[고급수학 중간고사] 증명문제 정리

#더플러스수학, #울산과고 중간고사 대비 고급수학 증명문제 모음

 

정의. 비특이행렬(non-singular matrix), 가역행렬(invertible matrix) 정규행렬(regular matrix)

$ n $차 정사각행렬 $ A $, $ B $에 대하여 $ AB=I _ {n} =BA $를 만족하는 행렬 $ B $가 존재할 때, 행렬 $ A $를 비특이행렬(non-singular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix) 또는 정규행렬(regular matrix)이라 부른다.

또, 행렬 $ B $를 행렬 $ A $의 역행렬이라 부르고 행렬 $ A $가 역행렬을 가지지 않을 때, 행렬 $ A $를 특이행렬(singular matrix)라고 부른다.

 

1. 단위행렬의 유일성

$ n $차 정사각행렬에서 단위행렬은 오직 하나 있다.

(증명) $n$차 정사각행렬의 단위행렬이 $I$, $E$가 존재한다고 가정하자.

$$ I= IE=I$$

첫번째 등호에서는 $E$가 단위행렬임이 두번째 등호에서는 $I$가 단위행렬임이 사용되었다.

따라서 단위행렬은 하나밖에 없다.

 

2. 역행렬의 유일성

행렬 $ A $의 역행렬이 $ B,~C $가 있다면 $ B=C $이다.

(증명) 행렬 $ B,~C $가 행렬 $ A $의 역행렬이라고 가정하자. 그러면 역행렬의 정의에 의해

$$ AB=BA=I ,~AC=CA=I $$

$$ B=B ( AC)= ( BA)C=IC=C $$

 

3. 행렬 $ A $의 역행렬을 $ A ^ {-1} $라 하자. 다음을 증명하여라.

행렬 $ A $가 가역행렬이면 $ A ^ {-1} $도 가역행렬이고 $ ( A ^ {-1} ) ^ {-1} =A $이다.

https://tv.naver.com/v/10027947

3번

증명) 행렬 $ A $가 가역행렬이므로

$$ AA^{-1}=A^{-1}A=I$$ 

따라서 $ A ^ {-1} A=AA ^ {-1} =I $이므로 $ A ^ {-1} $도 가역행렬이다. 또,

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

 

 

 

 

4. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $가 가역행렬이면 행렬 $ AB $도 가역행렬이고 $ ( AB) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $임을 보여라.

https://tv.naver.com/v/10027950

4번

 

 

증명)

$$ \left ( AB \right ) \left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) =A \left ( BB ^ {-1} \right ) A ^ {-1} =AIA ^{-1}=AA ^ {-1} =I $$

비슷한 방법으로 $ \left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) AB=I $임을 보일 수 있다. 따라서 $ AB $은 가역행렬이다. 또, 역행렬의 유일성에 의해 $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $이다.

 

5. 다음을 증명하시오.

$ A _ {1} ,~ \cdots ,~A _ {m} $은 모두 $ n $차 가역행렬이라고 하면 $ A _ {1} \cdots A _ {m} $도 가역행렬이고

$$ \left ( A _ {1} \cdots A _ {m} \right ) ^ {-1} =A _ {m} ^ {-1} \cdots A _ {1} ^ {-1} $$

이다.

https://tv.naver.com/v/10027933

9번

(증명) 수학적 귀납법으로 하면 된다.

 

 

6. 다음을 증명하시오.

$ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 $ A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I $이면 $ AB=BA $이다.

 

 

 

 

증명) $ A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I $라 가정하면 $ A,~B,~AB $는 모두 가역행렬이고 $ A ^ {-1} =A $, $ B ^ {-1} =B $, $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =AB $

그런데 $ \left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} $가 성립하므로 위의 관계식을 여기에 대입하면

$$AB=BA$$

 

 

 

7. 미지수 $ n $개이고 $ n $개의 식으로 이루어진 연립방정식의 계수 행렬 $ A $가 가역행렬(비특이행렬)이면 연립방정식 $ AX=B $의 해 $ X $는 유일하고 $ X=A ^ {-1} B $이다.

https://tv.naver.com/v/10027940

7번

 

 

 

(증명) $ A ^ {-1} $가 존재한다고 가정하자.

