[더플러스수학] 2018학년도 연세대 특기자전형 과고전형

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[더플러스수학] 2018학년도 연세대 특기자전형 과고전형

 

[문제1] $0<a<1$인 실수 $a$에 대하여 함수 $g ( x)$가 다음과 같다.

$$g ( x)= { \begin {cases} ~~~x & ( x<a) \\ b \left ( x-1 \right ) ^ {2} ~~ & \left ( a \leq x \leq 2-a \right ) \\ ~~2-x & \left ( x>2-a \right )\end {cases} }$$

함수 $g ( x)$가 모든 실수에서 미분가능하고 도함수 $g ' ( x)$가 연속이 되도록 실수 $b$와 $c$의 값을 $a$에 관한 식으로 나타내고, 닫힌 구간 $[0,~2]$에서 $g ( x)$의 최댓값이 $1$보다 작음을 보이시오.

제시문1. 함수 $f ( x)$는 모든 실수에서 미분가능하고 도함수 $f ' ( x)$는 연속이며 다음 조건을 만족한다. I. $f ( 0)=0$, $f ( 2)=0$이다. II. 닫힌 구간 $[0,~2]$에서 $\left | f ' ( x)| \right .$의 최댓값이 $1$이다.

 

[문제2] 제시문 1의 조건을 만족하는 함수 $f ( x)$에 대하여 닫힌 구간 $[0,~2]$에서 $|f \left ( x \right ) |$의 최댓값은 항상 $1$보다 작음을 평균값의 정리를 이용하여 보이시오.

평균값의 정리 함수 $f ( x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,~b \right )$에서 미분가능할 때, $$\frac {f ( b)-f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right )$$ 인 $c$가 $a$와 $b$사이에 적어도 하나 존재한다.

 

제시문2. 함수 $f ( x)$는 모든 실수에서 이계도함수가 존재하고, 어떤 실수 $a$에 대하여 다음 조건을 만족한다. (단, $a>1$)

I. $f ( 0)=0$, $f ( a)=0$이다. II. 닫힌 구간 $[0,~a]$에서 $\left | f ( x)| \right .$의 최댓값이 $\frac {1} {2018}$이다. II. 닫힌 구간 $[0,~a]$에서 $\left | f ' ( x)| \right .$의 최댓값이 $2018$이다.

 

[문제3] 제시문 2의 조건을 만족하는 함수 $f ( x)$를 하나 찾으시오.

 

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