수학과 공부이야기
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[수학의 기초] 파푸스-귤딘의 원리(2)-회전체의 부피 [더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 4. 4. 16:34
울산과고2학년 심화수학2 과목에서 회전체의 부피 구하는 과정에서 파푸스-귤딘의 원리를 이용하서 푸는 문제가 나와서 학생들이 파푸스-귤딘의 원리에 대해 대략적으로 알 수 있지만 구체적으로 무엇을 의미하는지 잘 몰라 울산과고전문 더플러스수학학원에서 이를 위해 전편의 질량중심에 대한 설명 이후 이제 2편에서는 파푸스-귤딘의 정리에 대해 정리하겠다. 이 글은 다음을 목표로 한다. 학습 교안: 파푸스의 귤단의 원리를 이용한 회전체의 부피 계산 학습 교안: 파푸스의 귤단의 원리를 이용한 회전체의 부피 계산 목표 - 파푸스의 귤단의 원리에 대해 이해한다. - 질량 중심의 개념을 이해하고 회전체의 부피를 계산할 때 그 중요성을 인식한다. - 파푸스의 귤단의 원리를 사용하여 다양한 도형의 회전체 부피를 계산할 수 있다...
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[수학의 기초] 파푸스-귤단의 원리(1)-질량중심에 대하여 [더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 4. 1. 22:49
울산과고2학년 심화수학2 과목에서 회전체의 부피 구하는 과정에서 파푸스-귤딘의 원리를 이용하서 푸는 문제가 나와서 학생들이 파푸스-귤딘의 원리에 대해 대략적으로 알 수 있지만 구체적으로 무엇을 의미하는지 잘 몰라 울산과고전문 더플러스수학학원에서 이를 위해 먼저 질량중심에 대해서 설명하고 이후 2편에서 파푸스-귤단의 원리에 대해 정리하겠다. 이 글은 다음을 목표로 한다. 학습 교안: 파푸스의 귤단의 원리를 이용한 회전체의 부피 계산 학습 교안: 파푸스의 귤단의 원리를 이용한 회전체의 부피 계산 목표 - 파푸스의 귤단의 원리에 대해 이해한다. - 질량 중심의 개념을 이해하고 회전체의 부피를 계산할 때 그 중요성을 인식한다. - 파푸스의 귤단의 원리를 사용하여 다양한 도형의 회전체 부피를 계산할 수 있다. 먼..
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[수학의 기초] $y=f(x)$와 $y=mx+c$로 둘러싸인 넓이와 회전체의 부피 [더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 3. 31. 15:41
울산옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 울산과고2학년 심화수학1 수업, 미적분에서 $x,~y$축 둘레로 회전하는 회전체의 부피 구하는 방법을 조금 더 일반화라는 과제가 학생들에게 나왔다. 이제 울산과고 전문 더플러스수학학원에서는 새롭게 정적분의 정의로 구해 봤다. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=mx+c$로 둘러싸인 부분의 부피를 구해보자. 또, 비슷한 방법으로 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=mx+c$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하자. https://youtu.be/73JXOCUs2jU $y=f(x)$와 $y=mx+c$로 둘러싸인 부분의 회전체의 부피 먼저 다음 그림과 같은 고려해 보자. 이 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b] \)에서 연속 함수 \(\displaysty..
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[수학의 기초] 포함과 배제의 원리에 대하여 [더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 3. 28. 22:57
올해도 울산과고1학년 1학기 중간고사에 경우의 수, 순열, 조합이 시험범위에 들어가게 되었다. 신입생들이 겨울방학동안 수학 상, 하를 열심히 공부했다고 하더라도 맨 마지막단원을 신경을 써서 공부하지는 않았던 것같고, 또, 중2의 확률과 경우의 수 단원을 유독 싫어했던 학생도 많은 듯하다. 그러나 이 단원은 어떤 특정한 기준-각자의 기준-에 따라 문제에서 구하고자 하는 경우의 수를 분류하고 그 분류기준에 따라 수를 빠짐없이 중복되지 않게 세야 한다. 그러나 학생은 이 단원의 공식을 외우고 공식이 적용된 상황은 신경쓰지 않아서 많이 힘들어 한다. 또, 다음과 같은 문제를 보면 익숙하지 않다. 교란순열 $5$개의 숫자 $\displaystyle 1,~2,~3,~4,~5 $를 일렬로 나열한 것을 $\displa..
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[옥동수학학원] 울산과고-채색다항식에 대하여[더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 3. 21. 16:31
채색다항식(Coloring Polynomial)에 대한 수학수업 교안을 만들어 보자. 채색다항식은 그래프 이론에서 중요한 개념 중 하나로, 그래프의 정점을 색칠하는 방법의 수를 계산하는 데 사용된다. 이 글을 쓰게 되는 이유는 울산과고학생들의 고1 중간고사에 경우의 수와 순열과 조합이 들어간다고 해서 무엇을 가르쳐야 할까 고민하게 되었다. 얼핏 떠오르는 것은 다음과 같다. 학생들에게 합의 법칙, 곱의 법칙의 중요성을 강조하면서 수학문제를 잘 읽고 어떤 기준으로 분류할지 고민하라고 가르쳐야겠다. 그것 말고 또 눈에 띄는 문제가 있었다. 오른쪽 그림의 \(\displaystyle \mathrm {A},~ \mathrm {B},~ \mathrm {C},~ \mathrm {D},~ \mathrm {E}\)에 주..
