[수학의 기초] 3차함수의 적분공식-부분적분 활용2

 

$f(x)=a(x-\alpha)^2  (x-\beta) $ $(\alpha<\beta)$에 대하여

$$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 (x-\beta)  dx= -\frac{a}{12} (\beta-\alpha)^4 $$

이다. 이것을 보이는 방법은 두가지가 있다.

먼저 $(x-\alpha)^2 (x-\beta)$를 $x-\alpha$에 대한 다항식으로 고치자. 

즉 $(x-\alpha)^2 (x-\beta)=(x-\alpha)^2 (x-\alpha +\alpha-\beta)=(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta )(x-\alpha)^2$

$$\begin{align} \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 (x-\beta)  dx&=a \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^3 + (\alpha-\beta)(x-\alpha)^2 dx \\&=a \left[ \frac{(x-\alpha)^4}{4}+(\alpha-\beta) \frac{(x-\alpha)^3}{3}\right]_{\alpha}^{\beta}\\&=-\frac{a}{12} (\beta-\alpha)^4 \end{align}$$

두 번째 방법은 부분적분을 이용하는 것으로 그 방법은 아래의 링크를 따라 가 보면 된다.

https://plusthemath.tistory.com/177

부분적분 1 - LIATE 'tabular integration by parts'

$\int (x-\alpha)^2 (x-\beta) dx$에서 미분할 것을 $x-\beta$, 적분할 것을 $(x-\alpha)^2$으로 두고 표에 의한 적분을 하면 

\begin{array}{cccc} \hline 미(v) &  &  적(u')  \\\hline x-\beta & &(x-\alpha)^2 \\ &\searrow &\\ 1 &&\large \frac{(x-\alpha)^3}{3} \\&\searrow& \\ 0&\rightarrow & \large \frac{(x-\alpha)^4}{4} \\ \end{array}

에서

$$\begin{align} \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 (x-\beta) dx & =  a \left[ (x-\beta) \times \frac{(x-\alpha)^3}{3} - 1 \times  \frac{(x-\alpha)^4 }{12} \right]_{\alpha}^{\beta} \\&=- \frac{a}{12} (\beta-\alpha)^4  \end{align}$$

이다. 

 

이제 위의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이  $S$는

$$S= \frac{|a|}{12} (\beta-\alpha)^4$$

이다. 

 

예를 들어

곡선 $ y=x ( x-a) ^ {2} $과 $ x $축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $ 12 $일 때, 양수 $ a $의 값을 구하여라.

위의 그래프에서 보듯이 넓이 $S$는 정적분으로 표현하면 

$$\begin{align} S&=\int_0^a x(x-a)^2 dx\end{align}$$

이다. 이것을 위의 공식을 쓰면

$$\begin{align} S&=\int_0^a x(x-a)^2 dx\\& \frac{1}{12} (a-0)^4 =12\end{align}$$

이다. 즉

$a^4 =12^2~~\therefore~a= 2\sqrt3$

 

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