[상경계열논술] 2020학년도 한양대 상경계열 모의논술1

https://tv.kakao.com/v/404115266

[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

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<가> 전체집합 $U=\left\{ ~x~|~x는~9~이하의~자연수\right\}$의 두 부분집합 $A=\left\{1,~2,~3,~4,~5  \right\}$, $B=\left\{2,~4,~6,~8 \right\}$에 대하여 $U$의 부분집합 $C$는 $C \cap (A^c \cup B)=\left\{2,~4,~7  \right\}$를 만족한다.

<나> 이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 $\mathrm P (X =x_i )=p_i$ ($i=1,~2,~\cdots,~n$) 일 때, 평균 $\mathrm E (X)$, 분산 $\mathrm V (X)$, 표준편차 $\sigma (X)$는 다음과 같다.

$$\mathrm E(X)=\sum_{i=1}^n x_i p_i ,~~\mathrm V(X)=\mathrm E \left( \left(X-m \right)^2 \right) ~(단,~m= \mathrm E(X)),~~\sigma (X)= \sqrt {\mathrm V(X)}$$

<다> 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm B (n,~p)$를 따를 때, $np \geq 5,~nq \geq 5$ 이면 $X$ 는 근사적으로 정규분포 $\mathrm N (np,~npq)$를 따른다. (단, $q=1-p$)

<라> 표준정규분포표

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1. 집합 $C$는 제시문 <가>를 만족하는 $U$ 의 모든 부분집합에서 고르게 선택된다.  $C$ 의 원소의 개수를 확률변수 $X$ 라 할 때, $X$ 의 기댓값과 분산을 구하여라.

2. 주사위를 던져 나온 눈이 $k$ 일 때, 이를 대입하여 정적분 $$\int_0^6 \left[ x^3 -(12-k)x^2 +6(6-k)x \right] dx$$ 를 구한다. 이러한 시행을 $4050$번 반복하였을 때, 정적분의 값이 양수인 횟수가 $1365$회 이상, $1410$회 이하일 확률을 제시문 <라>의 표준정규분포표를 이용하여 구하여라.

3. 다음 극한값을 구하여라.
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left[ \left(2- \frac{2}{3} + \frac{2}{9} -\frac{2}{27}+\cdots+\frac{2}{(-1)^n-1} \right) +\left( \frac{1}{n^5} + \frac{16}{n^5} +\frac{81}{n^5} +\cdots+\frac{n^4}{n^5}\right)\right]$$