수학과 공부이야기/선형대수학
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -2수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 20:58
연립일차방정식의 풀이 방법에는 '가우스소거법', '역행렬'과 '크래머 공식' 등이 있다. 우리는 앞에서 수반행렬을 통해 역행렬을 구하는 방법을 보았다. 이것을 이용하여 크래머 공식을 유도하고자 한다. 간단한 연립방정식을 예를 들어 해를 구하고 그 과정에서 크래머 공식이 어떻게 쓰이는지 한 번 보자. \(\displaystyle \begin{cases} x+2y=7 \\ 2x+3y=1\end{cases}\) 이것을 행렬로 나타내면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\1\end{pmatrix}\) \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}..
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 16:39
행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자. 정의1. 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에서 \(\displaystyle A\)의 각 원소 \(\displaystyle a_{ij}\)의 여인수 \(\displaystyle A_{ij}\)로 이루어진 행렬 \(\displaystyle \left(A_{ij} \right) _{n \times n}\)을 \(\displaystyle A\)의 여인수행렬 이라 한다. 또, \(\displaystyle A\)의 여인수 행렬의 전치행렬을 \(\displaystyle A\)의 수반행렬이라고 하고 \(\displaystyle adj A\)로 나타낸다. 즉, \(\displaystyle adj A = \left(A_..
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[더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 26. 16:11
이 글에서는 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A,~B\)에 대하여 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)임을 증명해 보도록 하자. 먼저 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬(특이행렬)일 때와 가역행렬일 때로 나누어서 증명한다. 먼저 비가역행렬일 때의 증명에 앞어서 다음의 보조정리를 증명하자. 보조정리1. 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬이면 행렬 \(\displaystyle AB\)도 비가역행렬이다. 주의하자. 행렬식의 성질 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)을 이용하여 위의 보조정리를 증명할 수 있다. 그러나 여기서는 쓰면 안된다. 왜냐하면 \(\displ..
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[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 24. 22:54
2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) 행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 plusthemath.tistory.com 앞의 글에서 행렬식의 정의에 대하여 알아 보았다. 여기서는 행렬식의 성질을 고찰해 보자. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A\)의 행렬식(determinant)는 \(\displaystyle A\)의 임의의 어느 한 행이나 열에 대해 여인수 전개해도 똑같으면 그 전개한 값을 행렬 \(\displaystyle..
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[더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 23. 21:01
연립방정식을 풀 때, 문자를 소거하느라 단순 계산 과정이 엄청 많다는 것을 경험한 적이 있을 것이다. 특히 연립방정식 중에서 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 연립방정식이면 역행렬이 존재하지 않아서 해를 구하기가 힘들다. 또, 역행렬이 존재한다 하더라도 행렬의 크기가 커 역행렬 구하기가 힘들 때, 우리는 가우스 소거법을 많이 쓴다. 또, 컴퓨터 프로그램으로 짜기도 쉬어 가우스 소거법을 이용하여 해를 구하는 과정이 쉬워진다. 가우스 소거법에 대하여 알아보자. 다음과 같은 \(\displaystyle 3\)개의 미지수를 가진 연립일차방정식을 생각해보자. \(\displaystyle \begin{cases} a_{11}x +a_{12}y+a_{13}z=b_{1} \\a_{21}x +a_{22}y+a_{23}..
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[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 23. 18:32
행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 가는 일종의 함수라고 생각할 수 있다. 정의1. 행렬식(determinant of \(\displaystyle A\)) \(\displaystyle n\)차의 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)의 행렬식을 \(\displaystyle \left| A \right| \) 또는 \(\displaystyle det(A)\)로 나타내며 다음과 같이 귀납적으로 정의한다. (1) \(\displaystyle n=1\)일 때, \(\displaystyle \left | a_{11} \righ..
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[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 21. 15:30
문제의 상황 고급수학 연습문제 중 "행렬 \(\displaystyle A\)가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 \(\displaystyle A\)의 고윳값 중 \(\displaystyle 0\)이 있다." 영어로 "Show that a matrix \(\displaystyle A\) is singular if and only if \(\displaystyle 0\) is an eigenvalue of \(\displaystyle A\)" (증명) \(\displaystyle (\Longleftarrow )\) (증명1) 행렬 \(\displaystyle A\)가 고윳값 \(\displaystyle 0\)을 갖는다고 가정하자. 고윳값의 정의에 의해 \(\displaystyle A \vec x = \..
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[더플러스수학] 대칭행렬과 교대행렬수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 20. 22:33
정의1. 전치행렬(transpose matrix) 행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{m \times n} \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})\)에 대하여 행과 열을 바꾼 새로운 행렬 \(\displaystyle B=(b_{ij})_{n \times m} \in M_{ \textcolor {blue}{n \times m} }(\mathbb{R})\)을 행렬 \(\displaystyle A \)의 전치행렬이라 하고 \(\displaystyle A^T \)로 쓴다. 여기서 \(\displaystyle b_{\textcolor{red}{ij}} =a_{\textcolor{red}{ji}} \)이다. 노트) \(\displaystyle M_..
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[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 20. 15:29
\(\displaystyle (AB)^T =B^T A^T \)을 증명해보자. 먼저 행렬 \(\displaystyle A\)를 \(\displaystyle l \times m \)행렬, 행렬 \(\displaystyle B \)를 \(\displaystyle m \times n \) 행렬이라 하자. 행렬 \(\displaystyle AB\)는 \(\displaystyle l \times n \) 행렬이다. 즉 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{l \times m}\), \(\displaystyle B=(b_{ij})_{m \times n}\) 으로 놓을 수 있다. 그러면 행렬 \(\displaystyle (AB)^T\)는 \(\displaystyle n \times l \) 행렬이다. 행렬..
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[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]수학과 공부이야기/선형대수학 2020. 9. 17. 20:50
기저변환행렬에 대한 정확한 이해!!! 기저 $\displaystyle \vec p , ~\vec q $의 집합을 $\displaystyle A$, 기저 $\displaystyle \vec {p'} , ~\vec {q'} $의 집합을 $\displaystyle B$라고 할 때, 기저 $\displaystyle A$를 $\displaystyle B$로 바꾸는 행렬 즉 기저변환행렬 $\displaystyle \left[ P \right]_{A}^{B}$은 다음과 같다. 기저 $\displaystyle A$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를 기저 $\displaystyle B$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y') $로 바꾸는 행렬을 의미한다. 앞 글의 독자님의 질문을 예로 ..