[고급수학 중간고사] 증명문제 정리

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정의. 비특이행렬(non-singular matrix), 가역행렬(invertible matrix) 정규행렬(regular matrix)

$n$차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $AB=I _ {n} =BA$를 만족하는 행렬 $B$가 존재할 때, 행렬 $A$를 비특이행렬(non-singular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix) 또는 정규행렬(regular matrix)이라 부른다.

또, 행렬 $B$를 행렬 $A$의 역행렬이라 부르고 행렬 $A$가 역행렬을 가지지 않을 때, 행렬 $A$를 특이행렬(singular matrix)라고 부른다.

 

1. 단위행렬의 유일성

$n$차 정사각행렬에서 단위행렬은 오직 하나 있다.

(증명) $n$차 정사각행렬의 단위행렬이 $I$, $E$가 존재한다고 가정하자.

$$I= IE=I$$

첫번째 등호에서는 $E$가 단위행렬임이 두번째 등호에서는 $I$가 단위행렬임이 사용되었다.

따라서 단위행렬은 하나밖에 없다.

 

2. 역행렬의 유일성

행렬 $A$의 역행렬이 $B,~C$가 있다면 $B=C$이다.

(증명) 행렬 $B,~C$가 행렬 $A$의 역행렬이라고 가정하자. 그러면 역행렬의 정의에 의해

$$AB=BA=I ,~AC=CA=I$$

$$B=B ( AC)= ( BA)C=IC=C$$

 

3. 행렬 $A$의 역행렬을 $A ^ {-1}$라 하자. 다음을 증명하여라.

행렬 $A$가 가역행렬이면 $A ^ {-1}$도 가역행렬이고 $( A ^ {-1} ) ^ {-1} =A$이다.

https://tv.naver.com/v/10027947

3번

증명) 행렬 $A$가 가역행렬이므로

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$  

따라서 $A ^ {-1} A=AA ^ {-1} =I$이므로 $A ^ {-1}$도 가역행렬이다. 또,

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

 

 

 

 

4. $n$차 정사각행렬 $A,~B$가 가역행렬이면 행렬 $AB$도 가역행렬이고 $( AB) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1}$임을 보여라.

https://tv.naver.com/v/10027950

4번

 

 

증명)

$$\left ( AB \right ) \left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) =A \left ( BB ^ {-1} \right ) A ^ {-1} =AIA ^{-1}=AA ^ {-1} =I$$

비슷한 방법으로 $\left ( B ^ {-1} A ^ {-1} \right ) AB=I$임을 보일 수 있다. 따라서 $AB$은 가역행렬이다. 또, 역행렬의 유일성에 의해 $\left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1}$이다.

 

5. 다음을 증명하시오.

$A _ {1} ,~ \cdots ,~A _ {m}$은 모두 $n$차 가역행렬이라고 하면 $A _ {1} \cdots A _ {m}$도 가역행렬이고

$$\left ( A _ {1} \cdots A _ {m} \right ) ^ {-1} =A _ {m} ^ {-1} \cdots A _ {1} ^ {-1}$$

이다.

https://tv.naver.com/v/10027933

9번

(증명) 수학적 귀납법으로 하면 된다.

 

 

6. 다음을 증명하시오.

$n$차 정사각행렬 $A,~B$에 대하여 $A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I$이면 $AB=BA$이다.

 

 

 

 

증명) $A ^ {2} =B ^ {2} = \left ( AB \right ) ^ {2} =I$라 가정하면 $A,~B,~AB$는 모두 가역행렬이고 $A ^ {-1} =A$, $B ^ {-1} =B$, $\left ( AB \right ) ^ {-1} =AB$

그런데 $\left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1}$가 성립하므로 위의 관계식을 여기에 대입하면

$$AB=BA$$

 

 

 

7. 미지수 $n$개이고 $n$개의 식으로 이루어진 연립방정식의 계수 행렬 $A$가 가역행렬(비특이행렬)이면 연립방정식 $AX=B$의 해 $X$는 유일하고 $X=A ^ {-1} B$이다.

https://tv.naver.com/v/10027940

7번

 

 

 

(증명) $A ^ {-1}$가 존재한다고 가정하자.

1. 유일성을 보이자.

