[서울대 본고사] 1995학년도 서울대 본고사(인문계)

실수 $ a $에 대하여 $ <a> $는 $ a $에 가장 가까운 정수와 $ a $ 사이의 거리를 나타낸다.

보기를 들면 $ <0.3>=0.3 $, $ <1.6>=0.4 $이다. 음이 아닌 정수 $ n $에 대하여

$$ f _ {n} ( x)= \frac {1} {2 ^ {n} } <2 ^ {n} x> $$ 이라고 하자.

㈎ 함수 $ f _ {n} ( x) $는 주기함수임을 보여라. (5점)

㈏ $ 0 \leq x \leq 1 $인 범위에서 $ y=f _ {n} ( x) $의 그래프와 $ x $축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $ S _ {n} $이라고 할 때, $ \sum\limits _ {n=0} ^ {\infty } S _ {n} $의 값을 구하라.(10점)