1. 유일성을 보이자.

$ AX=B $라 하면 양변에 $ A ^ {-1} $를 곱하면

$ \left ( AX \right ) =B $, $ A ^ {-1} \left ( AX \right ) =A ^ {-1} B $,

$ \left ( A ^ {-1} A \right ) X=A ^ {-1} B $, $ IX=A ^ {-1} B $

$$ \therefore ~ X=A ^ {-1} B $$

2. 존재성을 보이자. $ x=A ^ {-1} B $라 하면

$ AX=A \left ( A ^ {-1} B \right ) = \left ( AA ^ {-1} \right ) B=IB=B $

 

 

8. 정사각행렬 $ A $가 가역행렬이면 제차연립방정식(homogeneous system) $ AX=O $은 유일한 자명해(unique trivial solution)를 갖는다. 동치명제로서, 재차연립방정식 $ AX=O $이 비자명해를 갖는다면 행렬 $ A $는 특이행렬이다. 즉 역행렬을 갖지 않는다.

 

 

 

(증명) 행렬 $ A $가 가역행렬이라 하고 $ AX=O $이라 하면

$$ X=A ^ {-1} O=O $$.

 

 

 

9. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2 & 3\\1 & 0 & 1\\3 & 4 & 7} \right] $에 대하여

(1) 위의 명제를 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.

 

(풀이)행렬 $ A $를 reduced row-echelon form으로 만들면

$ A= \left[ \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0} \right] $

이므로 결과적으로 $ AX=O $은 비자명해를 갖는다. 예를 들어 $ x=-1,~y=-1,~z=1 $. 따라서 위의 명제에 의해 행렬 $ A $는 특이행렬이다.

 

(2) 또, 행렬식을 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.

 

(3) 가우스 소거법을 이용하여 행렬 $ A $가 특이행렬임을 보이시오.

 

 

 

정의 기본행연산과 기본행렬

1. 두 행을 교환한다.

$ R _ {i} \Leftrightarrow R _ {j} $ 행렬 : $ E _ {ij} $

2. 한행에 $ 0 $이 아닌 상수를 곱한다.

$ kR _ {i} \rightarrow R _ {i} $ ($ k \neq 0 $) 행렬 $ E _ {i} ( k) $

3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다.

$ R _ {i} +kR _ {j} \rightarrow R _ {i} $ ($ i \neq j $) 행렬 $ E _ {ij} ( k) $

(예) $ n=3 $

$ E _ {23} = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right] $, $ E _ {2} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1} \right] $, $ E _ {23} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1} \right] $이고 각각의 역행렬은

$ E _ {23} ^ {-1} =E _ {23} $, $ E _ {2} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {2} \left ( \frac {1} {2} \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & 0\\0 & 0 & 1} \right] $, $ E _ {23} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {23} \left ( -2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1} \right] $

이다.

 

10. 기본행렬은 가역행렬이다. 또,

1. $ E _ {ij} ^ {-1} =E _ {ij} $

2. $ E _ {i} ^ {-1} ( t)=E _ {i} ( t ^ {-1} ) $

3. $ \left ( E _ {ij} ( t) \right ) ^ {-1} =E _ {ij} ( -t) $

 

 

증명) 행렬 $ I $를 기본행렬의 곱으로 표현하자.

$ E _ {ij} E _ {ij} =I $

$ E _ {i} \left ( t \right ) E _ {i} \left ( t ^ {-1} \right ) =I=E _ {i} ( t ^ {-1} )E _ {i} ( t) $ ($ t \neq 0 $)

$ E _ {ij} ( t)E _ {ij} ( -t)=I=E _ {ij} ( -t)E _ {ij} ( t) $

 

11. $ 3 $차 정사각행렬 $ A $가 $ A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} $로 표현될 때, $ A ^ {-1} $을 구하여라.

 

 

 

(증명)

$ A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} =E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1} \right] =E _ {3} ( 5) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1} \right] = \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 5} \right] $.

$ A ^ {-1} $을 구하자.

