[옥동수학학원][대칭식과 교대식] 대칭식과 교대식의 성질과 인수분해[더플러스수학]

*대칭식, 교대식 정의

① 대칭식

대칭식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 $ 2 $개의 변수를 바꾸어 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 같아지는 식이다. 예를 들면 $ x+y $, $ xy $, $ x ^ {2} +y ^ {2} $, $ xyz $ 등등이 있다.
$ 2 $개 변수 $ x,~y $를 사용하는 식을 $ f ( x,y) $라 하면
$$ f ( x,y)=f ( y,x) $$
$ 3 $개의 변수 $ x,~y,~z $를 사용하는 식을 $ f ( x,y,z) $라 하면
$$ f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)$$
모든 대칭식은 기본대칭식에 대한 다항식으로 표현이 가능하다.
 

보조정리1  대칭식 $ S _ {n} =x ^ {n} +y ^ {n} $을 기본대칭식들과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) 변수가 $ 2 $개이므로 기본대칭식은 $ x+y,~xy $이므로 $ x+y,~xy $로 표현할 수 있음을 보이면 충분하다.
$ x+y=a $, $ xy=b $라 하면 두 근이 $ x,~y $인 이차방정식을 만들면
$$ t ^ {2} -at+b=0 $$
이 방정식의 양변에 $ t ^ {n} $을 곱하면
$$ t ^ {n+2} -at ^ {n+1} +bt ^ {n} =0 $$
$ x,~y $가 근이므로 대입하면
$$ x^{n+2} -ax^{n+1} +bx^n =0~\cdots\cdots (1)$$
$$ y^{n+2} -ay^{n+1} +by^n =0~\cdots\cdots (2)$$
(1)$ + $(2) 하면
$$ ( x ^ {n+2} +y ^ {n+2} )-a ( x ^ {n+1} +y ^ {n+1} )+b ( x ^ {n} +y ^ {n} )=0 $$
$$ \therefore  S _ {n+2} -aS _ {n+1} +bS _ {n} =0 $$
또, $ S _ {0} =2 $, $ S _ {1} =a $이므로 수학적 귀납법으로 $ S _ {n} ,~S _ {n+1} $이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $ S _ {n+2} $도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 
 

정리2 변수가 $ 2 $개인 대칭다항식은 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.

 
증명) 먼저 $ x ^ {n} +y ^ {n} $$ =S _ {n} $은 기본대칭식으로 표현할 수 있음을 증명했다. 두 개 변수 $ x,~y $로 이루어진 대칭다항식을 $ f ( x,y) $라 하면 $ f $의 일반적인 항은 $ ax ^ {i} y ^ {j} $꼴인데 $ f $가 대칭식, $ f ( x,y)=f ( y,x) $이므로 $ ax ^ {j} y ^ {i} $항을 반드시 가지고 있다.
① $ i=j $일 때,
$ ax ^ {i} y ^ {j} =a ( xy) ^ {i} $이므로 $ xy $로 표현되어 있으므로 기본대칭식으로 표현되어 있다.
② $ i \neq j $일 때,
$ i<j $라 해도 일반성을 잃지 않으므로
$$ ax ^ {i} y ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i}   =a ( xy) ^ {i} ( x ^ {j-i} +y ^ {j-i} )  =a ( xy) ^ {i} S _ {j-i} $$
이므로 이것 역시 $ xy $, $ x+y $에 대한 다항식으로 표현되었다.
따라서 $ f $의 모든 항들을 적당히 쌍을 만들면 $ ax ^ {i} y ^ {j} =a ( xy) ^ {i} $과 $ ax ^ {i} y ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} $꼴로 만들어 지므로 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

