[옥동수학학원][수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

미적분 수업을 하면서 정적분의 정의를 고등학교과정을 넘어 대학에서는 어떻게 정의하고 있는지를 학생들에게 알려 줄 필요가 있어서 이우출판사의 미적분학(저자 김정수, 박을용, 이을용, 윤옥경 등등) 1988년 책-오래된 책 ㅋㅋ 본인의 대학교 1학년교재-을 참조하여 정리해 나가고자 한다. 증명은 최대한 본인이 이해한 방식으로 적을 것이다. 그러므로 오류가 있다면 그것은 나로 인한 것이다.
고등학교에서는 구간 \(\displaystyle I=[a,~b] \) 를 \(\displaystyle n \) 등분-균등분할하여 구분구적법으로 정적분을 정리하지만 대학에서는 균등분할하지 않고 임의로 분할하여 정적분을 정리해 간다. 먼저 구간의 분할에서 출발하자.

정의1. 구간의 분할, 분할의 크기(norm of partition)과 세분(refinement)

구간 \(\displaystyle I=[a,~b] \) 사이에 \(\displaystyle ( n-1) \)개의 점 \(\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} ,~ \cdots ,~x _ {n-1} \)을 잡고
$$\displaystyle a=x _ {0} < x _ {1} < \cdots < x _ {n-1} < x _ {n} =b $$
라고 하면 구간 \(\displaystyle I \)는 \(\displaystyle n \)개의 소구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \) (\(\displaystyle i=1,~2,~ \cdots ,~n \))으로 나누어 진다.
이 때, 집합
$$\displaystyle P= \left\{ a=x _ {0} ,~x _ {1} ,~ \cdots ,~x _ {n} \right\} $$
을 구간 \(\displaystyle I \) 의 분할(partition)이라 한다.
또, 소구간의 길이 중 제일 큰 것을 분할의 크기(norm of partition)이라고 하고 기호로 \(\displaystyle \|P \|\)로 나타낸다. 즉

\(\displaystyle \|P \|=\max\left\{|x_i -x_{i-1}| \vert \, i=1,~2,~3,~\cdots,~n \right\}\)

또, 두 개의 분할 \(\displaystyle P,~Q \)가 주어졌을 때, \(\displaystyle P \subset Q \)이면 \(\displaystyle Q \)를 \(\displaystyle P \)의 세분(refinement)라고 한다.
 
예) \(\displaystyle \left\{ a,~b \right\} \)는 구간 \(\displaystyle I=[a,~b] \)의 자명한 분할(trivial partition)이라 한다.
예) 구간 \(\displaystyle \left [ 0,~1 \right ] \)에서 분할 \(\displaystyle P= \left\{ 0,~ \frac {1} {2} ,~1 \right\} \), \(\displaystyle Q= \left\{ 0,~ \frac {1} {3} ,~ \frac {1} {2} ,~1 \right\} \)이라 하면 \(\displaystyle P \subset Q \)이므로 \(\displaystyle Q \)는 \(\displaystyle P \)의 세분이라고 한다.
구간을 분할 한 후 정적분을 정의하기 위해 소구간의 길이에 어떠한 점에서의 함숫값을 곱하느냐에 따라 구간의 오른쪽 끝점의 함숫값을 곱하여 얻어지는 합(나는 우종점합이라 말하겠다.)을 구하거나 구간의 왼쪽 끝점의 함숫값을 곱하여 합(좌종점합)을 구하느냐, 구간내의 점의 함숫값을 곱하여 합을 구할 수도 있다. 이에 대해 정리하기 위해 리만합, 상합, 하합에 대해 정의한다.