$ A ^ {-1} $$ = \left ( E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} \right ) ^ {-1} $$ =E _ {12} ^ {-1} ( E _ {23} ( 2)) ^ {-1} ( E _ {3} ( 5)) ^ {-1} $$ =E _ {12} E _ {23} ( -2)E _ {3} ( 5 ^ {-1} ) $$ =E _ {12} E _ {23} ( -2) \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $$ =E _ {12} \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & - \frac {2} {5} \\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $$ = \left[ \matrix {0 & 1 & - \frac {2} {5} \\1 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right] $

 

 

12. $ n $차 정사각행렬 $ A $가 가역행렬이라 하면 다음이 성립한다.

(i) $ A $는 $ I $와 row–-equivalent이다.

(ii) $ A $는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

 

 

 

증명) $ A $가 가역행렬이고 $ B $가 $ A $의 reduced row-echelon 행렬이라면 $ B $는 모두 0인 열이 없다. ($ \because $ 만약 모두 $ 0 $인 열의 존재한다면 $ AX=O $은 non-trivial solution을 갖는다. 따라서 $ A $는 특이행렬이다. 이는 모순이다.) 따라서 $ B=I $

기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {r} $가 존재하여 $ E _ {r} ( \cdots ( E _ {1} A) \cdots )=B=I $을 만족한다. 따라서 $ A=E _ {1} ^ {-1} \cdots E _ {r} ^ {-1} $이다. 즉, 기본행렬의 곱으로 표현된다.

 

 

 

13. $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대하여 $ A $가 $ I $와 row-equivalent 라고 하자. 그러면 $ A $는 가역행렬이고 $ A ^ {-1} $는 기본행렬로 $ A $를 $ I $로 변형하는 과정을 통해서 구할 수 있다.

 

 

 

증명) $ E _ {r} \cdots E _ {1} A=I _ {} $라 가정하자. 즉 $ B=E _ {r} \cdots E1 $로 놓으면 $ BA=I $로 $ B $는 가역행렬이다.

그러면 $ B ^ {-1} ( BA)=B ^ {-1} I $이므로 $ A=B ^ {-1} $이다. 따라서 $ A $는 가역행렬이다.

또한 $ A ^ {-1} = \left ( B ^ {-1} \right ) ^ {-1} =B=E _ {r} \left ( ( \cdots \left ( E _ {1} I _ {n} \right ) \cdots \right ) $이고 $ A ^ {-1} $은 기본행연산을 통해 $ I _ {n} $으로부터 얻을 수 있다.

 

 

14. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2\\1 & 1} \right] $이 가역행렬임을 보이고 $ A ^ {-1} $를 구하고, $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

sol) $ [A~|~I] $을 확대행렬이라 하자. 즉,

$ [A~|~I] $ $ = \left[ \matrix {1 & 2~:~1 & 0\\1 & 1~:~0 & 1} \right] $

2열을 (2열-1열)로 나타내자.

$ R _ {2} ~ \rightarrow ~R _ {2} -R _ {1} $ $ \left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & -1 & ~:~ & -1 & 1} \right] $, $ E _ {21} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\-1 & 1} \right] $

$ R _ {2} ~ \rightarrow ~ ( -1)R _ {2} $ $ \left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right] $, $ E _ {2} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\0 & -1} \right] $

$ R _ {1} ~ \rightarrow ~R _ {1} -2R _ {2} $ $ \left[ \matrix {1 & 0 & ~:~ & -1 & 2\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right] $, $ E _ {12} ( -1)= \left[ \matrix {1 & -2\\0 & -1} \right] $

따라서 $ A $가 $ I $와 행동치(row-equivalent)이므로 $ A $는 가역행렬이다. 또, $ A ^ {-1} $는

$ A ^ {-1} = \left[ \matrix {-1 & 2\\1 & -1} \right] $

위의 기본행렬로 위를 표현해 보면

$ E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right ) A=I $

따라서

$ A ^ {-1} =E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right ) $

$ A=E _ {21} \left ( 1 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {12} \left ( 2 \right ) $

 

15. $ n $차 정사각행렬에 대하여 연립방정식 $ AX=O $은 단지 자명해만을 해를 갖는다고 하자. 그러면 $ A $는 가역행렬이다. 또, 동치적으로 $ A $가 특이행렬이면 연립방정식 $ AX=O $은 비자명해를 갖는다. 즉 $ x=0,~y=0 $이외의 해를 갖는다.

