8-3. 위상수학자 sin함수와 연속성

다음 함수의 $ x=0 $에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.

(1) $ f \left ( x \right ) = \root {3} \of {x ^ {2} } $

(2) $$ f \left ( x \right ) = { \begin {cases} x\sin \frac {1} {x} & & \left ( x \neq 0 \right )\\0 & & \left ( x=0 \right )\end {cases} } $$

 

 

 

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(1) 연속, 미분불가능 (2) 연속, 미분불가능

 

8-3.

$ f \left ( x \right ) = { \begin {cases} x ^ {2} \sin \frac {1} {x} & & \left ( x \neq 0 \right )\\0 & & \left ( x=0 \right )\end {cases} } $ 일 때, $ f ' \left ( 0 \right ) $의 값을 구하고, $ f ' \left ( x \right ) $의 $ x=0 $에서의 연속성을 조사하여라.

 

 

위상수학자의 sin함수

다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 갑작스러운 변화 없이 진행되는 일의 과정을 연속이라는 말로 표현한다. 이 개념을 함수에 대해서 생각한 개념이 함수의 연속성이다. 함수의 연속성은 임의의 한 점에서 함수의 그래프가 끊어지지 않고 연결된 것을 의미한다. 이것을 수학적으로 표현하면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow a} {f ( x)=f ( a)} $가 된다. 이 등식이 의미하는 것은 $ x=a $에서 좌극한값($ \lim\limits _ {x \rightarrow a-} {f ( x)} $)과 우극한값($ \lim\limits _ {x \rightarrow a+} {f ( x)} $)이 존재하며 일치하고 그 극한값과 함수값($ f ( a) $)이 일치하는 것을 의미한다.

수학자들은 “그래프가 끊어지지 않고 연결되어 있다” 라는 간단한 말을 왜 이렇게 복잡하게 말할까?

뉴튼과 라이프니찌가 미분적분학의 기틀을 잡고 나서도 극한이라는 개념과 연속이라는 개념은 제대로 정립되지 않았다. 하지만 ‘위상학자들의 sin 곡선(Topologist's sine curve)’이라 불리는 문제가 19세기에 제기되면서 연속의 엄밀한 정의를 필요로 하게 되었다. 이 곡선은 $ x=0 $을 제외한 모든 점에서 $ f ( x)=\sin \frac {1} {x} $로 정의된 함수이다. 이 함수의 그래프는 $ x=0 $ 주위의 함수값의 변화 때문에 그래프가 정확히 그려지지 않는다. 이 때 제기된 의문이 $ x=0 $에서 연결되지 않은 것이 확실한 이 그래프를 $ x=0 $에서의 함수값 $ f ( 0) $을 적절히 정의함으로써 그래프가 연결되어질 수 있는가에 대한 의문이었다.

$$ f(x)= \begin{cases} \sin \frac{1}{x} &(x \ne 0)\\ f(0)&(x =0) \end{cases}$$

 

(나) 불연속이거나 미분 가능하지 않은 함수를 연속 또는 미분 가능한 함수로 만드는 방법은 여러 수학자들이 고민해온 주제이다. 불연속인 함수를 연속함수로 만드는 두 가지 방법을 살펴보자.

(방법1) (불연속 함수에 연속함수를 곱하여 연속함수로 만드는 방법)

$ x=a $에서 불연속인 함수(또는 미분 가능하지 않은 함수) $ f ( x) $에 연속함수 $ g ( x) $를 곱하여 연속함수(또는 미분 가능한 함수) $ f ( x)g ( x) $를 만드는 방법

 

(방법2) (연속의 정의를 완화하여 불연속함수를 완화된 연속함수로 정의하는 방법)

-[서울대 2006학년도 특기자 수시]변형

함수 $ f:\mathbb{R}~ \rightarrow ~\mathbb{R} $ ($ \mathbb{R} $는 실수의 집합)에 대하여 $$ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {\left\{ f ( a+h)-f ( a-h) \right\} =0} $$을 만족할 때 “$ x=a $에서 대칭연속”이라고 정의하고 함수 $ f $가 임의의 구간 안에 있는 모든 점에서 대칭연속일 때 $ f $를 “대칭연속함수”라고 정의한다.

한편, 극한 $$ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {} \frac {f ( a+h)-f ( a-h)} {2h} $$가 존재할 때 “$ x=a $에서 대칭미분가능” 하다고 정의하고, $$ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {} \frac {f ( a+h)-f ( a-h)} {2h} =Df ( a) $$로 나타내며 “$ x=a $에서의 대칭 변화율”이라 정의한다. 또한 함수 $ f $가 임의의 구간 안에 있는 모든 점에서 대칭미분가능하면 함수 $ f $가 “대칭미분가능”하다고 정의하고, “대칭도함수” $ Df $를 함수$ f $의 정의역 내의 모든 $ x $에 대하여 $$ Df ( x)= \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {} \frac {f ( x+h)-f ( x-h)} {2h} $$ 로 정의한다.

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논제 1.

(1) 제시문 (가)에서의 ‘위상학자의 sin 곡선’의 그래프를 그리고 $ x=0 $에서의 연속성을 그래프로 확인할 수 없는 이유를 설명하시오.

 

(2) 제시문 (가)의 연속의 정의를 이용하여 함수 $ f ( x)= { \begin {cases} \sin \frac {1} {x} & ( x \neq 0)\\a & ( x=0)\end {cases} } $가 어떠한 실수 $ a $ 값에 대해서도 연속함수가 될 수 없음을 설명하시오.

 

논제 2.

(1) 제시문 (나)에서 대칭연속이지만 연속이지 않은 함수의 예를 들고, 대칭연속과 연속성의 관계를 설명하시오.

 

(2) 제시문 (가)의 ‘위상학자의 sin 곡선’을 제시문 (나)의 (방법1)을 이용하여 연속함수로 만들 수 있다. 즉 함수 $$ f _ {n} ( x)= { \begin {cases} x ^ {n} \sin \frac {1} {x} & ( x \neq 0)\\a & ( x=0)\end {cases} } ~~~ ( n=1,2,3 \cdots ) $$가 적당한 실수 $ a $값에 대하여 연속이 됨을 설명하고 함수 $ f _ {n} $이 미분가능한 함수이기 위한 $ n $값의 조건을 구하시오.

 

(3) 함수 $$ f _ {} ( x)= { \begin {cases} x ^ {m} \sin \frac {1} {x ^ {n} } & ( x \neq 0)\\0 & ( x=0)\end {cases} } ~~~ ( n=1,~2,~3 \cdots ) $$의 도함수 $ f ' ( x) $의 그래프가 연속이 될 때, $ m,~n $의 조건을 구하시오.

 

(4) $ x=a $에서 불연속인 함수 $ f ( x) $를 제시문 (나)의 (방법1)을 이용하여 연속함수 $ g ( x) $를 곱하여 $ f ( x)g ( x) $는 $ x=a $에서 연속인 함수로 만들 수 있다. 이때, 연속함수 $ g ( x) $가 만족해야할 조건을 예를 들어 설명하고 그 이유를 적으시오.

 

(5) 제시문 (나)에서 한 점에서 대칭미분가능이지만 미분가능하지 않은 함수의 예를 들고 한 점에서 대칭미분가능인 함수는 반드시 대칭연속임을 보이시오.