[더플러스수학] 함수 \(\displaystyle f \)가 일대일대응이면 역함수 \(\displaystyle f^{-1}\)도 일대일대응이다.

정리. 함수 \(\displaystyle f:X \rightarrow Y \)가 일대일대응(즉, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같은 함수)이면, \(\displaystyle f ^ {-1} :Y \rightarrow X \)도 일대일대응이다. 이 때, \(\displaystyle f ^ {-1} \)을 \(\displaystyle f \)의 역함수(inverse function)이라고 한다.

 

(증명) \(\displaystyle f \)가 함수이므로 함수 \(\displaystyle f \)의 정의역 \(\displaystyle X \)의 모든 원소의 함숫값이 집합 \(\displaystyle y \)에 존재하므로 \(\displaystyle f ^ {-1} \)의 공역 \(\displaystyle X \)는 \(\displaystyle f ^ {-1} \)의 치역이다.

또, 함수 \(\displaystyle f \)가 치역과 공역이 같은 함수이므로 공역 \(\displaystyle Y \)는 \(\displaystyle f \)의 치역이다. 따라서 집합 \(\displaystyle Y \)의 모든 원소가 \(\displaystyle f ^ {-1} \)에 의해 함숫값이 있으므로 집합 \(\displaystyle Y \)는 \(\displaystyle f ^ {-1} \)의 정의역이다.

(1) 이제 \(\displaystyle f ^ {-1} \)가 함수임으로 보이자.

먼저 함수 \(\displaystyle f \)가 일대일 함수이므로 임의의 \(\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in X \)에 대하여

\(\displaystyle f ( x _ {1} )=f ( x _ {2} ) \)이면 \(\displaystyle x _ {1} =x _ {2} \) \(\displaystyle \cdots \cdots \)①

여기서 \(\displaystyle f ( x _ {1} )=y _ {1} \), \(\displaystyle f ( x _ {2} )=y _ {2} \)라 하면

\(\displaystyle x _ {1} =f ^ {-1} ( y _ {1} ) \), \(\displaystyle x _ {2} =f ^ {-1} ( y _ {2} ) \) \(\displaystyle \cdots \cdots \)②

①은 ②를 이용하여 바꾸면

\(\displaystyle y _ {1} =y _ {2} \)이면 \(\displaystyle f ^ {-1} ( y _ {1} )=f ^ {-1} ( y _ {2} ) \)

이것은 \(\displaystyle f ^ {-1} \)가 함수임을 나타낸다.

(2) 함수 \(\displaystyle f^{-1} \)가 일대일 함수임을 보이자.

또, 함수 \(\displaystyle f \)가 함수이므로 임의의 \(\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in X \)에 대하여

\(\displaystyle x _ {1} =x _ {2} \)이면 \(\displaystyle f ( x _ {1} )=f ( x _ {2} ) \) \(\displaystyle \cdots \cdots \)③

이다. ③은 ②를 이용하면

\(\displaystyle f ^ {-1} ( y _ {1} )=f ^ {-1} ( y _ {2} ) \)이면 \(\displaystyle y _ {1} =y _ {2} \)

이 식은 \(\displaystyle f ^ {-1} \)이 일대일 함수를 나타낸다.

따라서 \(\displaystyle f ^ {-1} \)는 치역과 공역이 같은 함수이고 일대일 함수이므로 \(\displaystyle f ^ {-1} \)은 일대일 대응이다.