2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-자연,공대

문제 1. 좌표공간에서 \(\displaystyle 0\) 이상의 정수 \(\displaystyle n\) 에 대하여 평면 \(\displaystyle \alpha_n ,~\beta_n \)을 다음과 같이 정의하자.

(i) 평면 \(\displaystyle \alpha_n \) 은 점 \(\displaystyle (1,~0,~1)\)을 지나고 \(\displaystyle xy\)평면과의 교선의 방정식이

\(\displaystyle x+y=n,~z=0 \)

이다.

(ii) 평면 \(\displaystyle \beta_n \) 은 점 \(\displaystyle (0,~0,~1)\)을 지나고 \(\displaystyle xy\)평면과의 교선의 방정식이

\(\displaystyle x-y=n,~z=0 \)

이다.

 

1-1. 다음과 같은 직육면체 \(\displaystyle V\)가 있다.

\(\displaystyle V= \left\{ (x,~y,~z) \left| \right. 0 \leq x+y \leq 1,~ 0 \leq x-y \leq 1,~0 \leq z \leq 1 \right\} \)

직육면체 \(\displaystyle V\)가 두 평면 \(\displaystyle \alpha_0 ,~\alpha_1 \)에 의하여 한꺼번에 잘릴 때 생기는 다면체 중에서 점 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2},~0,~0\right) \)을 포함하는 것은 어떤 다면체인지 설명하고 그 부피를 구하시오.

 

1-2. 문제 1-1의 직육면체 \(\displaystyle V\)가 네 평면 \(\displaystyle \alpha_0 ,~\alpha_1,~\beta_0 ,~\beta_1 \)에 의하여 한꺼번에 잘릴 때 생기는 다면체 중에서 점 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2},~0,~0\right) \)을 포함하는 다면체를 \(\displaystyle X\) 라 하자. \(\displaystyle X\)는 어떤 다면체인지 설명 하고 그 부피를 구하시오.

 

1-3. 실수 \(\displaystyle t \) 가 \(\displaystyle 0 \leq t \leq 1\) 일 때, 문제 1-2의 다면체 \(\displaystyle X\) 에 포함되고 점 \(\displaystyle (t,~0,~0)\)에서 \(\displaystyle xy\) 평면에 접하는 구 중 반지름이 최대인 구를 \(\displaystyle S\)라 하자. \(\displaystyle S\)의 반지름 \(\displaystyle r(t)\)를 \(\displaystyle t\)에 관한 식으로 나타 내시오.

 

1-4. 평면 \(\displaystyle \alpha_n ~(n=1,~2,~3,~\cdots) \)을 만나지 않는 한 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_0 (a,~b,~c)\)에 대하여, 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_0 \)의 평면 \(\displaystyle \alpha_1 \)  위로의 정사영을 \(\displaystyle \mathrm{A}_1 \) 이라 하고 다시 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_1 \)  의 평면 \(\displaystyle \alpha_2 \) 위로의 정사영을  \(\displaystyle \mathrm{A}_2 \) 라 하자. 이와 같은 시행을 반복하여 점  \(\displaystyle \mathrm{A_3,~ A_4 ,~cdots,~A_{2020}}\) 을 얻었다고 하자. 이 때, 점 \(\displaystyle \mathrm{A_1,~ A_2 ,~A_3 ,~A_4 ,~~cdots,~A_{2020}}\)을 모두 포함하는 평면이 존재하는가? 존재하면 그 평면의 방정식을 구하고, 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오.

 

문제 2. 실수 \(\displaystyle a < b  \)에 대하여 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b ]\)가 주어졌을 때, 함수 \(\displaystyle y=f_{[a,b]}(x) \)를 실수 전체의 집합에서 다음과 같이 정의하자.

\(\displaystyle y=f_{[a,b]}(x) =\begin{cases} a+b-x &(x \in [a,~b])\\ x &(x \not \in [a,~b])\end{cases} \)

 

2-1. 합성함수 \(\displaystyle y=\left(f_{[0,2]} \circ f_{[1,3]}\right) (x) \)는 \(\displaystyle x=1,~2,~3 \)에서의 값을 구하시오. 또 부등식

\(\displaystyle \left(f_{[0,2]} \circ f_{[1,3]}\right) (x) \geq x+1 \)

을 만족하는 \(\displaystyle x\) 의 값의 범위를 구하시오.

 

2-2.두 함수 \(\displaystyle y=x^2 ,~\left(f_{[0,1]} \circ f_{[a,a+1]}\right) (x) \)

의 그래프가 좌표평면 위의 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 상수 \(\displaystyle a \) 의 값의 범위를 구하시오. (단, \(\displaystyle a\)의 범위는 \(\displaystyle 0 \leq a \leq 1 \)이다. )

 

2-3. 모든 실수 \(\displaystyle x\) 에 대하여

\(\displaystyle y=\left(f_{[0,1]} \circ f_{[a,b]}\right) (x) \left(f_{[a,b]} \circ f_{[0,1]}\right) (x)\)

가 성립하도록 하는 점 \(\displaystyle \mathrm{P}(a,~b)\)의 영역을 구하시오. (단, 실수 \(\displaystyle a\)의 범위는 \(\displaystyle 0 \leq a<b \leq 1 \)이다.)