 학생 및 학부모
기간
2026. 5. 6 ~ 6. 12
장소
더플러스수학학원
울산 격동초 앞 GS25 건너편 2층
문의
052-260-9981
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[더플러스수학 학원 앱] 개인정보 처리방침

울산과고전문 더플러스수학학원 — Tue, 2 Dec 2025 20:48:52 +0900

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전자적 파일 형태: 복구가 불가능한 기술적 방법(영구 삭제 등)을 사용하여 삭제
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- 소속: 더플러스수학학원
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공고일자: 2025년 12월 2일
시행일자: 2025년 12월 2일

[수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(2)

울산과고전문 더플러스수학학원 — Mon, 1 Sep 2025 23:37:12 +0900

울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 오늘은 울산과고입학을 위한 자소서에서 수학의 주제로 학생들이 자주 쓰는 세르보어 정리에 대해 알아보자.

특히 학생들이 정확히 이해하지 못하면 엄청난 긴장이 있는 과고면접에서 제대로 말하지 못할 것입니다. 한줄 한줄 정확히 이해하려고 노력합시다.

(정리) 세르보어 정리 (Servoir's Theorem)
삼각형 $\triangle \mathrm {ABC}$에서 선분 $\mathrm{\overline{BC}}$의 중점을 $\mathrm M$이라 하자. 또, 외심을 $\mathrm O$, 수심을 $\mathrm H$라 할 때, 다음 성질을 만족한다.
$\displaystyle \mathrm{\overline{AH}= 2 \overline{OM}}$

(증명) 다음 그림에서 보듯이 점 $\mathrm C$에서 외심 $\mathrm O$를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 $\mathrm D$라 하자. 또, 점 $\mathrm B$에서 선분 $\mathrm{\overline{AC}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm E$라 하자.

$\mathrm {\overline{CD}}$가 지름이므로 $\mathrm {\angle DBC}=90^{\circ}$이다. 또 점 $\mathrm H$가 수심이므로 $\mathrm {\overline{AH} \bot \overline{BC} }$

$\mathrm {\overline{BD}} //\mathrm {\overline{AH}}$

또, $\mathrm {\overline{CD}}$가 지름이므로 $\mathrm {\angle DAC}=90^{\circ}$이다. 또 점 $\mathrm H$가 수심이므로 $\mathrm {\overline{AE} \bot \overline{AC} }$

$\mathrm {\overline{DA}} //\mathrm {\overline{BH}}$

따라서 $\mathrm { ADBH}$는 평행사변형이므로

$\mathrm {\overline{BD}} =\mathrm {\overline{AH}}$ $\cdots\cdots$ (i)

한편 $\mathrm {\overline{BM}} =\mathrm {\overline{CM}}$, $\mathrm {OC} =\mathrm {OD}$이므로 $\triangle \mathrm { CBD}$에서 중점연결정리에 의해

$\mathrm {\overline{BD}} =2\mathrm {\overline{OM}}$ $\cdots\cdots$ (ii)

$ \therefore~ \mathrm {\overline{OM}}: \mathrm {\overline{AH}}= 1:2$ $\Box$

(정리) 오일러 직선 (Euler Line)
삼각형 $\triangle \mathrm {ABC}$에서 외심을 $\mathrm O$, 수심을 $\mathrm H$, 무게중심을
$\mathrm G$라 할 때, 이 세 점 $\mathrm {O,~G,~H}$는 항상 같은 직선 위에 존재하고, 이 직선을 오일러 직선(Euler line)이라고 한다.
또, 이 세 점은 다음의 비례식을 만족한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{OG} :\overline{GH}}=1:2$

이 증명은 위의 세르보어 정리를 사용하면 아주 쉽게 할 수 있다.

(증명) 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$과 $L$의 교점을 $\mathrm G$라 하자.

세르보어 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM} :\overline{AH}}=1:2$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM} //\overline{AH}}$이므로

$\displaystyle \mathrm{\angle{GOM} =\angle{GHA}}$, $\displaystyle \mathrm{\angle{OMG} =\angle{GAH}}$

이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle{GOM} \sim \triangle{GHA}}$

닮은비는 $1:2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AG} :\overline{GM}}=2:1$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$이 중선이므로 점 $G$는 $\displaystyle \mathrm{\triangle{ABC}}$의 무게중심이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{ O,~G,~H}$는 같은 직선 위에 있다. 즉, 오일러직선이다.

