과고1학기 중간고사대비 심화문제 모음(2)

1. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

---

다항식 $\displaystyle f ( x)$와 $\displaystyle g ( x)$에 대해 $\displaystyle f ( x)$라는 다항식을 $\displaystyle g ( x)$로 나누었을 때 몫을 $\displaystyle Q ( x)$, 나머지를 $\displaystyle R ( x)$라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다. (단, $\displaystyle f ( x)$의 차수가 $\displaystyle g ( x)$의 차수보다 크다.)

$$\displaystyle \frac {f ( x)} {g ( x)}  = \frac {g ( x)Q ( x)+R ( x)} {g ( x)}  =Q ( x)+ \frac {R ( x)} {g ( x)}$$

(단, $\displaystyle g ( x) \neq 0$이다.)

---

(1) 위에 제시문을 이용해서 $\displaystyle T ( k)$와 $\displaystyle S ( k)$에 들어갈 알맞은 식을 적으시오. [$\displaystyle 2$점]

$$\displaystyle \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1} = \mathrm { T} ( k)+ \frac {\mathrm { S} ( k)} {k ^ {2} +k+1}$$

 

(2) 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1}$의 값이 정수가 되도록 하는 모든 정수 $\displaystyle k$값의 합을 구하시오. [$\displaystyle 6$점]

 

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

(1) $\displaystyle \mathrm{T} ( k)=k-1$, $\displaystyle \mathrm{S} ( k)=8-k$ (2) $\displaystyle 7$

(1) $\displaystyle \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1}$$\displaystyle =\mathrm{T} ( k)+ \frac {\mathrm{S} ( k)} {k ^ {2} +k+1}$

$\displaystyle \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1}$$\displaystyle = \frac { ( k-1) ( k ^ {2} +k+1)-k+8} {k ^ {2} +k+1}$$\displaystyle =k-1+ \frac {-k+8} {k ^ {2} +k+1}$

$\displaystyle \therefore ~\mathrm{T} ( k)=k-1,~\mathrm{S} ( k)= -k+8$

(2) 준식이 정수가 되기 위해서는 $\displaystyle \frac {-k+8} {k ^ {2} +k+1} ~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$이 정수가 되어야 하므로 먼저 분모가 분자보다 큰 범위를 찾아보자.

${-k+8} >{k ^ {2} +k+1} ~\Longleftrightarrow~k^2 +2k-7<0$

이 부등식을 풀면

$-1-2\sqrt{2}<k<-1+\sqrt{2}$

이고 $k$는 정수이므로 $k$의 값은 $-3,~-2,~-1,~0,~1$

이 $k$의 값을 (i)에 대입하여 정수가 되는 $k$의 값은 $\displaystyle k= -1,~0$이다. 또, (i)이 정수가 되기 위해서는 분자가 $0$이면 되므로 $k=8$이다. 따라서 모든 $k$의 값의 합은 $7$이다.

 

 

 

 

 

2. 임의의 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 다항식 $\displaystyle P _ {m} ( x)=x ^ {4} - ( 2m+4)x ^ {2} + ( m-2) ^ {2}$정의하자. 이때, $\displaystyle P _ {m} ( x)$이 두 정수계수 다항식(상수가 아닌)의 곱으로 나타내어지도록 하는 두 자리의 자연수 $\displaystyle m$의 개수를 구하시오. [$\displaystyle 7$점]

 

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

[정답] $\displaystyle 5$개

위의 $4$차식은 복이차식이다. 따라서 복이차식을 인수분해하는 방법은 두가지가 있다.

먼저 (1) $\displaystyle x ^ {2} =t$라 하면 $\displaystyle t ^ {2} - ( 2m+4)t+ ( m-2) ^ {2}$이 정수계수로 인수분해되어야 한다. $\displaystyle t ^ {2} - ( 2m+4)t+ ( m-2) ^ {2}=0$로 표현될 때, 이 근이 유리수근을 가지면 된다. 

$\displaystyle \frac {D} {4}$$\displaystyle = ( m+2) ^ {2} - ( m-2) ^ {2}$$\displaystyle =8m=K ^ {2}$

$\displaystyle \therefore 2m=$$\displaystyle ($정수$\displaystyle ) ^ {2}$

$\displaystyle \therefore m=2l ^ {2}$

$\displaystyle \therefore m=2 \times 3 ^ {2} ,2 \times 4 ^ {2} ,2 \times 5 ^ {2} ,2 \times 6 ^ {2} ,2 \times 7 ^ {2}$ $\displaystyle \therefore ~$$\displaystyle 5$개

(2) 복이차식이 $A^2 -B^2$의 모양으로 표현하면 다음 두가지있다.

$\displaystyle \begin{align} P _ {m} ( x)&=x ^ {4} - ( 2m+4)x ^ {2} + ( m-2) ^ {2} \\&= x^4 -2(m-2)x^2 +(m-2)^2 -8x^2 \\&=\left\{x^2 -(m-2) \right\}^2 -8x^2 \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} P _ {m} ( x)&=x ^ {4} - ( 2m+4)x ^ {2} + ( m-2) ^ {2} \\&= x^4 +2(m-2)x^2 +(m-2)^2 -4mx^2 \\&=\left\{x^2 +(m-2) \right\}^2 -4mx^2 \end{align}$

정수 계수 다항식으로 인수분해하려면

$\displaystyle \begin{align} P _ {m} ( x)&=x ^ {4} - ( 2m+4)x ^ {2} + ( m-2) ^ {2} \\&= x^4 +2(m-2)x^2 +(m-2)^2 -4mx^2 \\&=\left\{x^2 +(m-2) \right\}^2 -4mx^2 \end{align}$

에서 $4mx^2 =(2 \sqrt {m} x)^2$로 표현할 때, $\sqrt{m}$이 정수여야 하므로 $m=4^2 ,~5^2 ,~6^2,~7^2 ,~8^2 ,~9^2$이다. 

따라서 (1), (2)에서 $m$의 개수는 $5+6=11$개이다.