$AX=B$라 하면 양변에 $A ^ {-1}$를 곱하면

$\left ( AX \right ) =B$, $A ^ {-1} \left ( AX \right ) =A ^ {-1} B$,

$\left ( A ^ {-1} A \right ) X=A ^ {-1} B$, $IX=A ^ {-1} B$

$$\therefore ~ X=A ^ {-1} B$$

2. 존재성을 보이자. $x=A ^ {-1} B$라 하면

$AX=A \left ( A ^ {-1} B \right ) = \left ( AA ^ {-1} \right ) B=IB=B$

 

 

8. 정사각행렬 $A$가 가역행렬이면 제차연립방정식(homogeneous system) $AX=O$은 유일한 자명해(unique trivial solution)를 갖는다. 동치명제로서, 재차연립방정식 $AX=O$이 비자명해를 갖는다면 행렬 $A$는 특이행렬이다. 즉 역행렬을 갖지 않는다.

 

 

 

(증명) 행렬 $A$가 가역행렬이라 하고 $AX=O$이라 하면

$$X=A ^ {-1} O=O$$ .

 

 

 

9. 행렬 $A= \left[ \matrix {1 & 2 & 3\\1 & 0 & 1\\3 & 4 & 7} \right]$에 대하여

(1) 위의 명제를 이용하여 행렬 $A$가 특이행렬임을 보이시오.

 

(풀이)행렬 $A$를 reduced row-echelon form으로 만들면

$A= \left[ \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0} \right]$

이므로 결과적으로 $AX=O$은 비자명해를 갖는다. 예를 들어 $x=-1,~y=-1,~z=1$. 따라서 위의 명제에 의해 행렬 $A$는 특이행렬이다.

 

(2) 또, 행렬식을 이용하여 행렬 $A$가 특이행렬임을 보이시오.

 

(3) 가우스 소거법을 이용하여 행렬 $A$가 특이행렬임을 보이시오.

 

 

 

정의 기본행연산과 기본행렬

1. 두 행을 교환한다.

$R _ {i} \Leftrightarrow R _ {j}$ 행렬 : $E _ {ij}$

2. 한행에 $0$이 아닌 상수를 곱한다.

$kR _ {i} \rightarrow R _ {i}$ ($k \neq 0$) 행렬 $E _ {i} ( k)$

3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다.

$R _ {i} +kR _ {j} \rightarrow R _ {i}$ ($i \neq j$) 행렬 $E _ {ij} ( k)$

(예) $n=3$

$E _ {23} = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right]$, $E _ {2} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1} \right]$, $E _ {23} \left ( 2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1} \right]$이고 각각의 역행렬은

$E _ {23} ^ {-1} =E _ {23}$, $E _ {2} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {2} \left ( \frac {1} {2} \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & 0\\0 & 0 & 1} \right]$, $E _ {23} ^ {-1} \left ( 2 \right ) =E _ {23} \left ( -2 \right ) = \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & 1} \right]$

이다.

 

10. 기본행렬은 가역행렬이다. 또,

1. $E _ {ij} ^ {-1} =E _ {ij}$

2. $E _ {i} ^ {-1} ( t)=E _ {i} ( t ^ {-1} )$

3. $\left ( E _ {ij} ( t) \right ) ^ {-1} =E _ {ij} ( -t)$

 

 

증명) 행렬 $I$를 기본행렬의 곱으로 표현하자.

$E _ {ij} E _ {ij} =I$

$E _ {i} \left ( t \right ) E _ {i} \left ( t ^ {-1} \right ) =I=E _ {i} ( t ^ {-1} )E _ {i} ( t)$ ($t \neq 0$)

$E _ {ij} ( t)E _ {ij} ( -t)=I=E _ {ij} ( -t)E _ {ij} ( t)$

 

11. $3$차 정사각행렬 $A$가 $A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12}$로 표현될 때, $A ^ {-1}$을 구하여라.

 

 

 

(증명)

$A=E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} =E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1} \right] =E _ {3} ( 5) \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1} \right] = \left[ \matrix {0 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 5} \right]$.

$A ^ {-1}$을 구하자.