 

정의2. 리만합, 상합, 하합

닫힌 구간 \(\displaystyle [a,~b] \)의 한 분할 \(\displaystyle P \)일 때, \(\displaystyle f ( x) \)는 구간 \(\displaystyle \left [ x _ {i-1} ,~x _ {i} \right ] \) (\(\displaystyle i=1,~2,~ \cdots ,~n \))에서 연속이고, \(\displaystyle c _ {i} \in \left [ x _ {i-1} ,~x _ {i} \right ] \)에 대하여 다음의 합을 리만합이라 한다.
$$\displaystyle \begin{align} R_a^b (P,~f)&=\sum_{i=1}^{n} f(c_i )(x_i -x_{i-1}) \\&=f ( c _ {1} ) \left ( x _ {1} -x _ {0} \right ) +f ( c _ {2} ) \left ( x _ {2} -x _ {1} \right ) + \cdots +f \left ( c _ {n} \right ) \left ( x _ {n} -x _ {n-1} \right ) \end{align}$$
또, 구간 \(\displaystyle \left [ x _ {i-1} ,~x _ {i} \right ] \)의 점 \(\displaystyle s _ {i} ,~t _ {i} \)에서 각각 최댓값과 최솟값을 갖는다고 할 때,
$$\displaystyle \begin{align} U _ {a} ^ {b} ( P,~f) &= \sum\limits _ {i=1} ^ {n} f ( s _ {i} ) ( x _ {i} -x _ {i-1} ) \\& =f ( s _ {1} ) \left ( x _ {1} -x _ {0} \right ) +f ( s _ {2} ) \left ( x _ {2} -x _ {1} \right ) + \cdots +f \left ( s _ {n} \right ) \left ( x _ {n} -x _ {n-1} \right ) \end{align}$$
을 분할 \(\displaystyle P \)에 대한 함수 \(\displaystyle f \)의 상합(upper sum)-다르부 상합이라고 한다. 또,
$$\displaystyle \begin{align}  L _ {a} ^ {b} ( P,~f) &= \sum\limits _ {i=1} ^ {n} f ( t _ {i} ) ( x _ {i} -x _ {i-1} ) \\& =f ( t _ {1} ) \left ( x _ {1} -x _ {0} \right ) +f ( t _ {2} ) \left ( x _ {2} -x _ {1} \right ) + \cdots +f \left ( t _ {n} \right ) \left ( x _ {n} -x _ {n-1} \right ) \end{align}$$
를 분할 \(\displaystyle P \)에 대한 함수 \(\displaystyle f \)의 하합(lower sum)-다르부 하합이라고 한다.
 
* 함수 \(\displaystyle f\)를 "연속"함수로 정의했기 때문에 구간 \(\displaystyle [x_{i-1} ,~x_i ]\)에서 최댓값, 최솟값을 이용하여 상합, 하합을 정의했다. 그런데 만약 함수 \(\displaystyle f~:~[a,~b] \rightarrow \mathbb R\)가 유계인 함수(bounded function)라고 하면 최댓값, 최솟값 대신 상한(supremum), 하한(infimum)을 이용하여 상합, 하합을 정의한다. 즉
\(\displaystyle M_k = \sup f([x_{k-1},~x_k ]),~m_k = \inf f([x_{k-1},~x_k ]) \)
라 할  때, 
(1) 다르부 상합 \(\displaystyle U_a^b (f,~P)=\sum_{k=1}^n M_k (x_k -x_{k-1})\)
(2) 다르부 하합 \(\displaystyle L_a^b (f,~P)=\sum_{k=1}^n m_k (x_k -x_{k-1})\)
라 한다.
 
 

위의 그림에서 보듯이 구간 \(\displaystyle \left . [x _ {i-1} ,~x _ {i} \right ] \)에서 \(\displaystyle f ( t _ {i} ) \leq f ( x) \leq f ( s _ {i} ) \)이므로
$$ \displaystyle f ( t _ {i} ) \leq f ( c _ {i} ) \leq f ( s _ {i} ) ,~ L _ {a} ^ {b} ( P,~f) \leq  R_a^b (P,~f) =\sum\limits _ {i=1} ^ {n} f ( c _ {i} ) ( x _ {i} -x _ {i-1} ) \leq U _ {a} ^ {b} ( P,~f) $$
즉, 항상 리만합은 상합과 하합 사이에 존재한다.
위에서는 분할 \(\displaystyle P \)가 주어졌을 때, 소구간 \(\displaystyle \left [ x _ {i-1} ,~x _ {i} \right ] \)의 \(\displaystyle x \)값에 따라 리만합이 어떻게 변하는지를 고찰했다면 이제 분할 \(\displaystyle P \)를 더 세분(refinement)한 분할 \(\displaystyle Q \)에서는 리만합이 어떻게 움직이는지 알아보자.\(\displaystyle \)
 

정리3.

