[더플러스수학] 2014년 교육청 3월 30번

실수 $ t $에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 $ \tan ( \sin t) $인 직선과 원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =e ^ {2t} $이 만나는 점 중에서 $ x $좌표가 양수인 점을 $ \rm P $라 하고, 점 $ \rm P $가 나타내는 곡선을 $ C $라 하자. $ t= \pi $일 때, 곡선 $ C $ 위의 점 $ \rm P $에서의 접선과 $ x $축 및 $ y $축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $ a \times e ^ {b \pi } $이다. $ 10 ( a+b) $의 값을 구하시오. (단, $ a $와 $ b $는 유리수이다.)  [4점][2014년 3월 30번]

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정답 25

[출제의도] 삼각함수의 성질과 매개변수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

원점을 지나고 기울기가 $ \tan ( \sin t) $인 직선의 방정식은 $ y=\tan ( \sin t)x $ $ \cdots \cdots \cdots$ ㉠

점 $ \rm P $는 원과 직선의 교점이므로 원의 방정식 $ x ^ {2} +y ^ {2} =e ^ {2t} $과 연립하면

$ x ^ {2} + \left\{ \tan ( \sin t)x \right\} ^ {2} =e ^ {2t} $

$ \left\{ 1+\tan ^ {2} ( \sin t) \right\} x ^ {2} =e ^ {2t} $

$ \frac {x ^ {2} } {\cos ^ {2} ( \sin t)} =e ^ {2t} $

$ x ^ {2} =e ^ {2t} \cos ^ {2} ( \sin t) $

$ x=e ^ {t} \cos ( \sin t) $ (∵ $ x>0 $)

이를 ㉠에 대입하면

$$ y=e ^ {t} \sin ( \sin t) $$

그러므로 점 $ \rm P $의 좌표를 $ ( x,~y) $라 하면   

$ x=e ^ {t} \cos ( \sin t) $, $ y=e ^ {t} \sin ( \sin t) $

$ \frac {dx} {dt} =e ^ {t} \cos ( \sin t)- \left\{ e ^ {t} \sin ( \sin t) \right\} \cos t $

$ =e ^ {t} \left\{ \cos ( \sin t)-\sin ( \sin t) \times \cos t \right\} $

$ \frac {dy} {dt} =e ^ {t} \sin ( \sin t)+ \left\{ e ^ {t} \cos ( \sin t) \right\} \cos t $

$ =e ^ {t} \left\{ \sin ( \sin t)+\cos ( \sin t) \times \cos t \right\} $

$ t= \pi $일 때, 점 $ \rm P $의 좌표는

$ \left ( e ^ {\pi } \cos ( \sin \pi ),e ^ {\pi } \sin ( \sin \pi ) \right ) $이므로

$ \rm P ( \it e ^ {\pi } ,~0) $

$ t= \pi $일 때, 곡선 $ C $ 위의 점 $ \rm P $에서의 접선의 기울기는

$ \frac {dy} {dx} = \frac { \frac {dy} {dt} } { \frac {dx} {dt} } = \frac {e ^ {\pi } \left\{ \sin ( \sin \pi )+\cos ( \sin \pi ) \times \cos \pi \right\} } {e ^ {\pi } \left\{ \cos ( \sin \pi )-\sin ( \sin \pi ) \times \cos \pi \right\} } $

$ = \frac {-e ^ {\pi } } {e ^ {\pi } } $$ =-1 $

그러므로 점 $ \rm P $에서의 접선의 방정식은

$ y=- \left ( x-e ^ {\pi } \right ) $

이때 접선의 $ x $절편은 $ e ^ {\pi } $, $ y $절편은 $ e ^ {\pi } $이므로 접선과 $ x $축 및 $ y $축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

$ \frac {1} {2} \times e ^ {\pi } \times e ^ {\pi } = \frac {1} {2} e ^ {2 \pi } $

따라서 $ a= \frac {1} {2} $, $ b=2 $이므로

$ 10 ( a+b)=10 \left ( \frac {1} {2} +2 \right ) =25 $

[참고]

원 $ x ^ {2} +y ^ {2} = ( e ^ {t} ) ^ {2} $은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $ e ^ {t} $인 원이고, 점 $ \rm P $가 원 위의 점이므로 $ \overline {\rm OP \it } =e ^ {t} $이다.

직선 $ \rm OP $의 기울기가 $ \tan ( \sin t) $이므로 직선 $ \rm OP $와 $ x $축의 양

의 방향이 이루는 각의 크기는 $ \sin t $이다.

따라서 점 $ \rm P $의 좌표는

$ \rm P \left ( \it e ^ {t} \cos ( \sin t),~e ^ {t} \sin ( \sin t) \right ) $

이다.