보조정리3 대칭식 $ S _ {n} =x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n} $을 기본대칭식들($ x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz $)과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) 변수가 $ 3 $개이므로 기본대칭식은 $ x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz $이므로 $ x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz $로 표현할 수 있음을 보이면 충분하다.
$ x+y+z=a,~xy+yz+zx=b,~xyz=c $라 하면 두 근이 $ x,~y,~z $인 삼차방정식을 만들면
$$ t ^ {3} -at ^ {2} +bt-c=0 $$
이 방정식의 양변에 $ t ^ {n} $을 곱하면
$$ t ^ {n+3} -at ^ {n+2} +bt ^ {n+1} -ct ^ {n} =0 $$
$ x,~y,~z $가 근이므로 대입하면
$$ x^{n+3}-ax^{n+2} +bx^{n+1}-cx^{n} =0 \cdots\cdots(1) $$
$$ y^{n+3}-ay^{n+2} +by^{n+1}-cy^{n} =0 \cdots\cdots(2) $$
$$ z^{n+3}-az^{n+2} +bz^{n+1}-cz^{n} =0 \cdots\cdots(3) $$
①$ + $②$ + $③하면
$$ \matrix{( x ^ {3} +y ^ {n+3} +z ^ {n+3} )-a ( x ^ {n+2} +y ^ {n+2} +z ^ {n+2} )+b ( x ^ {n+1} +y ^ {n+1} + z ^ {n+1} )\\-c ( x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n} )=0} $$
$$ \therefore ~ S _ {n+3} -aS _ {n+2} +bS _ {n+1} -cS _ {n} =0 $$
또, $ S _ {0} =3 $, $ S _ {1} =a $， $ S _ {2} =a ^ {2} -2b $이므로 수학적 귀납법으로 $ S _ {n} ,~S _ {n+1} ,~S _ {n+2} $이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $ S _ {n+3} $도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

보조정리 4. 대칭식 $ T _ {n} = ( xy) ^ {n} + ( yz) ^ {n} + ( zx) ^ {n} $을 기본대칭식들($ x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz $)과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) $ x+y+z=a $, $ xy+yz+zx=b $, $ xyz=c $라 두고 $ xy,~yz,~zx $가 근이 $ 3 $차 방정식을 만들어 보자.
$$xy+yz+zx=b,~xy \times yz+ yz \times zx +zx \times xy =xyz(x+y+z)=ca$$
$$ xy \times yz \times zx= ( xyz) ^ {2} =c ^ {2} $$
이므로
$$ t ^ {3} -bt ^ {2} +cat-c ^ {2} =0 $$
에서 양변에 $ t ^ {n} $을 곱하여 정리하면
$$ t ^ {n+3} -bt ^ {n+2} +cat ^ {n+1} -c ^ {2} t ^ {n} =0 $$
근 $ xy,~yz,~zx $를 대입하면

$ ( xy) ^ {n+3} -b ( xy) ^ {n+2} +ca ( xy) ^ {n+1} -c ^ {2} ( xy) ^ {n} =0 $
$ ( yz) ^ {n+3} -b ( yz) ^ {n+2} +ca ( yz) ^ {n+1} -c ^ {2} ( yz) ^ {n} =0 $
$ ( zx) ^ {n+3} -b ( zx) ^ {n+2} +ca ( zx) ^ {n+1} -c ^ {2} ( zx) ^ {n} =0 $

위의 식을 변변히 더해서 $ T _ {n} = ( xy) ^ {n} + ( yz) ^ {n} + ( zx) ^ {n} $임을 이용하면
$$ T _ {n+3} -bT _ {n+2} +caT _ {n+1} -c ^ {2} T _ {n} =0 $$
또, $ T _ {0} =3 $, $ T _ {1} =b $， $ T _ {2} =b ^ {2} -2ca $이므로 수학적 귀납법으로 $ T _ {n} ,~T _ {n+1} ,~T _ {n+2} $이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $ T _ {n+3} $도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

정리5 변수가 $ 3 $개인 대칭다항식은 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.

