[옥동수학학원][대칭식과 교대식] 대칭식과 교대식의 성질과 인수분해[더플러스수학]

*대칭식, 교대식 정의

① 대칭식

대칭식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 $2$개의 변수를 바꾸어 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 같아지는 식이다. 예를 들면 $x+y$, $xy$, $x ^ {2} +y ^ {2}$, $xyz$ 등등이 있다.
$2$개 변수 $x,~y$를 사용하는 식을 $f ( x,y)$라 하면
$$f ( x,y)=f ( y,x)$$
$3$개의 변수 $x,~y,~z$를 사용하는 식을 $f ( x,y,z)$라 하면
$$f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)$$
모든 대칭식은 기본대칭식에 대한 다항식으로 표현이 가능하다.
 

보조정리1  대칭식 $S _ {n} =x ^ {n} +y ^ {n}$을 기본대칭식들과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) 변수가 $2$개이므로 기본대칭식은 $x+y,~xy$이므로 $x+y,~xy$로 표현할 수 있음을 보이면 충분하다.
$x+y=a$, $xy=b$라 하면 두 근이 $x,~y$인 이차방정식을 만들면
$$t ^ {2} -at+b=0$$
이 방정식의 양변에 $t ^ {n}$을 곱하면
$$t ^ {n+2} -at ^ {n+1} +bt ^ {n} =0$$
$x,~y$가 근이므로 대입하면
$$x^{n+2} -ax^{n+1} +bx^n =0~\cdots\cdots (1)$$
$$y^{n+2} -ay^{n+1} +by^n =0~\cdots\cdots (2)$$
(1)$+$(2) 하면
$$( x ^ {n+2} +y ^ {n+2} )-a ( x ^ {n+1} +y ^ {n+1} )+b ( x ^ {n} +y ^ {n} )=0$$
$$\therefore  S _ {n+2} -aS _ {n+1} +bS _ {n} =0$$
또, $S _ {0} =2$, $S _ {1} =a$이므로 수학적 귀납법으로 $S _ {n} ,~S _ {n+1}$이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $S _ {n+2}$도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 
 

정리2 변수가 $2$개인 대칭다항식은 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.

 
증명) 먼저 $x ^ {n} +y ^ {n}$$=S _ {n}$은 기본대칭식으로 표현할 수 있음을 증명했다. 두 개 변수 $x,~y$로 이루어진 대칭다항식을 $f ( x,y)$라 하면 $f$의 일반적인 항은 $ax ^ {i} y ^ {j}$꼴인데 $f$가 대칭식, $f ( x,y)=f ( y,x)$이므로 $ax ^ {j} y ^ {i}$항을 반드시 가지고 있다.
① $i=j$일 때,
$ax ^ {i} y ^ {j} =a ( xy) ^ {i}$이므로 $xy$로 표현되어 있으므로 기본대칭식으로 표현되어 있다.
② $i \neq j$일 때,
$i<j$라 해도 일반성을 잃지 않으므로
$$ax ^ {i} y ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i}   =a ( xy) ^ {i} ( x ^ {j-i} +y ^ {j-i} )  =a ( xy) ^ {i} S _ {j-i}$$
이므로 이것 역시 $xy$, $x+y$에 대한 다항식으로 표현되었다.
따라서 $f$의 모든 항들을 적당히 쌍을 만들면 $ax ^ {i} y ^ {j} =a ( xy) ^ {i}$과 $ax ^ {i} y ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i}$꼴로 만들어 지므로 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

보조정리3 대칭식 $S _ {n} =x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n}$을 기본대칭식들($x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz$)과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) 변수가 $3$개이므로 기본대칭식은 $x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz$이므로 $x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz$로 표현할 수 있음을 보이면 충분하다.
$x+y+z=a,~xy+yz+zx=b,~xyz=c$라 하면 두 근이 $x,~y,~z$인 삼차방정식을 만들면
$$t ^ {3} -at ^ {2} +bt-c=0$$
이 방정식의 양변에 $t ^ {n}$을 곱하면
$$t ^ {n+3} -at ^ {n+2} +bt ^ {n+1} -ct ^ {n} =0$$
$x,~y,~z$가 근이므로 대입하면
$$x^{n+3}-ax^{n+2} +bx^{n+1}-cx^{n} =0 \cdots\cdots(1)$$
$$y^{n+3}-ay^{n+2} +by^{n+1}-cy^{n} =0 \cdots\cdots(2)$$
$$z^{n+3}-az^{n+2} +bz^{n+1}-cz^{n} =0 \cdots\cdots(3)$$
①$+$②$+$③하면
$$\matrix{( x ^ {3} +y ^ {n+3} +z ^ {n+3} )-a ( x ^ {n+2} +y ^ {n+2} +z ^ {n+2} )+b ( x ^ {n+1} +y ^ {n+1} + z ^ {n+1} )\\-c ( x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n} )=0}$$
$$\therefore ~ S _ {n+3} -aS _ {n+2} +bS _ {n+1} -cS _ {n} =0$$
또, $S _ {0} =3$, $S _ {1} =a$， $S _ {2} =a ^ {2} -2b$이므로 수학적 귀납법으로 $S _ {n} ,~S _ {n+1} ,~S _ {n+2}$이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $S _ {n+3}$도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