$A ^ {-1}$$= \left ( E _ {3} ( 5)E _ {23} ( 2)E _ {12} \right ) ^ {-1}$$=E _ {12} ^ {-1} ( E _ {23} ( 2)) ^ {-1} ( E _ {3} ( 5)) ^ {-1}$$=E _ {12} E _ {23} ( -2)E _ {3} ( 5 ^ {-1} )$$=E _ {12} E _ {23} ( -2) \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right]$$=E _ {12} \left[ \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & - \frac {2} {5} \\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right]$$= \left[ \matrix {0 & 1 & - \frac {2} {5} \\1 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac {1} {5} } \right]$

 

 

12. $n$차 정사각행렬 $A$가 가역행렬이라 하면 다음이 성립한다.

(i) $A$는 $I$와 row–-equivalent이다.

(ii) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

 

 

 

증명) $A$가 가역행렬이고 $B$가 $A$의 reduced row-echelon 행렬이라면 $B$는 모두 0인 열이 없다. ($\because$ 만약 모두 $0$인 열의 존재한다면 $AX=O$은 non-trivial solution을 갖는다. 따라서 $A$는 특이행렬이다. 이는 모순이다.) 따라서 $B=I$

기본행렬 $E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {r}$가 존재하여 $E _ {r} ( \cdots ( E _ {1} A) \cdots )=B=I$을 만족한다. 따라서 $A=E _ {1} ^ {-1} \cdots E _ {r} ^ {-1}$이다. 즉, 기본행렬의 곱으로 표현된다.

 

 

 

13. $n$차 정사각행렬 $A$에 대하여 $A$가 $I$와 row-equivalent 라고 하자. 그러면 $A$는 가역행렬이고 $A ^ {-1}$는 기본행렬로 $A$를 $I$로 변형하는 과정을 통해서 구할 수 있다.

 

 

 

증명) $E _ {r} \cdots E _ {1} A=I _ {}$라 가정하자. 즉 $B=E _ {r} \cdots E1$로 놓으면 $BA=I$로 $B$는 가역행렬이다.

그러면 $B ^ {-1} ( BA)=B ^ {-1} I$이므로 $A=B ^ {-1}$이다. 따라서 $A$는 가역행렬이다.

또한 $A ^ {-1} = \left ( B ^ {-1} \right ) ^ {-1} =B=E _ {r} \left ( ( \cdots \left ( E _ {1} I _ {n} \right ) \cdots \right )$이고 $A ^ {-1}$은 기본행연산을 통해 $I _ {n}$으로부터 얻을 수 있다.

 

 

14. 행렬 $A= \left[ \matrix {1 & 2\\1 & 1} \right]$이 가역행렬임을 보이고 $A ^ {-1}$를 구하고, $A$를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

sol) $[A~|~I]$을 확대행렬이라 하자. 즉,

$[A~|~I]$ $= \left[ \matrix {1 & 2~:~1 & 0\\1 & 1~:~0 & 1} \right]$

2열을 (2열-1열)로 나타내자.

$R _ {2} ~ \rightarrow ~R _ {2} -R _ {1}$ $\left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & -1 & ~:~ & -1 & 1} \right]$, $E _ {21} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\-1 & 1} \right]$

$R _ {2} ~ \rightarrow ~ ( -1)R _ {2}$ $\left[ \matrix {1 & 2 & ~:~ & 1 & 0\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right]$, $E _ {2} ( -1)= \left[ \matrix {1 & 0\\0 & -1} \right]$

$R _ {1} ~ \rightarrow ~R _ {1} -2R _ {2}$ $\left[ \matrix {1 & 0 & ~:~ & -1 & 2\\0 & 1 & ~:~ & 1 & -1} \right]$, $E _ {12} ( -1)= \left[ \matrix {1 & -2\\0 & -1} \right]$

따라서 $A$가 $I$와 행동치(row-equivalent)이므로 $A$는 가역행렬이다. 또, $A ^ {-1}$는

$A ^ {-1} = \left[ \matrix {-1 & 2\\1 & -1} \right]$

위의 기본행렬로 위를 표현해 보면

$E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right ) A=I$

따라서

$A ^ {-1} =E _ {12} \left ( -2 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {21} \left ( -1 \right )$

$A=E _ {21} \left ( 1 \right ) E _ {2} \left ( -1 \right ) E _ {12} \left ( 2 \right )$

 

15. $n$차 정사각행렬에 대하여 연립방정식 $AX=O$은 단지 자명해만을 해를 갖는다고 하자. 그러면 $A$는 가역행렬이다. 또, 동치적으로 $A$가 특이행렬이면 연립방정식 $AX=O$은 비자명해를 갖는다. 즉 $x=0,~y=0$이외의 해를 갖는다.

