과고1학기 중간고사대비 심화문제 모음

1. $\displaystyle k $가 자연수일 때, 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여

$$\displaystyle p ( p ( x))= \left\{ p ( x) \right\} ^ {k} $$

을 만족하고 계수가 실수인 상수가 아닌 다항식 $\displaystyle p ( x) $를 모두 구하여라.

 

 

 

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정답 및 풀이

$\displaystyle p ( x)=a _ {n} x ^ {n} +a _ {n-1} x ^ {n-1} + \cdots +a _ {1} x+a _ {0} $ ($\displaystyle a _ {0} ,~a _ {1} ,~ \cdots ,~a _ {n} $는 실수, $\displaystyle a _ {n} \neq 0 $, $\displaystyle n \geq 1 $)라 하고 주어진 등식에 $\displaystyle p ( x) $를 대입하여 최고차항을 비교하면

$\displaystyle k=n,~a _ {n} =1 $

즉, $\displaystyle p ( x) $는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1 $인 $\displaystyle k $차 다항식이다.

다항함수 $\displaystyle p ( x) $의 치역은 무한집합이므로 이 치역에 속하는 서로 다른 $\displaystyle y _ {1} ,~y _ {2} ,~ \cdots ,~y _ {k} ,~y _ {k+1} $를 잡으면 서로 다른 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} ,~ \cdots ,~x _ {k+1} $에 대하여 $\displaystyle p ( x _ {i} )=y _ {i} $ ($\displaystyle i=1,~2,~ \cdots ,~k+1 $)이다.

이제 대수학의 기본정리를 이용하여 $\displaystyle p ( x)=x ^ {k} $임을 보이자.

$\displaystyle h ( y)=p ( y)-y ^ {k} $라 하면 여기에 $\displaystyle y _ {1} ,~y _ {2} ,~ \cdots ,~y _ {k+1} $을 대입하면 모두 $\displaystyle 0 $이다. 즉

$\displaystyle h ( y _ {i} )=p ( y _ {i} )-y _ {i} ^ {k} =p ( p ( x _ {i} ))- \left\{ p ( x _ {i} ) \right\} ^ {k} =0 $ ($\displaystyle i=1,~2,~ \cdots ,~k,~k+1 $)

그런데 $\displaystyle h ( y) $는 $\displaystyle k $차 이하의 다항식인데 근은 $\displaystyle ( k+1) $개 가지므로 모든 실수 $\displaystyle y $에 대하여 $\displaystyle h ( y)=p ( y)-y ^ {k} \equiv 0 $

$\displaystyle \therefore ~ $$\displaystyle p ( x)=x ^ {k} $

 

 

2.<’80 서울대 공통>

집합 $\displaystyle S $를

$\displaystyle S= \left\{ x+y \sqrt {2} \vert x,y \right . $ 는 정수이고, $\displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} =1 $ 이며, $\displaystyle x+y \sqrt {2} >0 \mathrm { } $

이라 할 때,

⑴ $\displaystyle \alpha , \beta \in S $ 이면, $\displaystyle \alpha \beta \in S $이고 $\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S $임을 보여라.

⑵ $\displaystyle 1< \alpha <3+2 \sqrt {2} $ 인 $\displaystyle \alpha $는 $\displaystyle S $에 존재하지 않음을 보여라.

⑶ $\displaystyle S= \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} \left|~ n \right . \right. $은 정수 $\left. \right\} $임을 보여라.

 

https://youtu.be/AhzGhafQM04

 

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(1) $\displaystyle \alpha =p+q \sqrt {2} $, $\displaystyle \beta =r+s \sqrt {2} $($\displaystyle p,~q,~r,~s $는 정수, $\displaystyle p ^ {2} -2q ^ {2} =1 $, $\displaystyle r ^ {2} -2s ^ {2} =1 $)이라 두면 $\displaystyle \alpha ,~ \beta $는 집합 $\displaystyle S $의 원소이다.

