[2022년 3월교육청 모의고사 22번 수학2] 정적분으로 정의된 함수의 응용 [더플러스수학]

2022년 3월 고3 모의고사 22번 수2 킬러문제입니다. 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성, 연속성과 3차함수 그래프와의 관계에 대한 문제입니다.

 

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(\displaystyle f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 1\)이고 상수항이 \(\displaystyle 0\)인 삼차함수 \(\displaystyle g(x)\)가 있다. 양의 상수 \(\displaystyle a\)에 대하여 두 함수 \(\displaystyle f(x),~g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 모든 실수 \(\displaystyle x\)에 대하여 \(\displaystyle x \left| g(x) \right| = \int_{2a}^x (a-t)f(t) dt\)이다.

(나) 방정식 \(\displaystyle g(f(x))=0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(\displaystyle x \)이다.

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\(\displaystyle \int_{-2a}^{2a} f(x)dx\)의 값을 구하시오. [4점]

 

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