 

 

 

증명) $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대해 $ AX=O $이 해가 $ x=0,~y=0 $만 있다고 가정하면, 행렬 $ A $를 reduced echelon form으로 만든 행렬 $ B $는 모두 $ 0 $인 행을 갖지 않는다. 따라서 $ B=I $가 된다. 따라서 $ A $는 가역행렬이다.

 

 

 

16. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 $ AB=I $라 하면 $ BA=I $이다.

 

 

 

 

(증명) $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $가 $ AB=I $을 만족한다고 하자. 먼저 $ B $가 가역행렬임을 보이자.

방정식 $ BX=O $에 대해 양변에 $ A $를 곱하면

$ A \left ( BX \right ) =AO=O $, $ \left ( AB \right ) X=O $, $ IX=O $

$ \therefore $ $ X=O $

따라서 $ X $는 trivial solution을 가지므로 $ B $는 가역행렬이다.

따라서 $ AB=I $에서 $ \left ( AB \right ) B ^ {-1} =IB ^ {-1} =B ^ {-1} $, 즉 $ A=B ^ {-1} $

$ BA=B \left ( B ^ {-1} \right ) =I $이므로 $ BA=I $이다.

 

 

정의 전치행렬, 대칭행렬, skew-symmetrix matrix

 

17. 전치행렬의 성질

1. $ \left ( A ^ {T} \right ) ^ {T} =A $

2. $ \left ( A\pm B \right ) ^ {T} =A ^ {T} \pm B ^ {T} $

3. $ \left ( sA \right ) ^ {T} =sA ^ {T} $ ($ s $는 스칼라)

4. $ \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} $ ($ A $는 $ m \times n $, $ B $는 $ n \times p $)

5. 가역행렬 $ A $에 대하여 $ A ^ {T} $는 가역행렬이고 $ \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} $

 

4번 증명

$ A $는 $ m \times n $, $ B $는 $ n \times p $이므로 $ AB $는 $ m \times p $, $ \therefore $ $ \left ( AB \right ) ^ {T} $는 $ p \times m $

$ A ^ {T} $는 $ n \times m $, $ B ^ {T} $는 $ p \times n $이므로 $ B ^ {T} A ^ {T} $는 $ p \times m $

$ A=[a _ {ij} ] $, $ B=[b _ {jk} ] $에 대하여 $ ( AB) ^ {T} $의 $ k,i $성분은 $ A $의 $ i $행 성분 $ a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in } $과 행렬 $ B $의 $ k $의 열의 성분 $ b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk} $의 곱이므로

$ a _ {i1} b _ {1k} +a _ {i2} b _ {2k} + \cdots +a _ {\in } b _ {nk} $ $ \cdots \cdots $①

이다.

또, $ B ^ {T} A ^ {T} $의 $ k,i $성분은 $ B ^ {T} $의 $ k $행과 $ A ^ {T} $의 $ i $열의 곱이다.

$ B ^ {T} $의 $ k $행은 $ B $의 $ k $열과 같으므로 $ b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk} $이고, $ A ^ {T} $의 $ i $열은 $ A $의 $ i $행이므로 $ a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in } $이다. 따라서 $ B ^ {T} A ^ {T} $의 $ k,~i $성분은

$ b _ {1k} a _ {i1} +b _ {2k} a _ {i2} + \cdots +b _ {nk} a _ {\in } $ $ \cdots \cdots $②

①, ②는 서로 같고, 여기서 $ k,~i $는 각각 $ 1 \leq k \leq p,~1 \leq i \leq m $으므로

$ \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} $

 

5 증명

가역행렬 $ A $에 대하여 $ A $의 역행렬을 $ A ^ {-1} $라 하자.

$ AA ^ {-1} =A ^ {-1} A=I $, $ \left ( AA ^ {-1} \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I $, $ \left ( A ^ {-1} A \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I $

4의 성질에 의해

$ ( A ^ {-1} ) ^ {T} A ^ {T} =I $, $ A ^ {T} ( A ^ {-1} ) ^ {T} =I $

따라서 $ A ^ {T} $는 가역행렬이다. 또, $ ( A ^ {T} ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} $

 

 

18. 다음을 증명하시오.