 
증명) 먼저 $ x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n} $$ =S _ {n} $은 기본대칭식으로 표현할 수 있음을 증명했다. 세 변수 $ x,~y,~z $로 이루어진 대칭다항식을 $ f ( x,y,z) $라 하면 $ f $가 대칭식이므로
$$ f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)$$
따라서 $ f $의 일반적인 항은 $ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} $꼴인데
① $ i=j=k $일 때,
$ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} =a ( xyz) ^ {i} $이므로 $ xyz $로 표현되어 있으므로 기본대칭식으로 표현되어 있다.
② $ i \neq j=k $일 때, $ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} $항을 가지고 있으므로 $ ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} $, $ ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i} $항을 가지고 있다.
(i) $ i<j $
$ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i} $$ =a ( xyz) ^ {i} ( ( xy) ^ {j-i} + \left ( yz \right ) ^ {j-i} + \left ( zx \right ) ^ {j-i} ) $$ =a ( xyz) ^ {i} T _ {j-i} $
(ii) $ i>j $
$ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i} $$ =a ( xyz) ^ {j} ( x ^ {i-j} +y ^ {i-j} +z ^ {i-j} ) $$ =a ( xyz) ^ {j} S _ {i-j} $
③ $ i,~j,~k $가 모두 다를 때, ($ i>j>k $라 해도 일반성을 잃지 않는다.)
$ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} +ax ^ {i} y ^ {k} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {k} +ax ^ {j} y ^ {k} z ^ {i} +ax ^ {k} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {k} y ^ {j} z ^ {i} $
$ =a ( xyz) ^ {k} \left\{ x ^ {i-k} y ^ {j-k} +x ^ {i-k} z ^ {j-k} +x ^ {j-k} y ^ {i-k} +x ^ {j-k} z ^ {i-k} +y ^ {i-k} z ^ {j-k} +y ^ {j-k} z ^ {i-k} \right\} $
$ \left. =a ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} ( x ^ {k} +y ^ {k} )+ ( yz) ^ {i-j-k} ( y ^ {k} +z ^ {k} )+ ( zx) ^ {i-j-k} ( z ^ {k} +y ^ {k} ) \right\} \right\} $
$ \left . =a ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -z ^ {k} )+ ( yz) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -x ^ {k} )+ ( zx) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -x ^ {k} ) \right\} \right . $
$ \left . \left . =a ( xyz) ^ {k} \left\{ S _ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} + ( yz) ^ {i-j-k} + ( zx) ^ {i-j-k} \right\} \right . \right . \right . $
   $ - \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} $$ =a ( xyz) ^ {k} \left\{ S _ {k} T _ {i-j-k} \right . $$ \left . - \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} \right\} $ $ \cdots \cdots $(*)
a. $ i-j-k=k $일 때,
$ \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} $$ = \left\{ ( xyz) ^ {i-j-k} + ( xyz) ^ {i-j-k} + ( xyz) ^ {i-j-k} \right\} $$ =3 ( xyz) ^ {i-j-k} $
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
 
b. $ i-j-k>k $일 때
$ \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} $$ = ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-2k} + ( yz) ^ {i-j-2k} + ( zx) ^ {i-j-2k} \right\} $$ = ( xyz) ^ {k} T _ {i-j-2k} $
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
 
c. $ i-j-k<k $일 때,
$ \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} $$ = ( xyz) ^ {i-j-k} \left\{ z ^ {2k-i+j} +y ^ {2k-i+j} +x ^ {2k-i+j} \right\} $$ = ( xyz) ^ {i-j-k} S _ {2k-i+j} $
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
따라서 $ f $의 모든 항들을 적당히 쌍을 만들면 $ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} =a ( xyz) ^ {i} $과 $ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i} $, $ ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} +ax ^ {i} y ^ {k} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {k} +ax ^ {j} y ^ {k} z ^ {i} +ax ^ {k} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {k} y ^ {j} z ^ {i} $꼴로 만들어 지므로 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

② 교대식

교대식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 $ 2 $개의 변수를 바꾸어 계산을 하여도 그 결과가 원래의 식과 부호만 달라지는 식이다. 예를 들어 $ 3 $개의 변수 $ x,~y,~z $로 만들어진 식 $ f ( x,y,z) $가 교대식이라고 한다면
$ f ( x,~y,~z) $$ =-f ( y,~x,~z) $$ =-f ( x,~z,~y) $$ =-f ( z,~y,~x) $
예) $ x-y $, $ x ^ {2} ( y-z)+y ^ {2} ( z-x)+z ^ {2} ( x-y) $
 
 

대칭식과 교대식 사이의 관계

 
편의상 세 문자 $ x,~y,~z $에 대하여 증명하도록 하자.
① (대칭식)$ \times $(대칭식)$ = $대칭식
$ f ( x,y,z) $, $ g ( x,y,z) $가 대칭식이라 하자.
$ h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z) $
가 대칭식임을 보이자.
$ h ( y,x,z) $$ =f ( y,x,z) \times g ( y,x,z) $$ =f ( x,y,z) \times g ( x,y,z) $$ =h ( x,y,z) $
마찬가지로 $ y $와 $ z $, $ x $와 $ z $를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $ h ( x,y,z) $는 대칭식이다.
 
② (교대식)$ \times $(대칭식)$ = $교대식
$ f ( x,y,z) $는 교대식, $ g ( x,y,z) $는 대칭식이라 하자.
$ h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z) $
가 교대식임을 보이자.
$ h ( y,x,z) $$ =f ( y,x,z) \times g ( y,x,z) $$ =-f ( x,y,z) \times g ( x,y,z) $$ =-h ( x,y,z) $
마찬가지로 $ y $와 $ z $, $ x $와 $ z $를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $ h ( x,y,z) $는 교대식이다.
 