보조정리 4. 대칭식 $T _ {n} = ( xy) ^ {n} + ( yz) ^ {n} + ( zx) ^ {n}$을 기본대칭식들($x+y+z,~xy+yz+zx,~xyz$)과 간단한 연산만으로 표현할 수 있다.

 
증명) $x+y+z=a$, $xy+yz+zx=b$, $xyz=c$라 두고 $xy,~yz,~zx$가 근이 $3$차 방정식을 만들어 보자.
$$xy+yz+zx=b,~xy \times yz+ yz \times zx +zx \times xy =xyz(x+y+z)=ca$$
$$xy \times yz \times zx= ( xyz) ^ {2} =c ^ {2}$$
이므로
$$t ^ {3} -bt ^ {2} +cat-c ^ {2} =0$$
에서 양변에 $t ^ {n}$을 곱하여 정리하면
$$t ^ {n+3} -bt ^ {n+2} +cat ^ {n+1} -c ^ {2} t ^ {n} =0$$
근 $xy,~yz,~zx$를 대입하면

$( xy) ^ {n+3} -b ( xy) ^ {n+2} +ca ( xy) ^ {n+1} -c ^ {2} ( xy) ^ {n} =0$
$( yz) ^ {n+3} -b ( yz) ^ {n+2} +ca ( yz) ^ {n+1} -c ^ {2} ( yz) ^ {n} =0$
$( zx) ^ {n+3} -b ( zx) ^ {n+2} +ca ( zx) ^ {n+1} -c ^ {2} ( zx) ^ {n} =0$

위의 식을 변변히 더해서 $T _ {n} = ( xy) ^ {n} + ( yz) ^ {n} + ( zx) ^ {n}$임을 이용하면
$$T _ {n+3} -bT _ {n+2} +caT _ {n+1} -c ^ {2} T _ {n} =0$$
또, $T _ {0} =3$, $T _ {1} =b$， $T _ {2} =b ^ {2} -2ca$이므로 수학적 귀납법으로 $T _ {n} ,~T _ {n+1} ,~T _ {n+2}$이 기본대칭식만으로 나타낼 수 있음을 이용하면 $T _ {n+3}$도 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

정리5 변수가 $3$개인 대칭다항식은 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.

 
증명) 먼저 $x ^ {n} +y ^ {n} +z ^ {n}$$=S _ {n}$은 기본대칭식으로 표현할 수 있음을 증명했다. 세 변수 $x,~y,~z$로 이루어진 대칭다항식을 $f ( x,y,z)$라 하면 $f$가 대칭식이므로
$$f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)$$
따라서 $f$의 일반적인 항은 $ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k}$꼴인데
① $i=j=k$일 때,
$ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} =a ( xyz) ^ {i}$이므로 $xyz$로 표현되어 있으므로 기본대칭식으로 표현되어 있다.
② $i \neq j=k$일 때, $ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j}$항을 가지고 있으므로 $ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j}$, $ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i}$항을 가지고 있다.
(i) $i<j$
$ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i}$$=a ( xyz) ^ {i} ( ( xy) ^ {j-i} + \left ( yz \right ) ^ {j-i} + \left ( zx \right ) ^ {j-i} )$$=a ( xyz) ^ {i} T _ {j-i}$
(ii) $i>j$
$ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i}$$=a ( xyz) ^ {j} ( x ^ {i-j} +y ^ {i-j} +z ^ {i-j} )$$=a ( xyz) ^ {j} S _ {i-j}$
③ $i,~j,~k$가 모두 다를 때, ($i>j>k$라 해도 일반성을 잃지 않는다.)
$ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} +ax ^ {i} y ^ {k} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {k} +ax ^ {j} y ^ {k} z ^ {i} +ax ^ {k} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {k} y ^ {j} z ^ {i}$
$=a ( xyz) ^ {k} \left\{ x ^ {i-k} y ^ {j-k} +x ^ {i-k} z ^ {j-k} +x ^ {j-k} y ^ {i-k} +x ^ {j-k} z ^ {i-k} +y ^ {i-k} z ^ {j-k} +y ^ {j-k} z ^ {i-k} \right\}$
$\left. =a ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} ( x ^ {k} +y ^ {k} )+ ( yz) ^ {i-j-k} ( y ^ {k} +z ^ {k} )+ ( zx) ^ {i-j-k} ( z ^ {k} +y ^ {k} ) \right\} \right\}$
$\left . =a ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -z ^ {k} )+ ( yz) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -x ^ {k} )+ ( zx) ^ {i-j-k} ( S _ {k} -x ^ {k} ) \right\} \right .$
$\left . \left . =a ( xyz) ^ {k} \left\{ S _ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} + ( yz) ^ {i-j-k} + ( zx) ^ {i-j-k} \right\} \right . \right . \right .$
   $- \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\}$$=a ( xyz) ^ {k} \left\{ S _ {k} T _ {i-j-k} \right .$$\left . - \left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\} \right\}$ $\cdots \cdots$(*)
a. $i-j-k=k$일 때,
$\left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\}$$= \left\{ ( xyz) ^ {i-j-k} + ( xyz) ^ {i-j-k} + ( xyz) ^ {i-j-k} \right\}$$=3 ( xyz) ^ {i-j-k}$
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
 