 

 

 

증명) $n$차 정사각행렬 $A$에 대해 $AX=O$이 해가 $x=0,~y=0$만 있다고 가정하면, 행렬 $A$를 reduced echelon form으로 만든 행렬 $B$는 모두 $0$인 행을 갖지 않는다. 따라서 $B=I$가 된다. 따라서 $A$는 가역행렬이다.

 

 

 

16. $n$차 정사각행렬 $A,~B$에 대하여 $AB=I$라 하면 $BA=I$이다.

 

 

 

 

(증명) $n$차 정사각행렬 $A,~B$가 $AB=I$을 만족한다고 하자. 먼저 $B$가 가역행렬임을 보이자.

방정식 $BX=O$에 대해 양변에 $A$를 곱하면

$A \left ( BX \right ) =AO=O$, $\left ( AB \right ) X=O$, $IX=O$

$\therefore$ $X=O$

따라서 $X$는 trivial solution을 가지므로 $B$는 가역행렬이다.

따라서 $AB=I$에서 $\left ( AB \right ) B ^ {-1} =IB ^ {-1} =B ^ {-1}$, 즉 $A=B ^ {-1}$

$BA=B \left ( B ^ {-1} \right ) =I$이므로 $BA=I$이다.

 

 

정의 전치행렬, 대칭행렬, skew-symmetrix matrix

 

17. 전치행렬의 성질

1. $\left ( A ^ {T} \right ) ^ {T} =A$

2. $\left ( A\pm B \right ) ^ {T} =A ^ {T} \pm B ^ {T}$

3. $\left ( sA \right ) ^ {T} =sA ^ {T}$ ($s$는 스칼라)

4. $\left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T}$ ($A$는 $m \times n$, $B$는 $n \times p$)

5. 가역행렬 $A$에 대하여 $A ^ {T}$는 가역행렬이고 $\left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T}$

 

4번 증명

$A$는 $m \times n$, $B$는 $n \times p$이므로 $AB$는 $m \times p$, $\therefore$ $\left ( AB \right ) ^ {T}$는 $p \times m$

$A ^ {T}$는 $n \times m$, $B ^ {T}$는 $p \times n$이므로 $B ^ {T} A ^ {T}$는 $p \times m$

$A=[a _ {ij} ]$, $B=[b _ {jk} ]$에 대하여 $( AB) ^ {T}$의 $k,i$성분은 $A$의 $i$행 성분 $a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in }$과 행렬 $B$의 $k$의 열의 성분 $b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk}$의 곱이므로

$a _ {i1} b _ {1k} +a _ {i2} b _ {2k} + \cdots +a _ {\in } b _ {nk}$ $\cdots \cdots$①

이다.

또, $B ^ {T} A ^ {T}$의 $k,i$성분은 $B ^ {T}$의 $k$행과 $A ^ {T}$의 $i$열의 곱이다.

$B ^ {T}$의 $k$행은 $B$의 $k$열과 같으므로 $b _ {1k} ,~b _ {2k} ,~ \cdots ,~b _ {nk}$이고, $A ^ {T}$의 $i$열은 $A$의 $i$행이므로 $a _ {i1} ,~a _ {i2} ,~ \cdots ,~a _ {\in }$이다. 따라서 $B ^ {T} A ^ {T}$의 $k,~i$성분은

$b _ {1k} a _ {i1} +b _ {2k} a _ {i2} + \cdots +b _ {nk} a _ {\in }$ $\cdots \cdots$②

①, ②는 서로 같고, 여기서 $k,~i$는 각각 $1 \leq k \leq p,~1 \leq i \leq m$으므로

$\left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T}$

 

5 증명

가역행렬 $A$에 대하여 $A$의 역행렬을 $A ^ {-1}$라 하자.

$AA ^ {-1} =A ^ {-1} A=I$, $\left ( AA ^ {-1} \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I$, $\left ( A ^ {-1} A \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I$

4의 성질에 의해

$( A ^ {-1} ) ^ {T} A ^ {T} =I$, $A ^ {T} ( A ^ {-1} ) ^ {T} =I$

따라서 $A ^ {T}$는 가역행렬이다. 또, $( A ^ {T} ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T}$

 

 

18. 다음을 증명하시오.

