[수학의 기초] 함수의 극대와 극소 정의

거의 모든 교과서에 나오는 극대, 극소의 정의는 아래와 같다. 극대와 극소의 정의에 대해 좀더 자세히 알아보자.

정의1.  극대와 극소

1) 함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $$f(x) \leq f(a)$$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극대라 하며, $f(a)$를 극댓값이라고 한다.

2) 함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $$f(x) \geq f(a)$$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극소라 하며, $f(a)$를 극솟값이라고 한다.

이 때, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다.

 

이것을 영어로 표현해 보자.

Definition : Local Maximum and Minimum

A function $f(x)$ has a local maximum at $x=a$ if there exists an open interval $I$ containing $a$ so that $$f(x) \leq f(a)$$ for all $x$ in $I$. Similarly $f(x)$ has a local minimum at $x=a$ if there exists an open interval $I$ containing $a$ so that $$f(x) \geq f(a)$$ for all $x$ in $I$.

 

여기에서 먼저 강조해야 할 것은

$x=a$를 포함하는 어떤 열린구간

에서

(i) "어떤"

(ii) "열린구간"

이다.

 (i) "어떤"은 수학 하 명제편에서 배운바 있는 "어떤", "모든"이란 용어에서 "어떤"을 나타낸다는 것이다. 그냥 일상의 언어에서 나오는 "어떤"이 아니다.

"어떤 열린구간"이란 표현은 "열린구간"이 존재한다는 표현과 동일한다.

즉 열린구간이 하나라도 있으면 된다는 말이다.

위의 영어 표현에서 보듯이

there exists an open interval $I$ 

"하나의 열린구간이 존재한다."

아직 미완성입니다.