b. $i-j-k>k$일 때
$\left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\}$$= ( xyz) ^ {k} \left\{ ( xy) ^ {i-j-2k} + ( yz) ^ {i-j-2k} + ( zx) ^ {i-j-2k} \right\}$$= ( xyz) ^ {k} T _ {i-j-2k}$
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
 
c. $i-j-k<k$일 때,
$\left\{ ( xy) ^ {i-j-k} z ^ {k} + ( yz) ^ {i-j-k} x ^ {k} + ( zx) ^ {i-j-k} y ^ {k} \right\}$$= ( xyz) ^ {i-j-k} \left\{ z ^ {2k-i+j} +y ^ {2k-i+j} +x ^ {2k-i+j} \right\}$$= ( xyz) ^ {i-j-k} S _ {2k-i+j}$
이므로 (*)은 기본대칭식으로 표현가능하다.
따라서 $f$의 모든 항들을 적당히 쌍을 만들면 $ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} =a ( xyz) ^ {i}$과 $ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {j} z ^ {i}$, $ax ^ {i} y ^ {j} z ^ {k} +ax ^ {i} y ^ {k} z ^ {j} +ax ^ {j} y ^ {i} z ^ {k} +ax ^ {j} y ^ {k} z ^ {i} +ax ^ {k} y ^ {i} z ^ {j} +ax ^ {k} y ^ {j} z ^ {i}$꼴로 만들어 지므로 모두 기본대칭식만으로 나타낼 수 있다.
 

② 교대식

교대식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 $2$개의 변수를 바꾸어 계산을 하여도 그 결과가 원래의 식과 부호만 달라지는 식이다. 예를 들어 $3$개의 변수 $x,~y,~z$로 만들어진 식 $f ( x,y,z)$가 교대식이라고 한다면
$f ( x,~y,~z)$$=-f ( y,~x,~z)$$=-f ( x,~z,~y)$$=-f ( z,~y,~x)$
예) $x-y$, $x ^ {2} ( y-z)+y ^ {2} ( z-x)+z ^ {2} ( x-y)$
 
 

대칭식과 교대식 사이의 관계

 
편의상 세 문자 $x,~y,~z$에 대하여 증명하도록 하자.
① (대칭식)$\times$(대칭식)$=$대칭식
$f ( x,y,z)$, $g ( x,y,z)$가 대칭식이라 하자.
$h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z)$
가 대칭식임을 보이자.
$h ( y,x,z)$$=f ( y,x,z) \times g ( y,x,z)$$=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z)$$=h ( x,y,z)$
마찬가지로 $y$와 $z$, $x$와 $z$를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $h ( x,y,z)$는 대칭식이다.
 
② (교대식)$\times$(대칭식)$=$교대식
$f ( x,y,z)$는 교대식, $g ( x,y,z)$는 대칭식이라 하자.
$h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z)$
가 교대식임을 보이자.
$h ( y,x,z)$$=f ( y,x,z) \times g ( y,x,z)$$=-f ( x,y,z) \times g ( x,y,z)$$=-h ( x,y,z)$
마찬가지로 $y$와 $z$, $x$와 $z$를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $h ( x,y,z)$는 교대식이다.
 
