[더플러스수학] 2018학년도 연세대 특기자전형 과고전형

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[더플러스수학] 2018학년도 연세대 특기자전형 과고전형

 

[문제1] $ 0<a<1 $인 실수 $ a $에 대하여 함수 $ g ( x) $가 다음과 같다.

$$ g ( x)= { \begin {cases} ~~~x & ( x<a) \\ b \left ( x-1 \right ) ^ {2} ~~ & \left ( a \leq x \leq 2-a \right ) \\ ~~2-x & \left ( x>2-a \right )\end {cases} } $$

함수 $ g ( x) $가 모든 실수에서 미분가능하고 도함수 $ g ' ( x) $가 연속이 되도록 실수 $ b $와 $ c $의 값을 $ a $에 관한 식으로 나타내고, 닫힌 구간 $ [0,~2] $에서 $ g ( x) $의 최댓값이 $ 1 $보다 작음을 보이시오.

제시문1. 함수 $ f ( x) $는 모든 실수에서 미분가능하고 도함수 $ f ' ( x) $는 연속이며 다음 조건을 만족한다. I. $ f ( 0)=0 $, $ f ( 2)=0 $이다. II. 닫힌 구간 $ [0,~2] $에서 $ \left | f ' ( x)| \right . $의 최댓값이 $ 1 $이다.

 

[문제2] 제시문 1의 조건을 만족하는 함수 $ f ( x) $에 대하여 닫힌 구간 $ [0,~2] $에서 $ |f \left ( x \right ) | $의 최댓값은 항상 $ 1 $보다 작음을 평균값의 정리를 이용하여 보이시오.

평균값의 정리 함수 $ f ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이고 열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에서 미분가능할 때, $$ \frac {f ( b)-f \left ( a \right )} {b-a} =f ' \left ( c \right ) $$ 인 $ c $가 $ a $와 $ b $사이에 적어도 하나 존재한다.

 

제시문2. 함수 $ f ( x) $는 모든 실수에서 이계도함수가 존재하고, 어떤 실수 $ a $에 대하여 다음 조건을 만족한다. (단, $ a>1 $)

I. $ f ( 0)=0 $, $ f ( a)=0 $이다. II. 닫힌 구간 $ [0,~a] $에서 $ \left | f ( x)| \right . $의 최댓값이 $ \frac {1} {2018} $이다. II. 닫힌 구간 $ [0,~a] $에서 $ \left | f ' ( x)| \right . $의 최댓값이 $ 2018 $이다.

 

[문제3] 제시문 2의 조건을 만족하는 함수 $ f ( x) $를 하나 찾으시오.

 

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