[더플러스수학] 부분적분 1 - LIATE 'tabular integration by parts'

적분하는 방법은 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
첫째, 기본함수(다항함수를 포함하는 $ x^r $($ r $실수)꼴의 함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수)를 적분할 수 있다.
둘째, 기본 함수에 대한 적분법을 알고 있을 때, 합성함수의 미분법의 역과정인 치환적분법과 곱미분에서 유도된 부분적분법이 있다.

부분적분의 원리

여기서는 부분적분에 집중하겠다. 부분적분의 원리를 보이면서 이것의 확장된 형태인 “표에 의한 부분적분”-Tabular Integration by Parts)을 고찰하면서 다항한 함수에 적용해 보자.
먼저 부분적분법은 곱미분에서 출발한다.
$$ ( uv)' =u'v+uv' $$
$$ u'v= ( uv)'-uv' $$
양변을 적분하면 적분은 (+), (-)연산에서는 분리할 수 있으므로
$$ \int u'v = \int ( uv)'-\int uv' $$
$$ \int u'v = uv-\int uv' $$

부분적분 : 함수를 쪼개라

부분적분법은 기본함수들이 곱해져 있는 함수를 적분하는데 유용하게 쓰인다. 그런데 학생들은 치환적분법과 많이 헷갈린다. 치환적분에서도 두 함수 혹은 세 함수들이 곱해져 있지만 부분적분과 달리 잘 보면은 어떤 함수의 도함수가 곱해져 있다. 이것을 찾았다면 곧바로 쉽게 치환적분을 할 수 있다. 그런데 부분적분에서는 두 함수가 곱해져 있지만 곱해진 함수가 어떤 함수의 도함수가 아니다. 이러한 조건에서 두 개 (혹은 세 개이상)의 함수를 서로 분리시켜서 적분할 수 있는 상황을 만드는데 부분적분을 사용한다. 그래서 부분적분의 영어 표현인 'integration by parts'에서 ‘by parts'가 의미하는 바가 두 함수를 쪼갠다는 의미이다.
예를 들어 보면

$ \int xe^{x^2} dx ,~ \int x e^x dx $

위의 두 적분을 생각해보자. 첫 번째 적분은 치환적분을, 두 번째 적분은 부분적분을 해야 한다. 왜냐하면 첫 번째 적분에서는 $ x^2 $의 도함수인 $ x $ ($ 2x $가 도함수이다. 곱해져 있는 숫자$ 2 $는 무시해도 된다.)가 곱해져 있기 때문에 치환적분을 해야 하고, 두 번째 적분에서는 $ x $, $ e^x $이 ‘자체미분’이 곱해져 있는 형태가 아니기 때문이다.

'로다삼지' '지삼다로' 'LIATE'

부분적분에서는 어떤 함수를 $ u' $으로 어떤 함수를 $ v $로 놓아야 할까? 이것이 제일 중용하다. 그래서 ‘로다삼지’ 어떤 사람은 ‘지삼다로‘ 또, 외국에서는 ’LIATE'로 학생들이 머리에 빨리 떠오르게 말을 만든다.
‘로다삼지’(로:log함수, 다:다항함수, 삼:삼각함수, 지: 지수함수), ‘지삼다로’는 ‘로다삼지’를 거꾸로 표현한 것이다. 또, 서양의 ‘LIATE’는
L : log함수,
I : 'inverse trigonometric' 역삼각함수,
A: 'algebraic function' 다항함수를 포함한 $ x^r $($ r $은 실수)꼴의 함수,
T: trigonometric 삼각함수,
E : exponential function 지수함수

\(\displaystyle \begin{matrix} \bf미(v)~~~~~~적(u')\\ \longleftarrow~~~~\longrightarrow\\ \bf로~~~다~~~삼~~~지\end{matrix} \)

미국 대학과정 또는 우리 대학과정에서처럼 역삼각함수가 도입된다면 아래처럼 L I A T E로 왼쪽에는 미분해서 없앨 함수를, 오른쪽은 적분할 함수로 놓고 부분적분을 한다.

