[서울대 심층면접] 2003학년도 서울대 심층면접 정시

[문제1] 좌표평면 위에 정점 $ \rm A \left ( 0~,1 \right ) ,B \left ( 1~,1 \right ) ,C \left ( 1~,0 \right ) $이 주어져 있다. 동점 $ \rm P $$ \left ( x~,y \right ) $가 평면 위를 움직이는데, 벡터 $ \rm \overrightarrow {OP} $가 $ x $축의 양의 방향과 이루는 각 $ \theta $는 $ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi} {2} $를 만족한다.

(1) 벡터 $ \rm \overrightarrow {OP} $가 다음 조건을 만족할 때, 점 $ \rm P $$ \left ( x,~y \right ) $의 자취를 구하시오.

$ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi} {4} $ 일 때, $ \rm \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OC} \right ) \bullet \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OC} \right ) =1 $

$ \frac {\pi} {4} \leq \theta \leq \frac {\pi} {2} $ 일 때, $ \rm \overrightarrow {OP} $$ = \left ( 1-t \right )\rm \overrightarrow {OA} $$ +t \rm \overrightarrow {OB} $ (단, $ 0 \leq t \leq 1 $)

 

(2) $ \rm \left | \overrightarrow {OP} \right | = \left | \overrightarrow {OQ} \right | $ 인 벡터 $ \rm \overrightarrow {OQ} $ 가 다음 조건을 만족한다.

$ \rm \overrightarrow {OP} \bullet \overrightarrow {OQ} =0 $ 또는 $ \rm \overrightarrow {OP} \bullet \overrightarrow {OQ} =- \left | \overrightarrow {OP} \right | \left | \overrightarrow {OQ} \right | $

점 $ \rm P $$ \left ( x,~y \right ) $가 위에서 구한 자취를 따라 움직일 때, $ \rm Q $$ \left ( x,~y \right ) $의 자취를 구하시오.

 

(3) 앞의 두 문제에서 구한 점 P와 Q의 자취 및 $ x $축과 $ y $축으로 둘러싸인 도형을 $ x $축의 둘레로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피를 구하시오.