$\Box$

2025.09.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(1)

[수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(1)

울산과고전문 더플러스수학학원 — Mon, 1 Sep 2025 21:44:35 +0900

울산과학고를 준비하는 중3이라면, 자기소개서에 단순한 성적 말고도 “내가 어떤 수학적 탐구를 했는가”를 보여주기 위해 자소서에 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 등을 탐구주제로 선택합니다. 특히 울산 옥동에 있는 수학학원인 울산과고전문 더플러스수학학원에 자소서를 준비하는 학생들도 예외없이 이 주제를 선택했습니다.

이에 학생들이 스스로 문제들을 증명하여 소집면접 때 어떤 과정을 통해 이해했고, 거기서 무엇을 배웠는가에 대해 답변할 수 있게 최대한 자세히 증명과정을 서술하겠습니다. 한줄 한줄 잘 이해하기를 바랍니다. 이것은 외운다고 해결되지 않습니다.

먼저 구점원에 대해 알아보자.

(정의) 구점원(Nine-Point Circle, Euler Circle)
삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{D,~E,~F}$라 하고, 또, 세 변 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC},~\overline{CA},~\overline{AB}}$의 중점을 각각 $\displaystyle \mathrm {P,~Q,~R}$이라 하자. 또, 수심 $\displaystyle \mathrm H$와 세 꼭짓점
$\displaystyle \mathrm{A,~B,~C}$의 중점을 각각 $\displaystyle \mathrm{L,~M,~N}$이라 하면 이 아홉개의 점
$\displaystyle \mathrm{D,~E,~F, ~P,~Q,~R,~L,~M,~N}$은 모두 하나의 원 위에 놓여있다.
이 원을 구점원(Nine-Point_Circle or Euler Circle)이라고 부른다.
또, 구점원의 중심은 삼각형의 외심 $\mathrm O$과 수심 $\mathrm H$의 중점에 위치한다. 구점원의 반지름은 외접원의 반지름의 $\displaystyle \frac 1 2$이다.

위의 그림에서 보듯이 삼각형 안에 특별한 9개의 점을 찍어보자.

세 변의 한가운데 점(중점 $ 3 $ 개)
세 꼭짓점에서 반대쪽 변으로 내린 수선이 만나는 점(발 $ 3 $ 개)
꼭짓점과 삼각형 안의 수심을 연결했을 때, 그 중간에 있는 점(중점 $ 3 $ 개)

이렇게 총 $9 $ 개 점을 찍으면, 신기하게도 이 $ 9 $ 개 점이 하나의 원 위에 정확히 올라가게 됩니다. 이 원을 구점원이라고 부릅니다.

게다가 이 원의 중심은 “외심과 수심을 잇는 선분의 한가운데”에 있고, 반지름은 삼각형을 둘러싼 큰 원(외접원)의 반지름의 절반이다.

위의 그림에서 보듯이 먼저 사각형 $\displaystyle \mathrm{ LMPQ}$가 직사각형임을 보이자.

$\displaystyle \mathrm {AC}$의 중점 $\displaystyle \mathrm {Q}$, $\displaystyle \mathrm {AH}$의 중점 $\displaystyle \mathrm {L}$이므로 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \mathrm {CF}$와 $\displaystyle \mathrm {QL}$은 평행하고

$\displaystyle \mathrm {\overline{QL}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{CH}}$

또, $\displaystyle \mathrm {\triangle BHC}$에서 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \mathrm {CH}$와 $\displaystyle \mathrm {PM}$은 평행하고

$\displaystyle \mathrm {\overline{PM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{CH}}$

또, $\displaystyle \mathrm {\triangle HAB}$와 $\displaystyle \mathrm {\triangle CAB}$ 에서 각각 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \mathrm {AB}$와 $\displaystyle \mathrm {LM}$, $\displaystyle \mathrm { Q P}$ 은 평행하고 $\displaystyle \mathrm { CF}\bot \mathrm{AB}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{ LMPQ}$가 직사각형이다.

따라서 네 점 $\displaystyle \mathrm{ L,~M,~P,~Q}$은 대각선을 지름으로 하는 원 위에 존재한다.