③ (교대식)$ \times $(교대식)$ = $대칭식
$ f ( x,y,z) $는 교대식, $ g ( x,y,z) $는 교대식이라 하자.
$ h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z) $
가 대칭식임을 보이자.
$ h ( y,x,z) $$ =f ( y,x,z) \times g ( y,x,z) $$ =-f ( x,y,z) \times -g ( x,y,z) $$ =h ( x,y,z) $
마찬가지로 $ y $와 $ z $, $ x $와 $ z $를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $ h ( x,y,z) $는 대칭식이다.
 
(참고) 1. (교대식)$ \pm $(교대식)$ = $(교대식)(대칭식)$ \pm $(대칭식)$ = $(대칭식)
증명은 위의 과정처럼 하면 쉽게 된다.
2. (대칭식)$ \pm $(교대식) : 어떤 식도 안 된다. 교대식$ \times $, 대칭식$ \times $
$ 3 $변수 교대식의 성질과 인수분해
 
 

 $ f ( x,y,z) $가 교대식이라면 $$ f ( x,~y,~z)= ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,~y,~z) $$  이 때, $ g ( x,~y,~z) $는 대칭식이다.

 
(증명)
(i) 먼저 $ f ( x,y,z) $가 $ x-y $를 인수로 가짐을 보이자.
$ f ( x,y,z) $가 교대식이므로
$ f ( x,y,z)=-f ( y,x,z) $ $ \cdots \cdots $①
①에 $ x $ 대신 $ y $를 대입하면
$ f ( y,y,z)=-f ( y,y,z) $
$ \therefore $ $ f ( y,y,z) $$ =0 $
인수정리에 의해 $ f ( x,y,z) $는 $ x-y $를 인수로 갖는다.
따라서 $ y $대신 $ z $를, $ z $대신 $ x $를 대입해도 위의 똑같이 $ y-z $, $ z-x $를 인수로 갖는다.
 
(ii) $ g ( x,y,z) $가 대칭식인 이유를 증명하자.
(1)에 의해
$ f ( x,y,z) $$ = ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,y,z) $
로 표현할 수 있다. $ f ( x,y,z) $가 교대식이므로
$ f ( x,y,z)=-f ( y,x,z) $
$ f ( x,y,z)= ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,y,z) $$ =-f ( y,x,z)=- ( y-x) ( x-z) ( z-x) \cdot g ( y,x,z) $
$ \therefore $$ g ( x,y,z)=g ( y,x,z) $
이것을 $ y $와 $ z $, $ z $와 $ x $에 대해서도 진행하면 $ g ( x,y,z) $가 대칭식임을 알 수 있다.
 
$ 3 $변수 대칭식의 인수분해
$ 3 $변수 대칭식 $ f ( x,y,z) $에 대하여 $ f ( -y,y,z)=0 $이면 $ f ( x,y,z) $는
$ ( x+y) ( y+z) ( z+x) $
를 인수로 갖는다. 즉,
$ f ( x,y,z)= ( x+y) ( y+z) ( z+x) \cdot g ( x,y,z) $
이 때, $ g ( x,y,z) $는 대칭식이다.
(증명) (i) $ f ( x,y,z) $가 $ ( x+y) ( y+z) ( z+x) $를 인수로 가짐을 먼저 증명하자.
가정에서 $ f ( -y,y,z)=0 $이므로 인수정리에 의해
$ x- ( -y) $$ =x+y $
를 인수로 갖는다. 마찬가지로 $ f ( x,y,z) $는 대칭식이므로 $ y $ 대신 $ z $를, $ z $ 대신 $ x $를 넣어도 그 값은 변하지 않으므로
$ f ( -y,y,z)=0 $ $ \Rightarrow $ $ f ( -z,z,x)=0 $
대칭식의 성질에 의해 문자의 순서를 바꾸어도 그 값은 변하지 않으므로
$ f ( -z,z,x)=f ( x,-z,z)=0 $
이 되고 이것은 $ y $자리에 $ -z $를 대입하여 $ 0 $이 된 것을 해석할 수 있다. 따라서 인수정리에 의해 $ f ( x,y,z) $는
$ y- ( -z)=y+z $
를 인수로 갖는다. 같은 방법으로 $ z+x $도 $ f ( x,y,z) $의 인수가 된다.
 
(ii) $ g ( x,y,z) $가 대칭식임을 증명하자.
(대칭식)$ \times $(대칭식)$ = $(대칭식)이므로 $ f ( x,y,z) $와 $ ( x+y) ( y+z) ( z+x) $가 모두 대칭식이므로
$ f ( x,y,z)= ( x+y) ( y+z) ( z+x)\cdots ( x,y,z) $   $ \cdots\cdots $①
이 성립해야 하므로 $ g ( x,y,z) $는 대칭식이어야 한다.

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