$\displaystyle \begin{align} \alpha \beta &= ( p+q \sqrt {2} ) ( r+s \sqrt {2} ) \\& =pr+2qs+ ( ps+qr) \sqrt {2} \end{align}$

여기서 $\displaystyle pr+2qs,~ps+qr $는 정수이다. 또,

$\displaystyle \begin{align} ( pr+2qs) ^ {2} -2 ( ps+qr) ^ {2} &= ( p ^ {2} r ^ {2} -2p ^ {2} s ^ {2} )+4 ( q ^ {2} s ^ {2} -q ^ {2} r ^ {2} ) \\& =p ^ {2} r ^ {2} +4q ^ {2} s ^ {2} -2 ( p ^ {2} s ^ {2} +q ^ {2} r ^ {2} ) \\& =p ^ {2} ( r ^ {2} -2s ^ {2} )-2q ^ {2} ( r ^ {2} -2s ^ {2} ) \\& = ( p ^ {2} -2q ^ {2} ) ( r ^ {2} -2s ^ {2} ) \\& =1 \end{align}$

따라서 $\displaystyle \alpha \beta \in S $

또, $\displaystyle \frac {1} {\alpha } $$\displaystyle = \frac {1} {p+q \sqrt {2} } = \frac {p-q \sqrt {2} } { ( p+q \sqrt {2} ) ( p-q \sqrt {2} )} $$\displaystyle = \frac {p-q \sqrt {2} } {p ^ {2} -2q ^ {2} } =p-q \sqrt {2} $

여기서 $\displaystyle p,~-q $는 정수이고 $\displaystyle p ^ {2} -2 ( -q) ^ {2} =p ^ {2} -2q ^ {2} =1 $이므로   $\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S $

(2)

$\displaystyle 1< \alpha <3+2 \sqrt {2} $ $\displaystyle \cdots \cdots $①

인 $\displaystyle \alpha \in S $가 존재한다고 가정하자. (1)에 의해 $\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S $이므로 ①의 역수를 취하면

$\displaystyle \frac {1} {3+2 \sqrt {2} } =3-2 \sqrt {2} < \frac {1} {\alpha } <1 $ $\displaystyle \cdots \cdots $　②

$\displaystyle \alpha =x+y \sqrt {2} $ ($\displaystyle x,~y $는 정수, $\displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} =1 $)이라 하면 ①은

$\displaystyle 1<x+y \sqrt {2} <3+2 \sqrt {2} $ $\displaystyle \cdots \cdots $　③

또, $\displaystyle \frac {1} {\alpha } $는

$\displaystyle \frac {1} {\alpha } = \frac {1} {x+y \sqrt {2} } =x-y \sqrt {2} $

이므로 이것을 ②에 넣어 정리하면

$\displaystyle 3-2 \sqrt {2} <x-y \sqrt {2} <1 $ $\displaystyle \cdots \cdots $④

③-④를 하면

$\displaystyle 0<2y \sqrt {2} <4 \sqrt {2} $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle 0<y<2 $

$\displaystyle y $는 정수이므로

$\displaystyle y=1 $

$\displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} =1 $에서

$\displaystyle x ^ {2} =3 $, $\displaystyle x=\pm \sqrt {3} $

그런데 $\displaystyle x $는 정수이므로 $\displaystyle x $의 값은 존재하지 않는다. 즉 집합 $\displaystyle S $의 원소인 $\displaystyle \alpha $는 존재하지 않는다.

(3) $\displaystyle 3+2 \sqrt {2} \in S $ ($\displaystyle \because $ $\displaystyle 3 ^ {2} -2 \times 2 ^ {2} =1 $)이고 (1)에 의해 $\displaystyle \frac {1} {3+2 \sqrt {2} } \in S $이므로 $\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} $ ($\displaystyle n $은 정수)는 집합 $\displaystyle S $의 원소이다. 따라서

$\displaystyle \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} \vert n \right . $은 정수$\displaystyle \left. \right\} $$\displaystyle \subset S $

이다. 이제 $\displaystyle S \subset $$\displaystyle \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} \vert n \right . $은 정수$\displaystyle \left. \right\} $임을 귀류법으로 보이자.

$\displaystyle a+b \sqrt {2} $$\displaystyle \in S $이고 $\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} $꼴이 아닌 원소가 존재한다고 가정하면 다음 조건을 만족하는 정수 $\displaystyle N $을 잡을 수 있다.

$\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N} <a+b \sqrt {2} < ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N+1} $ $\displaystyle \cdots \cdots $(i)

(1)에 의해 집합 $\displaystyle S $의 원소 중에는 $\displaystyle \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N} } $이 존재하고 집합 $\displaystyle S $는 곱셈에 닫혀 있으므로 (i)의 양변에 $\displaystyle \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N} } $을 곱하면

$\displaystyle 1< ( a+b \sqrt {2} ) \times \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N} } <3+2 \sqrt {2} $

이고 $\displaystyle ( a+b \sqrt {2} ) \times \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {N} } $는 집합 $\displaystyle S $의 원소이다. 그런데 이것은 (2)에 모순이다.

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle S \subset $$\displaystyle \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} \vert n \right . $은 정수$\left. \right\}$

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle S= \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^ {n} \vert n \right . $은 정수$\left. \right\}$