위의 그림에서 보듯이 $\displaystyle \mathrm {\angle QPM=\angle QEM=90^{\circ}}$, $\displaystyle \mathrm {\angle PML=\angle PQL=90^{\circ}}$이므로 이제 점 $\displaystyle \mathrm {D,~E}$도 동일한 원 위의 점이 된다.

한편 다음의 그림을 보자.

위의 그림에서 사각형 $\displaystyle \mathrm{ LMPQ}$가 직사각형임인 것과 동일한 이유로 사각형 $\displaystyle \mathrm{ LRPN}$도 직사각형이다. 따라서 아래 그림에서 보듯이 $\displaystyle \mathrm {\angle LRP=\angle LDP=90^{\circ}}$, $\displaystyle \mathrm {\angle NPR=\angle NFR=90^{\circ}}$이므로 이제 점 $\displaystyle \mathrm {D,~F}$도 동일한 원 위의 점이 된다.

이제 위의 원이 있는 두 그림을 동시에 아래와 같이 그려보자.

여기서 두 원의 지름이 공통으로 $\displaystyle \mathrm{\overline{LP}}$이므로 위의 두 원은 서로 같다. 즉, 9개의 점은 동일한 원 위에 존재한다. 즉 구점원이다. 그리고 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{LP}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QM}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{NR}}$은 구점원의 지름이므로 각각의 선분의 중점이 구점원의 중심이 된다.

또, 구점원의 반지름의 길이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 $\displaystyle \frac 1 2 $이다. 왜냐하면 아래 그림에서 보듯이 구점원은 삼각형 $\displaystyle \mathrm {PQR} $의 외접원이다. 그런데 삼각형 $\displaystyle \mathrm {ABC} $와 삼각형의 각변의 중점을 연결한 삼각형인 $\displaystyle \mathrm {PQR} $은 서로 닮았고 닮음비가 $2:1$이기 때문이다.

2025.09.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(2)

[자소서 탐구 주제 가이드] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리를 이렇게 써라!

울산과고전문 더플러스수학학원 — Mon, 1 Sep 2025 16:12:49 +0900

[자소서 탐구 주제 가이드] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리를 이렇게 써라!

1. 왜 이 주제를 선택해야 할까?

울산과고 자소서를 준비한다면, 단순히 “수학을 좋아합니다”라고 쓰는 건 부족합니다.
“내가 어떤 수학 주제를 탐구했는지”를 보여줘야 면접관이 주목합니다.
그 주제로 가장 많이 선택되는 것이 바로 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리입니다.

2. 먼저 정리해야 할 기초 (Lemma)

삼각형의 중심: 수심(H), 외심(O), 무게중심(G)
원의 성질: 원주각, 중심각, 내접사각형 성질
중점과 수선의 발
이 기초 정리를 먼저 이해하고 정리해 두어야 합니다.

3. 구점원 Theorem (정리)

정리: 세 변의 중점, 세 수선의 발, 세 꼭짓점–수심 중점 → 모두 하나의 원 위에 놓인다.
증명 아이디어: 직각 조건, 원주각 성질, 중점 성질을 연결하면 증명할 수 있습니다.

4. Corollary (따름정리)

구점원의 중심은 외심 O와 수심 H를 잇는 선분의 중점에 있다.
구점원의 반지름은 외접원의 절반이다.

5. 자소서 작성 팁

단순히 “구점원은 9개 점이 한 원 위에 있다”라고 쓰지 마세요.
내가 어떤 정리들을 먼저 정리했고, 그걸 어떻게 연결해서 큰 정리에 도달했는지를 보여줘야 합니다.
예시 문장:
“저는 원주각 정리와 중점의 성질을 먼저 복습한 뒤, 아홉 점이 하나의 원 위에 놓인다는 구점원의 존재를 증명했습니다. 이 과정에서 Euler 선과 연결된다는 사실을 알게 되어 흥미로웠습니다.”

6. 마무리

자소서에서는 완벽한 증명보다 탐구 과정이 더 중요합니다.
구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 같은 주제를 탐구하면서,
스스로 생각하고 정리한 과정을 보여주면 충분히 좋은 자기소개서가 됩니다.

공부한 내용을 단순히 외우지 말고, 내 탐구 과정을 글 속에 담아내세요.