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[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(3)-로피탈의 정리 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴)-더플러스수학학원수학과 공부이야기 2024. 3. 17. 17:47
전편에서 0/0꼴의 로피탈의 정리를 증명했다면([옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(2)) 이제 여기서는 \(\infty/\infty\)꼴의 로피탈의 정리를 증명하고자 한다. 울산과고 3학년 AP수업에서 엡실론-델타논법으로 증명했다고 하는데 학생들이 어려워 했다. 그래서 울산과고 전문 더플러스수학학원에서 로피탈의 정리 중 무한대/무한대꼴을 증명해 보았다. 또 이것의 바탕에는 코시의 평균값의 정리가 있는데 이것의 증명을 보려면 https://plusthemath.tistory.com/541 먼저 증명할 로피탈의 정리를 적어보자. 로피탈의 정리(2) 두 함수 \(\displaystyle f(x)\) 와 \(\displaystyle g(x)\) 모두 \(\displaystyle a\) 를 포함하는 열..
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[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(2)-로피탈의 정리(0/0꼴)수학과 공부이야기 2024. 3. 17. 17:31
이제 코시의 평균값의 정리를 증명한 후 이를 이용하여 로피탈의 정리를 증명하고자 한다. 로피탈의 정리는 수2나 미적분을 배운 학생은 극한을 구하기 위해 자주 쓰는 정리이다. 그러나 막상 증명하라고 하면 증명하기 너무 힘들다. 울산과고3학년 AP-Calulus에서 \(\displaystyle \frac 0 0\)꼴, \(\displaystyle \frac {\infty}{\infty}\) 에서의 로피탈의 정리를 증명한다. 울산과고학생들이 좀 어려워 해서 더플러스수학학원에서 증명을 해서 내신 공부에 도움이 되게 하고자 한다. 로피탈의 정리는 $\displaystyle 0/0$ 또는 $\displaystyle \infty/\infty$ 형태의 불확정형 극한을 계산할 때 유용한 도구입니다. 두 함수 $\disp..
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[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(1)-코시의 평균값의 정리[더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2024. 3. 17. 16:10
울산과고3학년 학교 AP-Calculus 교재에서 로피탈의 정리가 나오고 있다. 학교 수업에서 로피탈의 정리를 epsilon-delta 논법으로 증명하고 있다. 그런데 학생들이 그 내용을 잘 이해하지 못하고 있다. 그래서 울산과고 전문 더플러스수학학원에서 코시의 평균값의 정리를 증명하고 이것을 이용하여 로피탈 정리를 증명하고자 한다. 특히 epsilon-delta논법으로 증명하는 것은 좀 더 어려운 것이다. 먼저 코시의 평균값 정리는 아래와 같다. 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $g(x)$가 주어진 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분 가능할 때, 적어도 하나의 $\displaystyle c$가 $\..
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[옥동수학학원][더플러스수학] 교란순열에 대하여수학과 공부이야기 2023. 3. 23. 17:04
이번 학기에서는 우연히 울산과고1학년 수업에서 수학(하)와 확통에서 공통으로 경우의 수를 다룬다. #울산과고 1학년, 2학년 수업 모두에는 실력정석 "경우의 수" 단원의 연습문제에 #교란순열을 포함되어 있다. 교란순열을 #포함과_배제의_원리(포제의 원리)를 갖고 일반항을 구할 수 있고, 또, #점화식 을 이용하여 교란순열의 개수를 구할 수 있다. 따라서 이 글에서는 교란순열에 대해 알아보고자 한다. 교란순열의 일반항, 점화식, 항등식 등등.... 교란순열 함수 \(\displaystyle f:\left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \rightarrow \left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \)에 대하여 \(\displaystyle f ( 1) \neq 1 ..
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[더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!....수학과 공부이야기 2022. 6. 17. 16:19
[더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!.... 꽃들에게 희망을!!!!! 호랑애벌레.... 올라간다. 위에는 아무것도 없다. 허무하다. 주위의 애벌레에게 말을 해도 알아듣지 못한다. 노랑애벌레... 나비가 되어 애벌레 기둥에 먼저 올라가서 없다는 것을 미리 안다. 우리는 어떤 애벌레가 되어야 할까? 우리 학생들과 어머님들은 이학원 저학원 다니면서 학생들이 공부 잘 하게 노력하신다. 그러나 학생들과 어머님들은 이학원이 더 잘가르치는지 저학원이 잘 가르치는지 평가하는 능력만 올라간다. 그러나 학생들의 수학실력은......? 수학 잘하는 방법은 없다. 학원에 없다. 학생에게 있다는 것을 빨리 깨달아야 한다. 우리 학생들은 수업을 너무 많이 듣는다. 수업을 많이 듣는다고..