(1) skew-sysmmetric $ n $차 정사각행렬 $ B $에 대하여 $ A=I-B $는 가역행렬(non-singular)임을 보여라.

 

 

 

(증명) $ B ^ {T} =-B $인 행렬 $ B $에 대하 $ A=I-B $이다. $ AX=O $이면 $ X=O $임을 보이면 충분하다.

$ AX=O $이라 가정하면

$ AX= ( I-B)X=O $, $ X=BX $,

$ X ^ {T} X=X ^ {T} BX $        $ \cdots \cdots $①

양변을 전치행렬을 취하면

$ ( X ^ {T} X) ^ {T} = ( X ^ {T} BX) ^ {T} $

$ X ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T} =X ^ {T} B ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T} $

$ X ^ {T} X=X ^ {T} ( -B)X $  　$ \cdots \cdots $②

①, ②에서

$ X ^ {T} BX=-X ^ {T} BX $

$ \therefore $$ X ^ {T} BX=X ^ {T} X=O $

여기서 위의 방정식의 해 $ X $를 $ X= \left [ x _ {1} ~ ~x _ {2} ~ ~ \cdots ~ ~x _ {n} \right ] ^ {T} $라 두면

$ X ^ {T} X=x _ {1} ^ {2} +x _ {2} ^ {2} + \cdots +x _ {n} ^ {2} =0 $

$ \therefore $  $ x _ {1} =x _ {2} = \cdots =x _ {n} =0 $

연립방정식 $ AX=O $의 해가 자명해만을 가지므로 $ A $는 가역행렬이다.

 

 

(2) 성분이 실수인 행렬 $ A $가 다음과 같을 때, 행렬 $ A $가 $ I _ {3} $과 행동치(row-equvalent)임을 이용하여 가역행렬임을 보여라. 또, (1)의 성질을 이용하여 보이시오.

$ A= \left[ \matrix {1 & a & b\\-a & 1 & c\\-b & -c & 1} \right] $

 

 

 

19. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 4\\-3 & 1} \right] $이라 할 때 행렬 $ A $가 가역행렬임을 증명하고 $ A ^ {-1} $을 구하시오. 또, 행렬 $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

답) $ A ^ {-1} = \frac {1} {13} \left[ \matrix {1 & -4\\3 & 1} \right] $

$ A=E _ {21} ( -3)E _ {2} ( 13)E _ {12} ( 4) $

 

 

 

20. 대각행렬을 다음과 같이 정의하자.

다음 조건을 만족하는 $ n $차 정사각행렬 $ D=[d _ {ij} ] $을 대각행렬이라 한다.

$ i \neq j $일 때, $ d _ {ij} =0 $

대각행렬의 $ d _ {ii} $ ($ i=1,2, \cdots ,n $)의 성분을 $ a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} $라 할 때, $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $을 대각행렬을 표시한다.

다음을 보여라.

(1) $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )diag ( b _ {1} ,~b _ {2} ,~ \cdots ,~b _ {n} )=diag ( a _ {1} b _ {1} ,~a _ {2} b _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} b _ {n} ) $

(2) $ a _ {1} a _ {2} \cdots a _ {n} \neq 0 $라 하면 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $의 가역행렬이고

$ ( diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )) ^ {-1} =diag \left ( a _ {1} ^ {-1} ,~a _ {2} ^ {-1} ,~ \cdots ,~a _ {n} ^ {-1} \right ) $

(3) 대각행렬 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $에 대하여 $ a _ {i} =0 $인 $ i $ ($ 0 \leq i \leq n $)가 존재한다면 $ diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} ) $는 특이행렬(singular)이다.

 

 

 

 

21. 행렬 $ A= \left[ \matrix {0 & 0 & 2\\1 & 2 & 6\\3 & 7 & 9} \right] $이라 할 때 행렬 $ A $가 가역행렬임을 증명하고 $ A ^ {-1} $을 구하시오. 또, 행렬 $ A $를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

 

답)

$ A ^ {-1} = \left[ \matrix {-12 & 7 & -2\\ \frac {9} {2} & -3 & 1\\ \frac {1} {2} & 0 & 0} \right] $

$ A=E _ {12} E _ {31} ( 3)E _ {23} E _ {3} ( 2)E _ {12} ( 2)E _ {13} ( 24)E _ {23} ( -9) $

 

 

 

22. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2 & k\\3 & -1 & 1\\5 & 3 & -5} \right] $가 특이행렬이 되게 하는 유리수 $ k $의 값을 구하시오.

