한 문제의 두 이야기 1 - 수학상 5-18번

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$\displaystyle  a,~b$가 유리수일 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $$\displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n}$$ 이 성립하도록 $\displaystyle a,~b$의 값을 정하여라. 단, $\displaystyle b \neq 0$이다.

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(풀이1)

정답 $\displaystyle {a= \frac {1} {2} ,~b=\pm \frac {1} {2} }$

$\displaystyle a$는 유리수이고 $\displaystyle b \neq 0$이므로 $\displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} \neq 0$이다.

양변을 $\displaystyle ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n}$으로 나누면

$$\displaystyle ( a+b \sqrt {5} ) ^ {2} =a+b \sqrt {5} +1$$

$$\displaystyle \therefore~ ( a ^ {2} +5b ^ {2} -a-1)+ ( 2ab-b) \sqrt {5} =0$$

$\displaystyle a,~b$는 유리수이므로

$$\displaystyle a ^ {2} +5b ^ {2} -a-1=0 ~~\cdots\cdots (\mathrm{i})$$

$$\displaystyle2ab-b=0 ~~\cdots\cdots (\mathrm{ii})$$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) 에서 $\displaystyle b \neq 0$이므로 $\displaystyle a= \frac {1} {2}$

($\displaystyle \mathrm{i}$) 에 대입하면 $\displaystyle b=\pm \frac {1} {2}$

 

(풀이2)

$$\displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n}$$ 에서 $\displaystyle a+b \sqrt{5}=x$로 치환하면 

$$\displaystyle x ^ {n+2} = x ^ {n+1} + x^ {n} \cdots\cdots (\mathrm{i})$$

$\displaystyle b \neq 0$ 이므로 $\displaystyle x \neq 0$ 이므로 $\displaystyle (\mathrm{i})$의 양변을 $\displaystyle x^n$으로 나누면

$$\displaystyle x ^ 2 = x  +1,~x^2 -x-1=0$$

근의 공식을 이용하여 위의 이차방정식을 풀면

$$\displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

따라서 $$\displaystyle \therefore~ a=\frac{1}{2} ,~b= \pm \frac{\sqrt5}{2}$$