\(\displaystyle \begin{matrix} \bf 미(v)~~~~적(u')\\ \longleftarrow~~~~\longrightarrow\\ \bf \mathrm{\textcolor {red}{L~~I~~A~~T~~E}}\end{matrix} \)

두 함수를 쪼갤 때는 미분을 이용한다. 미분해서 없을 것을 $ v $로, 그 반대로 적분을 것을 $ u' $로 놓는다.
예를 들어
$$ \int xe^x dx $$
$ x $를 $ v $로, $ e^x $를 $ u' $로 놓으면 $v'=1,~u=e^x$이므로
$$ \int u'v = uv-\int uv' $$
에서
$$ \begin{align} \int xe^x dx&=xe^x -\int 1\times e^x dx \\ &=xe^x -e^x +C \end{align}$$
이다.
여기서 고민은 예를 들어 $\int x^2 e^x dx$의 경우는 부분적분을 두번 해야 한다는 점이다. 이것이 표에 의한 부분적분이 나오게 되는 이유이다. 즉
$$\int x^2 e^x$$
에서 $v=x^2 ,~u'=e^x$으로 놓으면 $v'=2x,~u=e^x$이므로
$$ \begin{align} \int x^2 e^x =x^2 e^x - \int 2xe^x dx \end{align}$$
또, 여기서 $v=2,~u'=e^x$로 놓으면 $v'=2,~u=e^x$에서
$$ \begin{align} \int x^2 e^x dx &=x^2 e^x - \int 2xe^x dx \\&= x^2 e^x -\left( 2xe^x -\int 2e^x dx \right)\end{align}$$
또, $v=2,~u'=e^x$로 놓고 $v'=0,~u=e^x$이므로
$$ \begin{align} \int x^2 e^x dx &=x^2 e^x - \int 2xe^x dx \\&= x^2 e^x -\left( 2xe^x -\int 2e^x dx \right)\\&= x^2 e^x -\left \{2xe^x - \left( 2e^x -\int 0\times e^x dx \right)\right\}\\&=x^2 e^x -2xe^x +2e^x +\int 0dx \\&= x^2 e^x -2xe^x +2e^x +C\end{align}$$
이렇게 부분적분을 계속하는 과정을 표로 만들어서 적분을 한 것이 표에 의한 적분 - 'Tabular integration by parts'-이다. 즉,
\begin{array}{cccc} 미(v) & & 적(u') \\ x^2 & &e^x\\ &\searrow &\\ 2x &&e^x \\&\searrow& \\ 2&&e^x \\ &\searrow&\\0& \rightarrow &e^x \end{array}
하나 더 하자. $\int x^2 \cos 2x dx$에서 두 함수 $x^2 ,~ \cos2x $는 합성함수의 미분법에서 나오는 '자체미분' 이 없는 그냥 기본 함수의 곱이므로 부분적분을 해야한다. 또 $x^2$이 있으므로 두번 미분해서 '$x^2$'을 제거해야 하므로 부분적분을 두 번해야 한다. 그런데 위의 표에 의한 적분을 하면 이 과정을 한꺼번에 할 수 있다.
\begin{array}{cccc} \hline 미(v) & & 적(u') \\\hline x^2 & &\cos 2x\\ &\searrow &\\ 2x &&\frac{1}{2} \sin2x \\&\searrow& \\ 2&&-\frac{1}{4} \cos2x \\ &\searrow&\\ 0& \rightarrow &-\frac{1}{8} \sin2x \\ \end{array}
에서
$$\begin{align} \int x^2 \cos 2x dx& = x^2 \times \left(\frac{1}{2} \sin2x \right) \textcolor{red}{\bf{-}} 2x \times \left( - \frac{1}{4} \cos2x \right) \\&\textcolor{red}{\bf{+}} 2 \times \left (- \frac{1}{8}\sin2x \right) +C \end{align}$$
이다. 여기서 중요한 것은 위의 예의 빨간색 글처럼 $\textcolor{red}{\bf{+,-,+,\cdots}}$반복된다는 것이다.
다음회에는 표에 의한 부분적분을 이용하여 부분적분하는 예들을 찾아 적분해 보겠습니다.

부분적분의 활용으로

이차함수와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하는 공식 유도

https://plusthemath.tistory.com/229

[수학의 기초] 부분적분의 활용1 -이차함수 넓이 적분