[옥동수학학원][수학의 기초] 다르부 정리 -도함수의 사잇값 정리[더플러스수학학원]

울산과고 3학년 학생들과 AP_Calculus  수업을 할 때, 연속함수에서는 사잇값 정리가 있는데 미분가능한 함수의 도함수에서는 사잇값 정리와 비슷한 성질 - 사잇값 성질 이 있음을 설명해야 하는 상황이 와서 울산 옥동에 있는 수학학원인 더플러스수학 학원에서 다르부 정리라고 말하는 정리를 조사해 보았다.

다르부 정리

닫힌구간 \(\displaystyle I\)에 대하여 함수 \(\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb R\) 가 치역이 실수인 미분가능한 함수일 때, 도함수 \(\displaystyle f'\)는 사잇값 성질을 갖는다. 여기서 사잇값 성질이란 다음과 같다.
\(\displaystyle a<b ~(a,~b \in I)\)에 대하여 \(\displaystyle f'(a),~f'(b)\)사이의 임의의 실수 \(\displaystyle k\)에 대하여 \(\displaystyle f'(c)=k\)인 \(\displaystyle c\)가 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에 적어도 하나 존재한다.

 

증명)

\(\displaystyle f'(a) \neq f'(b)\)이므로 \(\displaystyle f'(a)<f'(b)\)라 해도 일반성을 잃지 않는다.  따라서 \(\displaystyle f'(a) <k <f'(b)\)

다르브 정리 : 사잇값 성질

함수 \(\displaystyle g(x)=f(x)-kx\)라 두면 함수 \(\displaystyle g\)는 닫힌 구간 \(\displaystyle I\)에서 미분가능한 함수이므로 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b] \subset I\)에서 미분가능하다. 따라서 연속함수이다.

그러므로 최대최소정리에 의해 반드시 최댓값 또는 최솟값이 존재한다.

그런데 \(\displaystyle x=a,~b\)에서 최솟값이 될 수는 없다. 

먼저 \(\displaystyle g'(x)=f'(x)-k\)에서 \(\displaystyle g'(a)=f'(a)-k<0\)이므로 최솟값을 갖지 않는다.

만약 최솟값을 갖는다면

\(\displaystyle x \in [a,~b]\)에서 \(\displaystyle g(a) \leq g(x)\)

또, \(\displaystyle x \geq a\)이므로 \(\displaystyle \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \geq 0\)이므로 양변에 극한 \(\displaystyle x \rightarrow a+\)을 취하면

\(\displaystyle g'(a)\geq 0\)  \(\displaystyle g'(a)=f'(a)-k \geq 0\)

그런데 가정에서 \(\displaystyle g'(a)=f'(a)-k<0\)이므로 모순이다.

마찬가지로 \(\displaystyle g'(b)=f'(b)-k>0\)이므로 \(\displaystyle x=b\)에서 최솟값이 될 수 없다. 

\(\displaystyle g(b)\)가 최솟값이라 하면

\(\displaystyle x \in [a,~b]\)에서 \(\displaystyle g(b) \leq g(x)\)

또, \(\displaystyle x \leq b\)이므로 \(\displaystyle \frac{g(x)-g(b)}{x-b} \leq 0\)이므로 양변에 극한 \(\displaystyle x \rightarrow b-\)을 취하면

\(\displaystyle g'(b)\leq 0\)  \(\displaystyle g'(b)=f'(b)-k \leq 0\)

그런데 가정에서 \(\displaystyle g'(b)=f'(b)-k>0\)이므로 모순이다.

따라서 최소가 되는 \(\displaystyle c\)는 \(\displaystyle a\)와 \(\displaystyle  b\) 사이에 있고, 함수 \(\displaystyle  g\)가 미분가능한 함수이므로 \(\displaystyle g'(c)=f'(c)-k=0\)을 만족이다.

즉, \(\displaystyle f'(c)=k\)이다. 

그러므로 \(\displaystyle f'(a) <k<f'(b)\)에서 \(\displaystyle f'(c)=k\)를 만족하는 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)가 존재한다.

 

예제1.  함수 \(\displaystyle g:[-1,~1]\rightarrow \mathbb R \)가 다음과 같이 정의되었을 때,

\(\displaystyle g ( x)= { \begin {cases} 0 & ( -1 \leq x \leq 0)\\1 & ( 0 \leq x \leq 1)\end {cases} } \)

(1) \(\displaystyle f'=g \)인 함수 \(\displaystyle f \)가 존재하는가? [1점]

(2) 존재하면 예를 들고, 존재하지 않으면 그 근거를 밝혀라. [2점]

정답

(1) 존재하지 않는다.
(2) 함수 \(\displaystyle g\)는 구간 \(\displaystyle [-1,~1]\)에서 사잇값 성질(다르부 정리) 만족하지 않는다. 예를 들어 \(\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}\)를 만족하는 점 \(\displaystyle x \in (1,~1)\)가 존재하지 않는다. 따라서 함수 \(\displaystyle f'=g\)인 함수 \(\displaystyle f\)가 존재하지 않는다.

 

예제2. 다음 명제의 참 거짓을 말하라.

모든 \(\displaystyle x \in [a,~b] \)에 대하여 \(\displaystyle f' ( x)\neq \frac {f' ( a)+f' ( b)} {2} \)인 미분가능한 함수 \(\displaystyle f:[a,~b]\rightarrow \mathbb R \)가 존재한다.

 

정답

거짓 \(\displaystyle f'(x)\)는 \(\displaystyle f'(a)\)와 \(\displaystyle f'(b)\) 사이에 있으므로 사잇값 성질(다르부 정리)을 만족한다. 그런데 위의 명제에서 \(\displaystyle f' ( x)\neq \frac {f' ( a)+f' ( b)} {2} \)라고 했으므로 서로 모순이다. 따라서 함수 \(\displaystyle f\)는 존재하지 않는다.

 

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