---

함수 \(\displaystyle f \)를 닫힌 구간 \(\displaystyle [a,~b] \)에서 연속인 함수라 하고, 집합 \(\displaystyle P= \left\{ x _ {0} ,~x _ {1} ,~ \cdots ,~x _ {n} \right\} \)를 구간 \(\displaystyle [a,~b] \)에서의 한 분할이라 하자.
분할 \(\displaystyle Q \)가 분할 \(\displaystyle P \)의 세분 즉, \(\displaystyle P \subset Q \)이라 하면 다음의 관계가 성립한다.
$$\displaystyle L _ {a} ^ {b} ( P,~f) \leq L _ {a} ^ {b} ( Q,~f) \leq U _ {a} ^ {b} ( Q,~f) \leq U _ {a} ^ {b} ( P,~f) $$

---

(증명) 분할 \(\displaystyle Q \)를 분할 \(\displaystyle P \)에 한 점 \(\displaystyle x ' \)를 추가한 세분일 때, 증명하면 임의의 세분 \(\displaystyle Q \)에 대하여서도 증명할 수 있다. 즉
\(\displaystyle P= \left\{ x _ {0} ,~x _ {1} ,~ \cdots ,~x _ {i-1} ,~x _ {i} ,~ \cdots x _ {n} \right\} \)
\(\displaystyle Q= \left\{ x _ {0} ,~x _ {1} ,~ \cdots ,~ \textcolor{red}{x _ {i-1} ,~x ' ,~x _ {i} } ,~ \cdots x _ {n} \right\} \)
일반성을 잃지 않고 \(\displaystyle x ' \in ( x _ {i-1} ,~x _ {i} ) \)에 있다고 가정하자. 그러면 소수간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)를 제외한 모든 구간에서는 상합과 하합은 모두 같다. 따라서 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)에서 \(\displaystyle f \)는 \(\displaystyle x=t _ {i} \)에서 최댓값을 \(\displaystyle x=s _ {i} \)에서 최솟값을 갖는다고 하자.

위의 그림에서 보듯이 이 구간에 \(\displaystyle x ' \)을 추가하면 두 개의 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x ' ] \), \(\displaystyle [x ' ,~x _ {i} ] \)으로 나눠 지는데 먼저 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x ' ] \)에서는 \(\displaystyle x=u ' \)일 때 최댓값을 갖고, \(\displaystyle x=u \)일 때, 최솟값을 갖는다고 하자. 또, 구간 \(\displaystyle [x ' ,~x _ {i} ] \)에서는 \(\displaystyle x=v ' \)일 때, 최댓값을 갖고, \(\displaystyle x=v \)일 때, 최솟값을 갖는다고 하자. 그러면 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)에서의 최댓값 \(\displaystyle f ( s _ {i} ) \)는 \(\displaystyle f ( s _ {i} )=max \left\{ f ( u ' ),~f ( v ' ) \right\} \)이므로
$$\displaystyle f ( s _ {i} ) \geq f ( u ' ),~f ( s _ {i} ) \geq f ( v ' ) $$
또, 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)에서의 최솟값 \(\displaystyle f ( t _ {i} ) \)는 \(\displaystyle f ( t _ {i} )=min \left\{ f ( u),~f ( v) \right\} \)이므로
$$\displaystyle f ( t _ {i} ) \geq f ( u),~f ( t _ {i} ) \geq f ( v) $$
따라서 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x ' ] \)에서의 상합은
$$\displaystyle f ( u ' ) \left ( x ' -x _ {i-1} \right ) \leq f ( s _ {i} ) \left ( x ' -x _ {i-1} \right ) $$
구간 \(\displaystyle [x ' ,~x _ {i} ] \)에서의 상합은
$$\displaystyle f ( v ' ) ( x _ {i} -x ' ) \leq f ( s _ {i} ) \left ( x ' -x _ {i-1} \right ) $$
이다.
따라서 구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)에서의 분할 \(\displaystyle P,~Q \)의 상합은 다음 관계가 있다.
$$\displaystyle \begin{align}  f ( u ' ) \left ( x ' -x _ {i-1} \right ) +f ( v ' ) \left ( x _ {i} -x ' \right ) & \leq f ( s _ {i} ) \left ( x ' -x _ {i-1} \right ) +f ( s _ {i} ) ( x _ {i} -x ' )\\&=f ( s _ {i} ) \left ( x _ {i} -x _ {i-1} \right )\end{align} $$
따라서 \(\displaystyle U _ {a} ^ {b} ( Q,~f) \geq U _ {a} ^ {b} \left ( P,~f \right ) \)
마찬가지로
구간 \(\displaystyle [x _ {i-1} ,~x _ {i} ] \)에서의 최솟값 \(\displaystyle f ( t _ {i} ) \)는 \(\displaystyle f ( t _ {i} )=min \left\{ f ( u),~f ( v) \right\} \)이므로 위의 과정과 똑같이 하면