(1) skew-sysmmetric $n$차 정사각행렬 $B$에 대하여 $A=I-B$는 가역행렬(non-singular)임을 보여라.

 

 

 

(증명) $B ^ {T} =-B$인 행렬 $B$에 대하 $A=I-B$이다. $AX=O$이면 $X=O$임을 보이면 충분하다.

$AX=O$이라 가정하면

$AX= ( I-B)X=O$, $X=BX$,

$X ^ {T} X=X ^ {T} BX$        $\cdots \cdots$①

양변을 전치행렬을 취하면

$( X ^ {T} X) ^ {T} = ( X ^ {T} BX) ^ {T}$

$X ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T} =X ^ {T} B ^ {T} \left ( X ^ {T} \right ) ^ {T}$

$X ^ {T} X=X ^ {T} ( -B)X$  　$\cdots \cdots$②

①, ②에서

$X ^ {T} BX=-X ^ {T} BX$

$\therefore$$X ^ {T} BX=X ^ {T} X=O$

여기서 위의 방정식의 해 $X$를 $X= \left [ x _ {1} ~ ~x _ {2} ~ ~ \cdots ~ ~x _ {n} \right ] ^ {T}$라 두면

$X ^ {T} X=x _ {1} ^ {2} +x _ {2} ^ {2} + \cdots +x _ {n} ^ {2} =0$

$\therefore$  $x _ {1} =x _ {2} = \cdots =x _ {n} =0$

연립방정식 $AX=O$의 해가 자명해만을 가지므로 $A$는 가역행렬이다.

 

 

(2) 성분이 실수인 행렬 $A$가 다음과 같을 때, 행렬 $A$가 $I _ {3}$과 행동치(row-equvalent)임을 이용하여 가역행렬임을 보여라. 또, (1)의 성질을 이용하여 보이시오.

$A= \left[ \matrix {1 & a & b\\-a & 1 & c\\-b & -c & 1} \right]$

 

 

 

19. 행렬 $A= \left[ \matrix {1 & 4\\-3 & 1} \right]$이라 할 때 행렬 $A$가 가역행렬임을 증명하고 $A ^ {-1}$을 구하시오. 또, 행렬 $A$를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

답) $A ^ {-1} = \frac {1} {13} \left[ \matrix {1 & -4\\3 & 1} \right]$

$A=E _ {21} ( -3)E _ {2} ( 13)E _ {12} ( 4)$

 

 

 

20. 대각행렬을 다음과 같이 정의하자.

다음 조건을 만족하는 $n$차 정사각행렬 $D=[d _ {ij} ]$을 대각행렬이라 한다.

$i \neq j$일 때, $d _ {ij} =0$

대각행렬의 $d _ {ii}$ ($i=1,2, \cdots ,n$)의 성분을 $a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n}$라 할 때, $diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )$을 대각행렬을 표시한다.

다음을 보여라.

(1) $diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )diag ( b _ {1} ,~b _ {2} ,~ \cdots ,~b _ {n} )=diag ( a _ {1} b _ {1} ,~a _ {2} b _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} b _ {n} )$

(2) $a _ {1} a _ {2} \cdots a _ {n} \neq 0$라 하면 $diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )$의 가역행렬이고

$( diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )) ^ {-1} =diag \left ( a _ {1} ^ {-1} ,~a _ {2} ^ {-1} ,~ \cdots ,~a _ {n} ^ {-1} \right )$

(3) 대각행렬 $diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )$에 대하여 $a _ {i} =0$인 $i$ ($0 \leq i \leq n$)가 존재한다면 $diag ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} )$는 특이행렬(singular)이다.

 

 

 

 

21. 행렬 $A= \left[ \matrix {0 & 0 & 2\\1 & 2 & 6\\3 & 7 & 9} \right]$이라 할 때 행렬 $A$가 가역행렬임을 증명하고 $A ^ {-1}$을 구하시오. 또, 행렬 $A$를 기본행렬의 곱으로 표현하시오.

