[더플러스수학] 함수 \(\displaystyle f \)가 일대일대응이면 역함수 \(\displaystyle f^{-1}\)도 일대일대응이다.

정리. 함수 $\displaystyle f:X \rightarrow Y$가 일대일대응(즉, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같은 함수)이면, $\displaystyle f ^ {-1} :Y \rightarrow X$도 일대일대응이다. 이 때, $\displaystyle f ^ {-1}$을 $\displaystyle f$의 역함수(inverse function)이라고 한다.

 

(증명) $\displaystyle f$가 함수이므로 함수 $\displaystyle f$의 정의역 $\displaystyle X$의 모든 원소의 함숫값이 집합 $\displaystyle y$에 존재하므로 $\displaystyle f ^ {-1}$의 공역 $\displaystyle X$는 $\displaystyle f ^ {-1}$의 치역이다.

또, 함수 $\displaystyle f$가 치역과 공역이 같은 함수이므로 공역 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle f$의 치역이다. 따라서 집합 $\displaystyle Y$의 모든 원소가 $\displaystyle f ^ {-1}$에 의해 함숫값이 있으므로 집합 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle f ^ {-1}$의 정의역이다.

(1) 이제 $\displaystyle f ^ {-1}$가 함수임으로 보이자.

먼저 함수 $\displaystyle f$가 일대일 함수이므로 임의의 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in X$에 대하여

$\displaystyle f ( x _ {1} )=f ( x _ {2} )$이면 $\displaystyle x _ {1} =x _ {2}$ $\displaystyle \cdots \cdots$①

여기서 $\displaystyle f ( x _ {1} )=y _ {1}$, $\displaystyle f ( x _ {2} )=y _ {2}$라 하면

$\displaystyle x _ {1} =f ^ {-1} ( y _ {1} )$, $\displaystyle x _ {2} =f ^ {-1} ( y _ {2} )$ $\displaystyle \cdots \cdots$②

①은 ②를 이용하여 바꾸면

$\displaystyle y _ {1} =y _ {2}$이면 $\displaystyle f ^ {-1} ( y _ {1} )=f ^ {-1} ( y _ {2} )$

이것은 $\displaystyle f ^ {-1}$가 함수임을 나타낸다.

(2) 함수 $\displaystyle f^{-1}$가 일대일 함수임을 보이자.

또, 함수 $\displaystyle f$가 함수이므로 임의의 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in X$에 대하여

$\displaystyle x _ {1} =x _ {2}$이면 $\displaystyle f ( x _ {1} )=f ( x _ {2} )$ $\displaystyle \cdots \cdots$③

이다. ③은 ②를 이용하면

$\displaystyle f ^ {-1} ( y _ {1} )=f ^ {-1} ( y _ {2} )$이면 $\displaystyle y _ {1} =y _ {2}$

이 식은 $\displaystyle f ^ {-1}$이 일대일 함수를 나타낸다.

따라서 $\displaystyle f ^ {-1}$는 치역과 공역이 같은 함수이고 일대일 함수이므로 $\displaystyle f ^ {-1}$은 일대일 대응이다.