 

 

 

답) $ k=-3 $

 

 

 

 

23. 행렬 $ A= \left[ \matrix {1 & 2\\-2 & -4} \right] $가 특이행렬임을 보이고 가역행렬 $ P $에 대하여 행렬 $ PA $가 모두 $ 0 $인 행이 존재하도록 하는 행렬 $ P $를 구하여라.

 

 

 

 

답) $ E _ {21} ( 2) $

 

 

24. 다음을 보이시오.

(i) $ B ^ {3} =O $을 만족하는 $ n $차 정사각행렬 $ B $에 대하여

$ A=I _ {n} -B $이면 $ A $는 가역행렬이고 $ A ^ {-1} =I _ {n} +B+B ^ {2} $이다. 여기서 $ I _ {n} $은 $ n $차 단위행렬이다.

또, 연립방정식 $ AX=b $의 해는 다음과 같음을 보여라. 여기서 $ b=[b _ {1} ~b _ {2} ~ \cdots b _ {n} ] ^ {T} $인 행렬이다.

$ X=b+Bb+B ^ {2} b $

*힌트 $ x ^ {3} =1 $의 허근 $ \omega $를 생각해보자.

 

(ii) 행렬 $ B= \left[ \matrix {0 & r & s\\0 & 0 & t\\0 & 0 & 0} \right] $에 대하여

a. $ B ^ {3} =O $

b. (i)을 이용하여 $ ( I _ {3} -B) ^ {-1} $을 구하여라.

b의 답 $ \left[ \matrix {1 & r & s+rt\\0 & 1 & t\\0 & 0 & 1} \right] $

 

 

 

 

25. $ n $차 정사각행렬 $ A $에 대하여 다음을 증명하시오.

(i) $ A ^ {2} =O $이면 $ A $는 특이행렬이다.

(ii) $ A ^ {2} =A $이고 $ A \neq I $이면 $ A $는 특이행렬이다.

https://tv.naver.com/v/10027928

25번

 

 

(증명) 둘 다 귀류법으로 보이면 된다. 즉 $ A $가 가역행렬이라 가정하면 (1)은 $ A=O $이므로 $ A $는 특이행렬이므로 모순, (ii) $ A=I $가 되어 모순이다.

 

 

26. $ 4 $차 정사각행렬 $ A $가 다음과 같이 기본행렬의 곱으로 표현될 때, 행렬 $ A $와 그 역행렬 $ A ^ {-1} $를 구하시오.

$ A=E _ {3} ( 2)E _ {14} E _ {42} ( 3) $

 

 

 

정답 $ A= \left[ \matrix {0 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\1 & 0 & 0 & 0} \right] $ $ A ^ {-1} = \left[ \matrix {0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1/2 & 1\\1 & -3 & 0 & 0} \right] $

 

27. 자연수 $ m $에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

$ ( P ^ {-1} AP) ^ {n} =P ^ {-1} A ^ {n} P $

힌트) 수학적 귀납법으로 보여라.

 

 

 

 

28. $ m \times n $행렬 $ A $와 $ n \times m $행렬 $ B $에 대하여 $ m>n $이면 $ AB $가 특이행렬임을 보이시오.

 

 

 

 

(증명) 행렬 $ B $가 $ n \times m $행렬이고 $ m>n $이므로 다음 방정식의 해는 비자명해를 갖는다. 즉 미미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적기 때문이다.

$ BX=O $ $ X=[x _ {1} ~x _ {2} ~ \cdots ~x _ {m} ] ^ {T} $ (어떤 $ i $ ($ 1 \leq i \leq m $)에 대하여 $ x _ {i} \neq 0 $)

위의 식의 양변이 $ A $를 곱하면

$ ABX=AO=O $,

즉 $ ( AB)X=O $에서 $ AB $는 $ m $차 정사각행렬이고 방정식 $ ( AB)X=O $가 비자명해를 가지므로 $ AB $는 특이행렬(singular matrix)이다.