2025.09.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(1)

[수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(1)

울산과학고를 준비하는 중3이라면, 자기소개서에 단순한 성적 말고도 “내가 어떤 수학적 탐구를 했는가”를 보여주기 위해 자소서에 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 등을 탐구주제로 선

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2025.09.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(2)

[수학의 기초] 구점원, 오일러 직선, 세르보어 정리 — 자소서 탐구 주제(2)

울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 오늘은 울산과고입학을 위한 자소서에서 수학의 주제로 학생들이 자주 쓰는 세르보어 정리에 대해 알아보자.특히 학생들이 정확히 이

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울산과고2,3학년 성균관대, 한양대, 카이스트 제시문 면접대비반 모집

울산과고전문 더플러스수학학원 — Sat, 12 Jul 2025 10:20:22 +0900

울산과학고 2,3학년 여러분,
이제는 단순히 수업을 듣고 이해하는 것만으로는 부족합니다.

대학 면접에서는
‘수학을 말로 풀어내는 힘’이
합격을 좌우합니다.

더플러스수학학원에서는
성균관대, 한양대, 카이스트 등
실제 대학 기출 기반의 '실전 모의면접'과 함께 1:1 수학 구술 연습을 집중적으로 진행합니다.

지금 이 순간이
‘말로 설명하지 못하면 안 되는’
마지막 기회입니다.

최신 기출 중심 실전 모의면접
1:1 맞춤 피드백 & 멘탈관리
소수정예·개별관리 시스템

더 이상 혼자 고민하지 마세요.
교실에서 듣기만 하던 공부는 이제 끝!
실제로 "내가 문제를 말로 풀어서"
누구 앞에서든 당당하게 설명할 수 있도록
더플러스수학이 직접 코칭합니다.

개강일: 7월 20일(일) 오후 3시
신청/문의: 052-260-9981

이번 여름,
“말로 풀지 못하면 합격도 없다!”
더플러스수학과 함께
진짜 실력을 만들어보세요.

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2025학년도 과학고 입시설명회 개최 [더플러스수학학원]

울산과고전문 더플러스수학학원 — Fri, 13 Jun 2025 15:21:04 +0900

과학고 입시, 준비는 제대로 하고 계신가요?

수학 진도만 나가는 공부는 이제 그만!
과고 입시와 내신을 위한 자녀의 수학 실력.
눈으로 직접 확인하셔야 합니다!
5단계 입시 준비 과정

수학 탐구 & 자기소개서 작성 – 나만의 스토리로 차별화된 자기소개서 완성
중등 전과정 총정리 & 구술 연습 – 기본 개념부터 논리적 말하기까지
고등 수학 기출 풀이 & 발표 – 실전 감각과 발표력 강화
출석 면접 준비 – 서류 기반 맞춤형 면접 트레이닝
소집 면접 준비 – 창의력 & 문제 해결력 집중 훈련

입시 로드맵
7월 14일~8월 26일: 자기소개서 집중 완성
9월 1일~11월 5일: 출석 면접 철저 대비
11월 6일~11월 24일: 소집 면접 실전 점검

과학고반 개강: 12월 8일

더플러스 수학 학원 과학고 입시 설명회 안내
일시: 7월 9일 (수) 저녁 7시
강사: 권도형 원장
장소: 더플러스 수학 학원 1관
내용: 과학고 입시 전략 및 학원 시스템 소개

많은 관심과 참여 바랍니다!

예약번호 : 052-260-9981

또는

우선 예약 : 카카오채널 더플러스수학학원(https://pf.kakao.com/_UxgxkKG) 친구추가후 예약신청

https://youtu.be/_hduTpKxaaM?si=V1eDTrRE8mtzN7op

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울산과고 학부모님을 위한 수학 학습 전략 설명회 – 더플러스수학

울산과고전문 더플러스수학학원 — Thu, 24 Apr 2025 23:36:35 +0900

울산과학고에 진학한 자녀를 둔 학부모님이라면,
요즘 중간고사 성적을 보고 마음이 무거우셨을지도 모릅니다.

“조기졸업한 친구들은 왜 저렇게 잘하지?”
“우리 아이도 공부를 하긴 하는데 성적이 왜 그대로지?”
“수업은 듣고 있는데, 수학이 도무지 오르지 않아요.”

이런 걱정은 여러분만의 것이 아닙니다.
저희 더플러스수학학원에서는
울산과고 학생들의 실제 학습 데이터를 바탕으로
중간고사 후 변화가 필요한 시점에 맞춰
**“수학 학습 전략 설명회”**를 준비했습니다.

