[정적분과 점화식] beta function [AP-Calculus]

정적분문제를 점화식을 이용하여 푸는 문제를 찾아 보았다. 

문제1. \(\displaystyle m,~n\)이 음이 아닌 정수일 때, 다음을 증명하여라.

(1) \(\displaystyle  \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx =\frac{m! n! (\beta-\alpha)^m+n+1}{(m+n+1)!}\)

(2) \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}x \cos^{2n+1} x dx = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\) (힌트 : \(\displaystyle \sin^2 x =t\)로 치환)