 

 

 

 

 

29. $ n $차 정사각행렬 $ A,~B $에 대하여 다음을 증명하시오.

$ A,~B $ 중 적어도 하나가 특이행렬(비가역행렬)이면 $ AB $도 특이행렬이다.

 

https://tv.naver.com/v/10031244

29번

 

 

 

(증명) ① 행렬식의 성질을 이용하자.

귀류법으로 증명하자.

먼저 결론을 부정하여 $ AB $가 가역행렬이라 가정하면

$ det ( AB)=det ( A)det ( B) \neq 0 $

$ \therefore $ $ det ( A) \neq 0 $ 이고 $ det ( B) \neq 0 $

따라서 $ A,~B $ 모두 가역행렬이다. (모순)

② $ AB $가 가역행렬이므로 기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s} $가 존재하여 다음을 만족한다.

$ ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )AB=I $

$ ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)B=I $

에서 $ B $가 가역행렬이고 $ B ^ {-1} = ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A) $이다.

또, $ B $가 가역행렬이므로

$ B ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)=I $,

$ ( BE _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )A=I $

에서 $ B $가 가역행렬이고 기본행렬 $ E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s} $ 모두 가역행렬이므로 $ A $도 가역행렬이다.

 

30. 다음 (a), (b)에서 좌표공간 $ R ^ {3} $에서 일차독립인지 일차종속인지 말하고 그 이유를 설명하시오.

(a) $ ( -3,~0,~4),~ ( 5,~-1,~2),~ ( 1,~1,~3) $

(b) $ ( -2,~0,~1),~ ( 3,~2,~5),~ ( 6,~-1,~1),~ ( 7,~0,~-2) $

https://tv.naver.com/v/10027930

30번

 

(a) 실수 $ x,~y,~z $에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.

$ x \left[ \matrix {-3\\0\\4} \right] +y \left[ \matrix {5\\-1\\2} \right] +z \left[ \matrix {1\\1\\3} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $

$ \left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $

$ det ( \left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] ) \neq 0 $이므로 해가 $ x=0,~y=0,~z=0 $ 밖에 존재하지 않으므로 세 벡터는 일차독립이다.

(b) 실수 $ x,~y,~z,~w $에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.

$ x \left[ \matrix {-2\\0\\1} \right] +y \left[ \matrix {3\\2\\5} \right] +y \left[ \matrix {6\\-1\\1} \right] +w \left[ \matrix {7\\0\\-2} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $

 

$ \left[ \matrix {-3 & 5 & 1 & 7\\0 & -1 & 1 & 0\\4 & 2 & 3 & -2} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z\\w} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $

미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적으므로 0이 아닌 실수 $ x,~y,~z,~w $가 적어도 하나 있으므로 일차종속이다.

 

 

31. 이차이하의 다항식의 집합 $ P _ {2} $에서 아래의 (a), (b)가 각각 일차독립인지 일차종속인지 결정하시오.

(a) $ 2-x+4x ^ {2} $, $ 3+6x+2x ^ {2} $, $ 2+10x-4x ^ {2} $

(b) $ 1+3x+3x ^ {2} $, $ x+4x ^ {2} $, $ 5+6x+3x ^ {2} $, $ 7+2x-x ^ {2} $

https://tv.naver.com/v/10027931

31번

(a) 실수 $ p,~q,~r $에 대하여 다음 방정식을 생각해보면

$ p ( 2-x+4x ^ {2} )+q ( 3+6x+2x ^ {2} )+r ( 2+10x-4x ^ {2} )=0 $

위의 방정식이 임의의 실수 $ x $에 대하여 성립하려면

$ 2p+3q+2=0 $

$ -p+6q+10r=0 $

$ 4p+2q-4r=0 $

위의 방정식을 행렬로 나타내면

$ \left[ \matrix {2 & 3 & 2\\-1 & 6 & 10\\4 & 2 & -4} \right] \left[ \matrix {p\\q\\r} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right] $

위의 행렬의 행렬식은 $ -32 $이므로 위의 방정식은 $ p=q=r=0 $밖에 해를 갖지 않는다. 따라서 일차독립이다.

