2. 행렬식

2. 행렬식

정의 2.1.1. 행렬식

$ n $차의 정사각행렬 $ A $의 행렬식을 $ |A| $ 또는 $ detA $로 나타내며, 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

(i) $ n=1 $일 때, $ |a _ {11} |=a _ {11} $

(ii) $ n>1 $일 때,

$$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( -1) ^ {i+n} a _ {i n } M _ {i n } \right . $$

여기서 $ M _ {ij} $은 행렬 $ A $에서 $ i $행과 $ j $열을 뺀 행렬의 행렬식을 나타내며, 이를 $ a _ {ij} $의 소행렬식이라 부른다.

예1.

$ n=2 $일 때,

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {21} & a _ {22} } \right| = ( -1) ^ {1+2} a _ {12} M _ {12} + \left ( -1 \right ) ^ {2+2} a _ {22} M _ {22} $ $ =-a _ {12} a _ {21} +a _ {22} a _ {11} =a _ {11} a _ {22} -a _ {12} a _ {21} $

$ n=3 $일 때,

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13} \\a _ {21} & a _ {22} & a _ {23} \\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} } \right| =  ( -1) ^ {1+3} a _ {13} \left| \matrix {a _ {21} & a _ {22} \\a _ {31} & a _ {32} } \right| + ( -1) ^ {2+3} a _ {23} \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {31} & a _ {32} } \right|  + ( -1) ^ {3+3} a _ {33} \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {21} & a _ {22} } \right| $

$ =a _ {13} ( a _ {21} a _ {32} -a _ {31} a _ {22} )-a _ {23} ( a _ {11} a _ {32} -a _ {31} a _ {12} )+a _ {33} ( a _ {11} a _ {22} -a _ {21} a _ {22} ) $

다음 두 그림은 예 1의 결과를 간단히 나타낸 것이다.

* 행렬식의 정의에서 $ \left ( -1 \right ) ^ {i+n} $과 소행렬식 $ M _ {i n } $을 곱한 값을 하나의 기호로 나타내면 편리하다. 행렬식 $ |A| $에서 $ \left ( -1 \right ) ^ {i+j} M _ {ij} $를 기호 $ A _ {ij} $로 나타내고, 이를 성분 $ a _ {ij} $의 여인수라 한다.

즉 $ A _ {ij} = ( -1) ^ {i+j} M _ {ij} $에서 부호 $ ( -1) ^ {i+j} $을 간단히 결정하는 방법을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

 

예2. 행렬식 $ |A|= \left| \matrix {1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\\-2 & -1 & 2} \right| $에서

$ A _ {12} = \left (  -1 \right ) ^ {1+2} \left| \matrix {2 & -1\\-2 & 2} \right| =- ( 4-2)=-2 $

$ A _ {12} = \left (  -1 \right ) ^ {2+2} \left| \matrix {1 & 3\\-2 & 2} \right| =2+6=8 $

$ A _ {32} = \left (  -1 \right ) ^ {3+2} \left| \matrix {1 & 3\\2 & -1} \right| =- ( -1-6)=7 $

 

정리 2. 4. 행렬식과 여인수 사이의 관계

$ 2 $차이상의 정사각행렬 $ A $에 대하여

(i) $ |A|= \sum\limits _ {j=1} ^ {n} a _ {ij} A _ {ij} $ ($ i $은 $ 1 $과 $ n $사이의 임의의 고정된 자연수)

(ii) $ |A|= \sum\limits _ {i=1} ^ {n} a _ {ij} A _ {ij} $ ($ j $은 $ 1 $과 $ n $사이의 임의의 고정된 자연수)

* (i)을 행렬식 $ |A| $를 제 $ i $행에 관하여 전개한 식, (ii)를 행렬식 $ |A| $를 제 $ j $행에 관하여 전개한 식

예3. 행렬식 $ A= \left ( \matrix {1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\\-2 & -1 & 2} \right) $에 대하여 $ |A| $를 제$ 1 $행에 대하여 전개하면 다음과 같은 행렬식 $ |A| $의 값을 구할 수 있다.

$ |A|=a _ {11} A _ {11} +a _ {12} A _ {12} +a _ {13} A _ {13} $$=1 \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+1} \left| \matrix {1 & -1\\-1 & 2} \right| + ( -2) \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+2} \left| \matrix {2 & -1\\-2 & 2} \right| +3 \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+3} \left| \matrix {2 & 1\\-2 & -1} \right|$$ = ( 2-1)+2 ( 4-2)+3 ( -2+2)=5 $$

예3의 행렬 $ A $에 대하여 $ |A| $를 제$ 2 $열에 대하여 전개하여 $ |A| $의 값을 구하여라.