설명회 주요 내용

과학고에서 살아남는 수학 공부법
조기졸업/조진 학생과의 차이, 따라잡는 방법
실제 성적 상승 사례 및 구술 수업 시연
블로그/프콘/유튜브 자료 활용법 안내

대상

울산과학고 1, 2학년 학부모님
과학고 수학 학습 방식이 궁금하신 분
내 자녀에게 더 맞는 학습 전략을 찾고 싶은 분

장소 및 일정

장소: 더플러스수학학원 (울산 남구 옥동)
일시: 5월 7일 (수) 오후 7시
참가비: 무료 (소수 정원 예약제)

참석자 혜택

프콘(네이버 프리미엄 콘텐츠) 7일 무료 체험 쿠폰 (쿠폰번호 : PPTSCIENCE )
자녀 대상 구술 수업 1회 체험권
네이버 프리미엄 쿠폰 등록방법

지금 바로 예약하시고,
내 아이의 수학 공부 방향을 바꿔보세요.
예약 및 문의:
카카오톡 채널 [@더플러스수학]
또는 052-260-9981(문자 가능)
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울산과고 학생을 위한 30분 무료 수학 구술 클리닉

울산과고전문 더플러스수학학원 — Wed, 2 Apr 2025 23:38:43 +0900

1장: 문제 제기

“문제는 아는데, 성적이 안 나와요…”
울산과고 학생들의 흔한 고민.

문제는 푸는데, 서술형에선 점수가 안 나옵니다.
머리로는 알지만, 말로 설명하지 못해요.
수업은 듣기만 하고, 질문은 못 하죠.

2장: 원인 분석

왜 점수가 안 나올까요?
✔️ 개념을 ‘이해’는 해도 ‘표현’하지 못해서
✔️ 수업 중 말하지 않고 넘어가서
✔️ 서술형에서 논리적 설명이 부족해서
결국, 말하지 않는 공부가 문제입니다.

3장: 해결 방법

그래서 준비했습니다!
울산과고 학생을 위한
30분 무료 수학 구술 클리닉

매주 토요일 15:00~18:00
30분간 원장 선생님과 1:1 대화식 수업
내가 직접 설명하고,
막히면 바로 피드백!

4장: 신청 방법

참여 방법

네이버에서 “더플러스수학학원” 검색 -예약하기 클릭
예약하기 > “울산과학고 상담” 선택
원하는 시간대 30분 신청

⏳ 선착순 마감! 무료 체험! 중간고사 치기 전 매주 3명씩 (5, 12, 19일)

아래 링크에서 프리미엄 콘텐츠 무료 체험(과고1, 2, 3학년 과고내신대비문제-풀이와 동영상제공)으로 확인해보세요!
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학생이 많아 대화 없는 수업? 과고생은 매주 원장과 1:1 수학 구술 [더플러스수학학원]

울산과고전문 더플러스수학학원 — Wed, 26 Mar 2025 20:46:33 +0900

"선생님과 대화하지 않는 학원 수업, 인강보다 나은 게 뭐죠?"

조용히 앉아서 듣기만 하는 수업.
질문도 못 하고, 이해 안 되는 부분은 그냥 넘김.
집에 가서 또 복습해야 겨우 이해.

인강 vs. 대화 없는 학원 수업

항목	인강	대화 없는 학원
반복 재생	가능	불가능
질문	불가능	사실상 불가능
학습 속도 조절	가능	불가능
집중력	자율에 따라 다름	조는 경우 많음
비용 대비 효율	개인차 있음	비효율적일 수 있음

대화 없는 학원, 왜 더 나쁠 수 있을까?

질문할 기회 없음 → 막히면 그냥 넘김.
남들 눈치 보느라 질문 꺼림 → 이해 안 된 채 시간만 흐름.
수업 분위기 수동적 → 집중력 저하, 졸림.
복습이 더 오래 걸림 → 오히려 시간 낭비.

"수업의 핵심은 소통입니다."

더플러스수학학원은 학생 한 명, 한 명과 수학 구술로 소통합니다.
묻고 답하며 스스로 사고하게 만드는 수업.

이제는 '듣는 수업'에서 '대화하는 수업'으로 바꿔야 할 때!

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