(b) 일차종속이다. 미지수의 개수보다 식이 개수가 더 적어서 비자명해를 갖기 때문이다.

 

 

32. $ T _ {A} :R ^ {2} \rightarrow R ^ {2} $인 일차변환을 생각하자. 또, $ \overrightarrow {u _ {1} } = ( 1,~2) $, $ \overrightarrow {u _ {2} } = ( -1,~1) $라 할 때, 다음 집합 $ \left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\} $가 $ R ^ {2} $에서 일차독립인지 일차종속인지 판별하여라.

(a) $ A= \left[ \matrix {1 & -1\\0 & 2} \right] $ (b) $ A= \left[ \matrix {1 & -1\\-2 & 2} \right] $

(중요)(b) 일차독립인 $u_1 ,~u_2 $와 역변환이 존재하는 일차변환 $T_{A}$에 대하여 $ \left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\} $이 일차독립임을 증명하여라.

 

https://tv.naver.com/v/10027935

32번

 

33. 필요하다면 알고 있는 적당한 항등식을 이용하여 아래의 벡터의 집합이 일차독립인지 판별사하시오.

(a) $ 6,~3\sin ^ {2} x,~3\cos ^ {2} x $ (b) $ x,~\cos x $

(c) $ 1,~\sin x,~\sin 2x $ (d) $ \cos 2x,~\sin ^ {2} x,~\cos ^ {2} x $

(e) $ \left ( 3-x \right ) ^ {2} ,~x ^ {2} -6x,~5 $

https://tv.naver.com/v/10027944

33번

(답) (a) 일차종속($ \left ( -1 \right ) \times 6+2 \left ( 3\cos ^ {2} x \right ) +2 \left ( 3\sin ^ {2} x \right ) =0 $)

(b) 일차독립 (임의의 실수 $ x $에 대하여 $ tx+s\cos x=0 $을 만족하는 해는 $ t=s=0 $밖에 없어서)

(c) 일차독립 임의의 실수 $ x $에 대하여

$ a \times 1+b\sin x+c\sin 2x=0 $

을 만족하는 해 $ \left ( a,~b,~c \right ) $는 $ a=b=c=0 $밖에 없어서

(d) 일차종속

$ \cos 2x-\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x=0 $는 모든 실수 $ x $에 대해 성립하므로

(e) 일차종속

$ - ( 3-x) ^ {2} + ( x ^ {2} -6x)+ \frac {9} {5} \times 5=0 $

 

34. $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $가 일차독립인 집합이라면 다음 집합들도 일차독립인 집합임을 증명하여라.

$ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} \right\} $, $ \left\{ v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $, $ \left\{ v _ {3} ,~v _ {1} \right\} $, $ \left\{ v _ {1} \right\} $, $ \left\{ v _ {2} \right\} $, $ \left\{ v _ {3} \right\} $

https://tv.naver.com/v/10027927

34번

(증명) $ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} $가 일차독립이므로 실수 $ p,~q,~r $에 대하여 다음 방정식의 해는 $ p=q=r=0 $이다.

$ pv _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0 $

따라서 $ 0v _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0 $의 해 역시 $ q=r=0 $이므로 $ v _ {2} ,~v _ {3} $는 일차독립이다. 나머지도 마찬가지로 하면 된다.

 

이를 일반화하면 일차독립인 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~ \cdots ,~v _ {r} \right\} $의 공집합이 아닌 임의의 부분집합도 일차독립이다.

35. 벡터 공간 $ V $에서 일차종속인 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $에 대하여 $ S $의 원소가 아닌 벡터공간 $ V $의 임의의 원소 $ v _ {4} $를 생각하자. 집합 $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\} $는 일차종속임을 보여라.

(증명) 집합 $ S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\} $가 일차종속이므로 다음 방정식이 비자명해를 갖는다.

$ xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} =0 $

한편 방정식 $ xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} +wv _ {4} =0 $의 해는 위에서 구한 비자명해와 $ w=0 $이 될 수 있으므로 집합 $ \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\} $는 일차종속이다.

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

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