\(\displaystyle L _ {a} ^ {b} ( P,~f) \geq L _ {a} ^ {b} \left ( Q,~f \right ) \)

 
따름정리4. 임의의 하합은 모든 상합보다 크지 않다. 
(증명) \(\displaystyle P,~Q\)를 임의의 두 분할이라고 하자. 분할 \(\displaystyle P\)의 점과 분할 \(\displaystyle Q\)의 점을 합한 분할인 \(\displaystyle P \cup Q =R\)이라고 하면 분할 \(\displaystyle R\)은 \(\displaystyle P\)의 세분이고 \(\displaystyle Q\)의 세분이다. 따라서 정리3에 의해

\(\displaystyle L _ {a} ^ {b} ( P,~f) \geq L _ {a} ^ {b} \left ( R,~f \right ) \), \(\displaystyle U _ {a} ^ {b} ( R,~f) \geq U _ {a} ^ {b} \left ( Q,~f \right ) \)

가 성립한다. 여기서 분할 \(\displaystyle R\)에서는 \(\displaystyle L _ {a} ^ {b} ( R,~f) \geq U _ {a} ^ {b} \left ( R,~f \right ) \)가 성립하므로  \(\displaystyle L _ {a} ^ {b} ( \textcolor{red} {P},~f) \geq  U _ {a} ^ {b} \left (\textcolor{red}{ Q},~f \right ) \)
 
이 따름정리에 의해 어떤 한 분할을 점점 더 작은 소구간으로 세분해 나가면 하합은 점점 커지고 상합은 점점 작아진다. 여기서 상합과 하합이 어떤 한 값에 가까워질지 가까워 진다면 앞으로 이 값을 우리는 정적분이라고 정의하는데 그것에 가기 전에 먼저 이론적인 기반인 실수의 성질-위로 유계, 상계, 아래로 유계, 하계, 상한, 하한에 대해 먼저 알고 지나가야 한다. 그리고 이것을 통해 실수의 완비성 공리를 통해 정적분의 존재를 말할 수 있다.
이것에 대해서는 다음의 글을 먼저 읽고 아래의 진행과정을 읽어 나가길 바란다.

2022.03.22 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초]상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

[수학의 기초]상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

 
완비성 공리5. 공집합이 아닌 실수의 집합이 위로 유계이면 상한이 존재한다. 마찬가지로 집합이 아래로 유계이면 하한이 존재한다.
이제 이것을 전제로 해서 상적분, 하적분, 정적분을 정의하고 정적분의 기본성질들을 확인하겠다. 이것은 다음 편의 주제이다.
 

2022.03.25 - [분류 전체보기] - [수학의 기초] 정적분의 정의(2)-상적분, 하적분, 정적분의 성질

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