[서울대 본고사] 1994학년도 서울대 본고사 문제

[문제1]
1. 자연수 $l,~m,~n$에 대하여 $n \leq l,~n \leq m$일 때,
$$\sum\limits _ {k=0} ^ {n} {}_ {l} \mathrm C _ {k} \cdot {} _ {m} \mathrm C _ {n-k} ={} _ {l+m} C _ {n}$$
임을 증명하여라.
2019/10/24 - [수학과 공부이야기] - 조합론적 증명
 
 
 
2. 어떤 제품이 $3M$개 들어있는 상자 속에 불량품이 $M$개 들어있다. 이 상자에서 동시에 $n$개의 제품을 임의추출할 때, 추출된 불량품의 개수를 $X$라고 하자. 단, $1 \leq n \leq M$이다.
이 때, $\mathrm  P ( X=k)$를 $P _ {k}$라 하면
$$\mathrm E ( X ^ {2} )= \mathrm E ( X)+ \sum\limits _ {k=0} ^ {n} k ( k-1) \mathrm P _ {k}$$
이다. 다음에 답하여라.
(1) $X$의 기댓값 $\mathrm  E ( X)$를 구하여라.
(2) $X$의 분산 $\mathrm  V ( X)$를 구하여라.
(참고 : ${}_ {M} \mathrm C _ {k} = \frac {M} {k} {}_ {M-1} \mathrm C _ {k-1}$, ${}_ {3M}\mathrm  C _ {n} = \frac {3M} {n} {}_ {3M-1}\mathrm  C _ {n-1}$)
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3.
(1) 계수가 실수이고 차수가 1이상인 다항식 $F ( t)$에 대하여 $t$에 관한 방정식 $F ( t)=0$의 실근의 개수와 $x$에 관한 방정식 $F ( \log_{}x)=0$의 실근의 개수가 같음을 증명하여라.
 
(2) 함수 $f _ {1} ( x),~f _ {2} ( x),~f _ {3} ( x), ~\cdots ,~f _ {1994} ( x)$를
$$f_1 (x)=(2-\log_{} x)(3-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$
$$f_2 (x)=(1-\log_{} x)(3-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$
$$f_3 (x)=(1-\log_{} x)(2-\log_{}x) (4-\log_{} x)\cdots (1994-\log_{}x)$$

$\vdots$                $\vdots$                $\vdots$                $\vdots$                $\vdots$

$$f_{1994} (x)=(1-\log_{} x)(2-\log_{}x) (3-\log_{} x)\cdots (1993-\log_{}x)$$
라 하자.
$$f ( x)= \sum\limits _ {i=1} ^ {1994} f _ {i} ( x)$$
일 때, 방정식 $f ( x)=0$의 실근의 개수를 구하여라.(단, 반드시 (1)의 결과를 이용하여 구하여라.)

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