한 문제의 두 이야기 1 - 수학상 5-18번

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$\displaystyle  a,~b $가 유리수일 때, 모든 자연수 $ \displaystyle n $에 대하여 $$ \displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} $$이 성립하도록 $\displaystyle a,~b $의 값을 정하여라. 단, $\displaystyle b \neq 0 $이다.

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(풀이1)

정답 $\displaystyle {a= \frac {1} {2} ,~b=\pm \frac {1} {2} } $

$\displaystyle a $는 유리수이고 $\displaystyle b \neq 0 $이므로 $ \displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} \neq 0 $이다.

양변을 $\displaystyle ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} $으로 나누면

$$\displaystyle ( a+b \sqrt {5} ) ^ {2} =a+b \sqrt {5} +1 $$

$$\displaystyle \therefore~ ( a ^ {2} +5b ^ {2} -a-1)+ ( 2ab-b) \sqrt {5} =0 $$

$\displaystyle a,~b $는 유리수이므로

$$\displaystyle a ^ {2} +5b ^ {2} -a-1=0 ~~\cdots\cdots (\mathrm{i}) $$

$$ \displaystyle2ab-b=0 ~~\cdots\cdots (\mathrm{ii}) $$

($\displaystyle \mathrm{ii}$) 에서 $\displaystyle b \neq 0 $이므로 $\displaystyle a= \frac {1} {2} $

($\displaystyle \mathrm{i}$) 에 대입하면 $\displaystyle b=\pm \frac {1} {2} $

 

(풀이2)

$$ \displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} $$에서 \(\displaystyle a+b \sqrt{5}=x\)로 치환하면 

$$ \displaystyle x ^ {n+2} = x ^ {n+1} + x^ {n} \cdots\cdots (\mathrm{i})$$

\(\displaystyle b \neq 0\) 이므로 \( \displaystyle x \neq 0\) 이므로 \(\displaystyle (\mathrm{i})\)의 양변을 \(\displaystyle x^n\)으로 나누면

$$ \displaystyle x ^ 2 = x  +1,~x^2 -x-1=0$$

근의 공식을 이용하여 위의 이차방정식을 풀면

$$ \displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt5}{2} $$

따라서 $$ \displaystyle \therefore~ a=\frac{1}{2} ,~b= \pm \frac{\sqrt5}{2} $$