 

정리 행렬식의 성질

행렬 $ A= \left ( a _ {ij} \right ) _ {n \times n} $에 대하여

(i) $ |A|=|A ^ {T} | $

(ii) 행렬 $ A $의 서로 다른 두 행을 맞바꾸어 만든 행렬을 $ B $라 하면 $ |B|=-|A| $이다. 즉, 다음과 같다.

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| =- \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| $

(iii) 행렬 $ A $의 한 행을 $ k $배하여 만든 행렬을 $ C $라 하면 $ |C|=k|A| $이다. 즉, 다음과 같다.

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ka _ {r1} & ka _ {r2} & \cdots & ka _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| =k \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| $

(iv) 행렬 $ A $의 한 행을 두 수의 합으로 만든 행렬을 $ C $라 하면,

$ |C|=|A|+|B| $이다. 즉, 다음과 같다.

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\b _ {r1} +c _ {r1} & b _ {r2} +c _ {r2} & \cdots & b _ {rn} +c _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| = \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\b _ {r1} & b _ {r2} & \cdots & b _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| + \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\c _ {r1} & c _ {r2} & \cdots & c _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| $

 

정리 행렬식의 성질

$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} +ka _ {r1} & a _ {s2} +ka _ {r2} & \cdots & a _ {sn} +ka _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| =- \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| $

 

* 행렬 $ A $의 한 행에 다른 행의 $ k $배를 더하여 만든 행렬의 행렬식은 $ A $의 행렬식과 같다. (열에 대해서도 동일하게 성립한다.)

예제1. 다음 행렬식의 값을 구하여라.

$ |A|= \left| \matrix {2 & -1 & 1 & 0\\-3 & 0 & 1 & -2\\1 & 1 & -1 & 1\\2 & -1 & 5 & -1} \right| $

(풀이) 주어진 행렬의 제$ 3 $행을 제1행과 제$ 4 $행에 각각 더하면

$ |A|= \left| \matrix {3 & 0 & 0 & 1\\-3 & 0 & 1 & -2\\1 & 1 & -1 & 1\\3 & 0 & 4 & 0} \right| $

이고 이를 제$ 2 $열에 관하여 전해하면 다음과 같다.

$ |A|= ( -1) \left| \matrix {3 & 0 & 1\\-3 & 1 & -2\\3 & 4 & 0} \right| $

또, 제$ 1 $행을 $ 2 $배하여 제$ 2 $행에 더한 다음, 이를 제$ 3 $열에 관하여 전개하면,

$ |A|= ( -1) \left| \matrix {3 & 0 & 1\\-3 & 1 & -2\\3 & 4 & 0} \right| =- \left| \matrix {3 & 1\\3 & 4} \right| =-9 $

 

 

예제2. 다음이 성립함을 보여라.

$ |A|= \left| \matrix {x & x ^ {2} & x ^ {3} \\y & y ^ {2} & y ^ {3} \\z & z ^ {2} & z ^ {3} } \right| =xyz ( x-z) ( y-z) ( y-x) $

증명) 먼저, 제$ 1 $행에서 $ x $, 제$ 2 $행에서 $ y $, 제$ 3 $행에서 $ z $를 각각 뽑아 내면

$ |A|=xyz \left| \matrix {1 & x & x ^ {2} \\1 & y & y ^ {2} \\1 & z & z ^ {2} } \right| $

이고, 제$ 3 $행의 $ \left ( -1 \right ) $배를 제$ 1 $행과 제$ 2 $행에 각각 더한 다음 제$ 1 $열에 관하여 전개하면

$ |A|=xyz \left| \matrix {0 & x-z & x ^ {2} -z ^ {2} \\0 & y-z & y ^ {2} -z ^ {2} \\1 & z & z ^ {2} } \right| =xyz \left| \matrix {x-z & x ^ {2} -z ^ {2} \\y-z & y ^ {2} -z ^ {2} } \right| $

$ =xyz \left ( x-z \right ) ( y-z) \left| \matrix {1 & x+z\\1 & y+z} \right| =xyz \left ( x-z \right ) \left ( y-z \right ) \left ( y-x \right ) $