[울산과고내신대비] 2024년 미적분 극한의 성질 참,거짓문제1

2024년 1학년 2학기 중간고사에 미적분 수열의 극한과 급수 단원에서 수열의 극한의 기본성질과 샌드위치정리 등등을 이용하여 극한의 추론문제가 한 두 문제가 나올 것으로 예상된다.

특히 극한의 기본성질이 명제라는 사실을 학생들이 잘 모른다. 먼저 수열의 극한의 기본성질을 한 번 보자. 물론 이것에 대한 증명은 과학고 3학년에서 배우는 AP-Calculus에서 $\epsilon-N$ 논법을 사용해서 진행한다. 이것은 다음 기회에 해보자. 

수열의 극한에 대한 기본 성질
수렴하는 두 수열$\displaystyle  \left\{a_n\right\},~ \left\{b_n\right\}$에 대하여 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\alpha, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\beta$일 때
(1) $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} c a_n=c \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=c \alpha$ (단,$\displaystyle  c$는 상수)
(2) $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \pm b_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\alpha \pm \beta$ (복호동순)
(3) $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} a_n b_n=\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\alpha \beta$
(4) $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_n}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$ (단,$\displaystyle  b_n \neq 0,  ~\beta \neq 0$)

 

위의 성질이 명제라는 사실을 기억해야 한다. 예를 들면 다음이 참일까? 거짓일까?

두 수열의 합 $\displaystyle a_n +b_n$이 발산하면 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$ 중 적어도 하나는 발산한다.

 

이것은 위의 극한의 기본성질 중 (2)의 대우이다. 그런데 학생들은 위의 내용을 보고 극한의 기본성질을 명제로 생각하지 않고 뭔가 반례가 없을까 등등을 생각한다. 

우리는 위의 극한의 기본 성질을 명제로 기억하면서 그것을 이용하여 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들려고 노력한다. 

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수열의 극한에 대한 다음 명제의 참 거짓을 판별하시오.  (풀이영상)

(1) $\displaystyle \left\{a_n b_n\right\}$ 수렴   $\displaystyle \longrightarrow$  $\displaystyle  \left\{a_n\right\}$ 수렴 또는 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 수렴

(2) $\displaystyle \left\{a_n b_n\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle\left\{b_n\right\}$ 수렴

(3) $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$    $\displaystyle\left\{a_n b_n\right\}$ 수렴

(4) $\displaystyle \left\{a_n b_n\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 발산    $\displaystyle \longrightarrow$    $\displaystyle  \left\{b_n\right\}$ 발산

(5) $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 발산하고 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 발산    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \left\{a_n b_n\right\}$ 발산

(6) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n b_n=0$

(7) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\infty$    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-b_n\right)=0$

(8) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-b_n\right)=\alpha$ 이고 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\infty$    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=\infty$

(9) $\displaystyle \left\{a_n+b_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \left\{a_n\right\}$ 과 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 모두 수렴

(10) $\displaystyle \left\{a_n+b_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \left\{a_n\right\}$ 수렴 또는 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 수렴

(11) $\displaystyle \left\{a_n+b_n\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \left\{b_n\right\}$ 수렴

(12) $\displaystyle \left\{a_n+b_n\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{a_n\right\}$ 발산    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle \left\{\frac{b_n}{a_n}\right\}$ 수렴

(13) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right)=\alpha$    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=-1$

(14) $\displaystyle \left\{a_n^2-b_n^2\right\}$ 수렴하고 $\displaystyle \left\{b_n\right\}$ 수렴    $\displaystyle \longrightarrow$   $\displaystyle  \left\{a_n^2\right\}$ 수렴

(15) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 이 수렴하고 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0$ 이면 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ 이다.

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