[서울대 본고사] 1994학년도 서울대 본고사 문제

[문제1]

1. 자연수 $ l,~m,~n $에 대하여 $ n \leq l,~n \leq m $일 때,

$$ \sum\limits _ {k=0} ^ {n} {}_ {l} \mathrm C _ {k} \cdot {} _ {m} \mathrm C _ {n-k} ={} _ {l+m} C _ {n} $$

임을 증명하여라.

2019/10/24 - [수학과 공부이야기] - 조합론적 증명

 

 

 

2. 어떤 제품이 $ 3M $개 들어있는 상자 속에 불량품이 $ M $개 들어있다. 이 상자에서 동시에 $ n $개의 제품을 임의추출할 때, 추출된 불량품의 개수를 $ X $라고 하자. 단, $ 1 \leq n \leq M $이다.

이 때, $\mathrm  P ( X=k) $를 $ P _ {k} $라 하면

$$ \mathrm E ( X ^ {2} )= \mathrm E ( X)+ \sum\limits _ {k=0} ^ {n} k ( k-1) \mathrm P _ {k} $$

이다. 다음에 답하여라.

(1) $ X $의 기댓값 $\mathrm  E ( X) $를 구하여라.

(2) $ X $의 분산 $\mathrm  V ( X) $를 구하여라.

(참고 : ${}_ {M} \mathrm C _ {k} = \frac {M} {k} {}_ {M-1} \mathrm C _ {k-1} $, $ {}_ {3M}\mathrm  C _ {n} = \frac {3M} {n} {}_ {3M-1}\mathrm  C _ {n-1} $)

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3.

(1) 계수가 실수이고 차수가 1이상인 다항식 $ F ( t) $에 대하여 $ t $에 관한 방정식 $ F ( t)=0 $의 실근의 개수와 $ x $에 관한 방정식 $ F ( \log_{}x)=0 $의 실근의 개수가 같음을 증명하여라.

 

(2) 함수 $ f _ {1} ( x),~f _ {2} ( x),~f _ {3} ( x), ~\cdots ,~f _ {1994} ( x) $를

$$f_1 (x)=(2-\log_{} x)(3-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$

$$f_2 (x)=(1-\log_{} x)(3-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$

$$f_3 (x)=(1-\log_{} x)(2-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$

$  \vdots$                $  \vdots $                $\vdots$                $\vdots$                $\vdots $

$$f_{1994} (x)=(1-\log_{} x)(2-\log_{}x) (3-\log_{} x)\cdots (1993-\log_{}x)$$

라 하자.

$$ f ( x)= \sum\limits _ {i=1} ^ {1994} f _ {i} ( x) $$

일 때, 방정식 $ f ( x)=0 $의 실근의 개수를 구하여라.(단, 반드시 (1)의 결과를 이용하여 구하여라.)