③ (교대식)$\times$(교대식)$=$대칭식
$f ( x,y,z)$는 교대식, $g ( x,y,z)$는 교대식이라 하자.
$h ( x,y,z)=f ( x,y,z) \times g ( x,y,z)$
가 대칭식임을 보이자.
$h ( y,x,z)$$=f ( y,x,z) \times g ( y,x,z)$$=-f ( x,y,z) \times -g ( x,y,z)$$=h ( x,y,z)$
마찬가지로 $y$와 $z$, $x$와 $z$를 바꾸어도 동일하다.
따라서 $h ( x,y,z)$는 대칭식이다.
 
(참고) 1. (교대식)$\pm$(교대식)$=$(교대식)(대칭식)$\pm$(대칭식)$=$(대칭식)
증명은 위의 과정처럼 하면 쉽게 된다.
2. (대칭식)$\pm$(교대식) : 어떤 식도 안 된다. 교대식$\times$, 대칭식$\times$
$3$변수 교대식의 성질과 인수분해
 
 

 $f ( x,y,z)$가 교대식이라면 $$f ( x,~y,~z)= ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,~y,~z)$$   이 때, $g ( x,~y,~z)$는 대칭식이다.

 
(증명)
(i) 먼저 $f ( x,y,z)$가 $x-y$를 인수로 가짐을 보이자.
$f ( x,y,z)$가 교대식이므로
$f ( x,y,z)=-f ( y,x,z)$ $\cdots \cdots$①
①에 $x$ 대신 $y$를 대입하면
$f ( y,y,z)=-f ( y,y,z)$
$\therefore$ $f ( y,y,z)$$=0$
인수정리에 의해 $f ( x,y,z)$는 $x-y$를 인수로 갖는다.
따라서 $y$대신 $z$를, $z$대신 $x$를 대입해도 위의 똑같이 $y-z$, $z-x$를 인수로 갖는다.
 
(ii) $g ( x,y,z)$가 대칭식인 이유를 증명하자.
(1)에 의해
$f ( x,y,z)$$= ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,y,z)$
로 표현할 수 있다. $f ( x,y,z)$가 교대식이므로
$f ( x,y,z)=-f ( y,x,z)$
$f ( x,y,z)= ( x-y) ( y-z) ( z-x)g ( x,y,z)$$=-f ( y,x,z)=- ( y-x) ( x-z) ( z-x) \cdot g ( y,x,z)$
$\therefore$$g ( x,y,z)=g ( y,x,z)$
이것을 $y$와 $z$, $z$와 $x$에 대해서도 진행하면 $g ( x,y,z)$가 대칭식임을 알 수 있다.
 
$3$변수 대칭식의 인수분해
$3$변수 대칭식 $f ( x,y,z)$에 대하여 $f ( -y,y,z)=0$이면 $f ( x,y,z)$는
$( x+y) ( y+z) ( z+x)$
를 인수로 갖는다. 즉,
$f ( x,y,z)= ( x+y) ( y+z) ( z+x) \cdot g ( x,y,z)$
이 때, $g ( x,y,z)$는 대칭식이다.
(증명) (i) $f ( x,y,z)$가 $( x+y) ( y+z) ( z+x)$를 인수로 가짐을 먼저 증명하자.
가정에서 $f ( -y,y,z)=0$이므로 인수정리에 의해
$x- ( -y)$$=x+y$
를 인수로 갖는다. 마찬가지로 $f ( x,y,z)$는 대칭식이므로 $y$ 대신 $z$를, $z$ 대신 $x$를 넣어도 그 값은 변하지 않으므로
$f ( -y,y,z)=0$ $\Rightarrow$ $f ( -z,z,x)=0$
대칭식의 성질에 의해 문자의 순서를 바꾸어도 그 값은 변하지 않으므로
$f ( -z,z,x)=f ( x,-z,z)=0$
이 되고 이것은 $y$자리에 $-z$를 대입하여 $0$이 된 것을 해석할 수 있다. 따라서 인수정리에 의해 $f ( x,y,z)$는
$y- ( -z)=y+z$
를 인수로 갖는다. 같은 방법으로 $z+x$도 $f ( x,y,z)$의 인수가 된다.
 
(ii) $g ( x,y,z)$가 대칭식임을 증명하자.
(대칭식)$\times$(대칭식)$=$(대칭식)이므로 $f ( x,y,z)$와 $( x+y) ( y+z) ( z+x)$가 모두 대칭식이므로
$f ( x,y,z)= ( x+y) ( y+z) ( z+x)\cdots ( x,y,z)$   $\cdots\cdots$①
이 성립해야 하므로 $g ( x,y,z)$는 대칭식이어야 한다.

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