 

 

 

 

답)

$A ^ {-1} = \left[ \matrix {-12 & 7 & -2\\ \frac {9} {2} & -3 & 1\\ \frac {1} {2} & 0 & 0} \right]$

$A=E _ {12} E _ {31} ( 3)E _ {23} E _ {3} ( 2)E _ {12} ( 2)E _ {13} ( 24)E _ {23} ( -9)$

 

 

 

22. 행렬 $A= \left[ \matrix {1 & 2 & k\\3 & -1 & 1\\5 & 3 & -5} \right]$가 특이행렬이 되게 하는 유리수 $k$의 값을 구하시오.

 

 

 

답) $k=-3$

 

 

 

 

23. 행렬 $A= \left[ \matrix {1 & 2\\-2 & -4} \right]$가 특이행렬임을 보이고 가역행렬 $P$에 대하여 행렬 $PA$가 모두 $0$인 행이 존재하도록 하는 행렬 $P$를 구하여라.

 

 

 

 

답) $E _ {21} ( 2)$

 

 

24. 다음을 보이시오.

(i) $B ^ {3} =O$을 만족하는 $n$차 정사각행렬 $B$에 대하여

$A=I _ {n} -B$이면 $A$는 가역행렬이고 $A ^ {-1} =I _ {n} +B+B ^ {2}$이다. 여기서 $I _ {n}$은 $n$차 단위행렬이다.

또, 연립방정식 $AX=b$의 해는 다음과 같음을 보여라. 여기서 $b=[b _ {1} ~b _ {2} ~ \cdots b _ {n} ] ^ {T}$인 행렬이다.

$X=b+Bb+B ^ {2} b$

*힌트 $x ^ {3} =1$의 허근 $\omega$를 생각해보자.

 

(ii) 행렬 $B= \left[ \matrix {0 & r & s\\0 & 0 & t\\0 & 0 & 0} \right]$에 대하여

a. $B ^ {3} =O$

b. (i)을 이용하여 $( I _ {3} -B) ^ {-1}$을 구하여라.

b의 답 $\left[ \matrix {1 & r & s+rt\\0 & 1 & t\\0 & 0 & 1} \right]$

 

 

 

 

25. $n$차 정사각행렬 $A$에 대하여 다음을 증명하시오.

(i) $A ^ {2} =O$이면 $A$는 특이행렬이다.

(ii) $A ^ {2} =A$이고 $A \neq I$이면 $A$는 특이행렬이다.

https://tv.naver.com/v/10027928

25번

 

 

(증명) 둘 다 귀류법으로 보이면 된다. 즉 $A$가 가역행렬이라 가정하면 (1)은 $A=O$이므로 $A$는 특이행렬이므로 모순, (ii) $A=I$가 되어 모순이다.

 

 

26. $4$차 정사각행렬 $A$가 다음과 같이 기본행렬의 곱으로 표현될 때, 행렬 $A$와 그 역행렬 $A ^ {-1}$를 구하시오.

$A=E _ {3} ( 2)E _ {14} E _ {42} ( 3)$

 

 

 

정답 $A= \left[ \matrix {0 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 2 & 1\\1 & 0 & 0 & 0} \right]$ $A ^ {-1} = \left[ \matrix {0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1/2 & 1\\1 & -3 & 0 & 0} \right]$

 

27. 자연수 $m$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

$( P ^ {-1} AP) ^ {n} =P ^ {-1} A ^ {n} P$

힌트) 수학적 귀납법으로 보여라.

 

 

 

 

28. $m \times n$행렬 $A$와 $n \times m$행렬 $B$에 대하여 $m>n$이면 $AB$가 특이행렬임을 보이시오.

 

 

 

 

(증명) 행렬 $B$가 $n \times m$행렬이고 $m>n$이므로 다음 방정식의 해는 비자명해를 갖는다. 즉 미미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적기 때문이다.

$BX=O$ $X=[x _ {1} ~x _ {2} ~ \cdots ~x _ {m} ] ^ {T}$ (어떤 $i$ ($1 \leq i \leq m$)에 대하여 $x _ {i} \neq 0$)

위의 식의 양변이 $A$를 곱하면

$ABX=AO=O$,

즉 $( AB)X=O$에서 $AB$는 $m$차 정사각행렬이고 방정식 $( AB)X=O$가 비자명해를 가지므로 $AB$는 특이행렬(singular matrix)이다.

