2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-자연,공대

문제 1. 좌표공간에서 $\displaystyle 0$ 이상의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 평면 $\displaystyle \alpha_n ,~\beta_n$을 다음과 같이 정의하자.

(i) 평면 $\displaystyle \alpha_n$ 은 점 $\displaystyle (1,~0,~1)$을 지나고 $\displaystyle xy$평면과의 교선의 방정식이

$\displaystyle x+y=n,~z=0$

이다.

(ii) 평면 $\displaystyle \beta_n$ 은 점 $\displaystyle (0,~0,~1)$을 지나고 $\displaystyle xy$평면과의 교선의 방정식이

$\displaystyle x-y=n,~z=0$

이다.

 

1-1. 다음과 같은 직육면체 $\displaystyle V$가 있다.

$\displaystyle V= \left\{ (x,~y,~z) \left| \right. 0 \leq x+y \leq 1,~ 0 \leq x-y \leq 1,~0 \leq z \leq 1 \right\}$

직육면체 $\displaystyle V$가 두 평면 $\displaystyle \alpha_0 ,~\alpha_1$에 의하여 한꺼번에 잘릴 때 생기는 다면체 중에서 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},~0,~0\right)$을 포함하는 것은 어떤 다면체인지 설명하고 그 부피를 구하시오.

 

1-2. 문제 1-1의 직육면체 $\displaystyle V$가 네 평면 $\displaystyle \alpha_0 ,~\alpha_1,~\beta_0 ,~\beta_1$에 의하여 한꺼번에 잘릴 때 생기는 다면체 중에서 점 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},~0,~0\right)$을 포함하는 다면체를 $\displaystyle X$ 라 하자. $\displaystyle X$는 어떤 다면체인지 설명 하고 그 부피를 구하시오.

 

1-3. 실수 $\displaystyle t$ 가 $\displaystyle 0 \leq t \leq 1$ 일 때, 문제 1-2의 다면체 $\displaystyle X$ 에 포함되고 점 $\displaystyle (t,~0,~0)$에서 $\displaystyle xy$ 평면에 접하는 구 중 반지름이 최대인 구를 $\displaystyle S$라 하자. $\displaystyle S$의 반지름 $\displaystyle r(t)$를 $\displaystyle t$에 관한 식으로 나타 내시오.

 

1-4. 평면 $\displaystyle \alpha_n ~(n=1,~2,~3,~\cdots)$을 만나지 않는 한 점 $\displaystyle \mathrm{A}_0 (a,~b,~c)$에 대하여, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_0$의 평면 $\displaystyle \alpha_1$  위로의 정사영을 $\displaystyle \mathrm{A}_1$ 이라 하고 다시 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$  의 평면 $\displaystyle \alpha_2$ 위로의 정사영을  $\displaystyle \mathrm{A}_2$ 라 하자. 이와 같은 시행을 반복하여 점  $\displaystyle \mathrm{A_3,~ A_4 ,~cdots,~A_{2020}}$ 을 얻었다고 하자. 이 때, 점 $\displaystyle \mathrm{A_1,~ A_2 ,~A_3 ,~A_4 ,~~cdots,~A_{2020}}$을 모두 포함하는 평면이 존재하는가? 존재하면 그 평면의 방정식을 구하고, 존재하지 않으면 그 이유를 설명하시오.

 

문제 2. 실수 $\displaystyle a < b$에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b ]$가 주어졌을 때, 함수 $\displaystyle y=f_{[a,b]}(x)$를 실수 전체의 집합에서 다음과 같이 정의하자.

$\displaystyle y=f_{[a,b]}(x) =\begin{cases} a+b-x &(x \in [a,~b])\\ x &(x \not \in [a,~b])\end{cases}$

 

2-1. 합성함수 $\displaystyle y=\left(f_{[0,2]} \circ f_{[1,3]}\right) (x)$는 $\displaystyle x=1,~2,~3$에서의 값을 구하시오. 또 부등식

$\displaystyle \left(f_{[0,2]} \circ f_{[1,3]}\right) (x) \geq x+1$

을 만족하는 $\displaystyle x$ 의 값의 범위를 구하시오.

 

2-2.두 함수 $\displaystyle y=x^2 ,~\left(f_{[0,1]} \circ f_{[a,a+1]}\right) (x)$

의 그래프가 좌표평면 위의 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 상수 $\displaystyle a$ 의 값의 범위를 구하시오. (단, $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 0 \leq a \leq 1$이다. )

 

2-3. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여

$\displaystyle y=\left(f_{[0,1]} \circ f_{[a,b]}\right) (x) \left(f_{[a,b]} \circ f_{[0,1]}\right) (x)$

가 성립하도록 하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,~b)$의 영역을 구하시오. (단, 실수 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 0 \leq a<b \leq 1$이다.)