 

 

 

 

 

29. $n$차 정사각행렬 $A,~B$에 대하여 다음을 증명하시오.

$A,~B$ 중 적어도 하나가 특이행렬(비가역행렬)이면 $AB$도 특이행렬이다.

 

https://tv.naver.com/v/10031244

29번

 

 

 

(증명) ① 행렬식의 성질을 이용하자.

귀류법으로 증명하자.

먼저 결론을 부정하여 $AB$가 가역행렬이라 가정하면

$det ( AB)=det ( A)det ( B) \neq 0$

$\therefore$ $det ( A) \neq 0$ 이고 $det ( B) \neq 0$

따라서 $A,~B$ 모두 가역행렬이다. (모순)

② $AB$가 가역행렬이므로 기본행렬 $E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s}$가 존재하여 다음을 만족한다.

$( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )AB=I$

$( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)B=I$

에서 $B$가 가역행렬이고 $B ^ {-1} = ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)$이다.

또, $B$가 가역행렬이므로

$B ( E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A)=I$,

$( BE _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} )A=I$

에서 $B$가 가역행렬이고 기본행렬 $E _ {1} ,~ \cdots ,~E _ {s}$ 모두 가역행렬이므로 $A$도 가역행렬이다.

 

30. 다음 (a), (b)에서 좌표공간 $R ^ {3}$에서 일차독립인지 일차종속인지 말하고 그 이유를 설명하시오.

(a) $( -3,~0,~4),~ ( 5,~-1,~2),~ ( 1,~1,~3)$

(b) $( -2,~0,~1),~ ( 3,~2,~5),~ ( 6,~-1,~1),~ ( 7,~0,~-2)$

https://tv.naver.com/v/10027930

30번

 

(a) 실수 $x,~y,~z$에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.

$x \left[ \matrix {-3\\0\\4} \right] +y \left[ \matrix {5\\-1\\2} \right] +z \left[ \matrix {1\\1\\3} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right]$

$\left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right]$

$det ( \left[ \matrix {-3 & 5 & 1\\0 & -1 & 1\\4 & 2 & 3} \right] ) \neq 0$이므로 해가 $x=0,~y=0,~z=0$ 밖에 존재하지 않으므로 세 벡터는 일차독립이다.

(b) 실수 $x,~y,~z,~w$에 대하여 다음 방정식을 생각해 보자.

$x \left[ \matrix {-2\\0\\1} \right] +y \left[ \matrix {3\\2\\5} \right] +y \left[ \matrix {6\\-1\\1} \right] +w \left[ \matrix {7\\0\\-2} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right]$

 

$\left[ \matrix {-3 & 5 & 1 & 7\\0 & -1 & 1 & 0\\4 & 2 & 3 & -2} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z\\w} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right]$

미지수의 개수보다 식의 개수가 더 적으므로 0이 아닌 실수 $x,~y,~z,~w$가 적어도 하나 있으므로 일차종속이다.

 

 

31. 이차이하의 다항식의 집합 $P _ {2}$에서 아래의 (a), (b)가 각각 일차독립인지 일차종속인지 결정하시오.

(a) $2-x+4x ^ {2}$, $3+6x+2x ^ {2}$, $2+10x-4x ^ {2}$

(b) $1+3x+3x ^ {2}$, $x+4x ^ {2}$, $5+6x+3x ^ {2}$, $7+2x-x ^ {2}$

https://tv.naver.com/v/10027931

31번

(a) 실수 $p,~q,~r$에 대하여 다음 방정식을 생각해보면

$p ( 2-x+4x ^ {2} )+q ( 3+6x+2x ^ {2} )+r ( 2+10x-4x ^ {2} )=0$

위의 방정식이 임의의 실수 $x$에 대하여 성립하려면

$2p+3q+2=0$

$-p+6q+10r=0$

$4p+2q-4r=0$

위의 방정식을 행렬로 나타내면

$\left[ \matrix {2 & 3 & 2\\-1 & 6 & 10\\4 & 2 & -4} \right] \left[ \matrix {p\\q\\r} \right] = \left[ \matrix {0\\0\\0} \right]$

위의 행렬의 행렬식은 $-32$이므로 위의 방정식은 $p=q=r=0$밖에 해를 갖지 않는다. 따라서 일차독립이다.

(b) 일차종속이다. 미지수의 개수보다 식이 개수가 더 적어서 비자명해를 갖기 때문이다.

 

 

32. $T _ {A} :R ^ {2} \rightarrow R ^ {2}$인 일차변환을 생각하자. 또, $\overrightarrow {u _ {1} } = ( 1,~2)$, $\overrightarrow {u _ {2} } = ( -1,~1)$라 할 때, 다음 집합 $\left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\}$가 $R ^ {2}$에서 일차독립인지 일차종속인지 판별하여라.

(a) $A= \left[ \matrix {1 & -1\\0 & 2} \right]$ (b) $A= \left[ \matrix {1 & -1\\-2 & 2} \right]$

(중요)(b) 일차독립인 $u_1 ,~u_2$와 역변환이 존재하는 일차변환 $T_{A}$에 대하여 $\left\{ T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {1} } ),~T _ {A} ( \overrightarrow {u _ {2} } ) \right\}$이 일차독립임을 증명하여라.

 

https://tv.naver.com/v/10027935

32번

 

33. 필요하다면 알고 있는 적당한 항등식을 이용하여 아래의 벡터의 집합이 일차독립인지 판별사하시오.

(a) $6,~3\sin ^ {2} x,~3\cos ^ {2} x$ (b) $x,~\cos x$

(c) $1,~\sin x,~\sin 2x$ (d) $\cos 2x,~\sin ^ {2} x,~\cos ^ {2} x$

(e) $\left ( 3-x \right ) ^ {2} ,~x ^ {2} -6x,~5$

https://tv.naver.com/v/10027944

33번

(답) (a) 일차종속($\left ( -1 \right ) \times 6+2 \left ( 3\cos ^ {2} x \right ) +2 \left ( 3\sin ^ {2} x \right ) =0$)

(b) 일차독립 (임의의 실수 $x$에 대하여 $tx+s\cos x=0$을 만족하는 해는 $t=s=0$밖에 없어서)

(c) 일차독립 임의의 실수 $x$에 대하여

$a \times 1+b\sin x+c\sin 2x=0$

을 만족하는 해 $\left ( a,~b,~c \right )$는 $a=b=c=0$밖에 없어서

(d) 일차종속

$\cos 2x-\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x=0$는 모든 실수 $x$에 대해 성립하므로

(e) 일차종속

$- ( 3-x) ^ {2} + ( x ^ {2} -6x)+ \frac {9} {5} \times 5=0$

 

34. $\left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\}$가 일차독립인 집합이라면 다음 집합들도 일차독립인 집합임을 증명하여라.

$\left\{ v _ {1} ,~v _ {2} \right\}$, $\left\{ v _ {2} ,~v _ {3} \right\}$, $\left\{ v _ {3} ,~v _ {1} \right\}$, $\left\{ v _ {1} \right\}$, $\left\{ v _ {2} \right\}$, $\left\{ v _ {3} \right\}$

https://tv.naver.com/v/10027927

34번

(증명) $v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3}$가 일차독립이므로 실수 $p,~q,~r$에 대하여 다음 방정식의 해는 $p=q=r=0$이다.

$pv _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0$

따라서 $0v _ {1} +qv _ {2} +rv _ {3} =0$의 해 역시 $q=r=0$이므로 $v _ {2} ,~v _ {3}$는 일차독립이다. 나머지도 마찬가지로 하면 된다.

 

이를 일반화하면 일차독립인 집합 $S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~ \cdots ,~v _ {r} \right\}$의 공집합이 아닌 임의의 부분집합도 일차독립이다.

35. 벡터 공간 $V$에서 일차종속인 집합 $S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\}$에 대하여 $S$의 원소가 아닌 벡터공간 $V$의 임의의 원소 $v _ {4}$를 생각하자. 집합 $\left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\}$는 일차종속임을 보여라.

(증명) 집합 $S= \left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} \right\}$가 일차종속이므로 다음 방정식이 비자명해를 갖는다.

$xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} =0$

한편 방정식 $xv _ {1} +yv _ {2} +zv _ {3} +wv _ {4} =0$의 해는 위에서 구한 비자명해와 $w=0$이 될 수 있으므로 집합 $\left\{ v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} ,~v _ {4} \right\}$는 일차종속이다.

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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