[더플러스수학] 2018학년도 인하대 수리논술 오후1

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 두 함수 $ f ( x),~g ( x) $가 구간 $ [a,~b] $에서 연속일 때, 두 곡선 $ y=f ( x),~y=g ( x) $와 두 직선 $ x=a,~x=b $로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다. $$ S= \int _ {a} ^ {b} {\left | f ( x)-g ( x) \right |} dx $$ 이다. (나) 두 함수 $ f ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이면 다음이 성립한다. $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} f \left ( x _ {k} \right ) \Delta x} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} ,~ \Delta x= \frac {b-a} {n} ,~x _ {k} =a+k \Delta x $$ (다) (정적분의 부분적분법) 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이면 열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에서 미분가능한 두 함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $에 대하여 $ f ' ( x) $와 $ g ' ( x) $가 $ [a,~b] $에서 연속이면 다음이 성립한다. $$ \int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right ) g ' ( x)dx} = \left [ f ( x)g ( x) \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {f ' ( x)g ( x)dx} $$

※ 아래 그림과 같이 곡선 $ y= \frac {1} {x} $ ($ x>0 $)과 두 직선 $ y=mx,~y=nx $로 둘러싸인 도형의 넓이를 $ A _ {m,n} $이라 하자. (단, $ m,~n $은 $ m>n $인 자연수)

(1-1) $ A _ {m,n} $을 $ m,~n $으로 나타내시오. (15점)

(1-2) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {A _ {n+k,~n} } {n} } $ 의 값을 구하시오.(15점)

 

[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오.

(가) $ 0<a<b $일 때, 부등식 $$ \frac {1} {b} < \frac {\ln b-\ln a} {b-a} < \frac {1} {a} $$ 은 아래와 같이 직사각형의 넓이와 정적분 사이의 관계를 비교하면 보일 수 있다. $$ \frac {1} {b} \left ( b-a \right ) < \int _ {a} ^ {b} { \frac {1} {x} dx} < \frac {1} {a} \left ( b-a \right ) $$ $$ \frac {1} {b} \left ( b-a \right ) <\ln b-\ln a< \frac {1} {a} \left ( b-a \right ) $$ $$ \frac {1} {b} < \frac {\ln b-\ln a} {b-a} < \frac {1} {a} $$ (나) (수열의 극한값의 대소 관계) 수렴하는 두 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} ,~ \left\{ b _ {n} \right\} $에 대하여 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} } = \alpha ,~ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {b _ {n} } = \beta $일 때, (1) 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq b _ {n} $이면 $ \alpha \leq \beta $이다. (2) 수열 $ \left\{ c _ {n} \right\} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq c _ {n} \leq b _ {n} $을 만족시키고 $ \alpha = \beta $이면 수열 $ \left\{ c _ {n} \right\} $은 수렴하고 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {c _ {n} } = \alpha $이다. (다) 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} ,~a _ {n} >0 $에 대하여 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} } = \alpha >0 $이면 다음이 잘 알려져 있다. $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left\{ \ln a _ {n} \right\} =\ln \left\{ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} } \right\} =\ln \alpha } $$ (라) 다음 삼각함수의 극한이 성립한다. $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} { \frac {\sin x} {x} } =1 $$

 

(2-1) 제시문 (가), (나) 그리고 (다)를 모두 이용하여 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left ( 1+ \frac {3} {2n} \right ) ^ {n} } $의 값을 구하시오. (15점)

(2-2) 아래 그림과 같은 도형이 있다.

여기서 $ \rm \overline {OB} = \alpha _ {1} =1 $, $ \rm \overline {AB} = \overline {BC} = \alpha _ {2} $, $ \rm \overline {AC} = \overline {CD} = \alpha _ {3} $, $ \cdots $, $ \rm \angle ABO= \theta _ {1} =30 ^{\circ } $,$ \rm \angle ACB= \theta _ {2} $, $ \rm \angle ADC= \theta _ {3} $, $ \cdots $

(a) 위 그림으로부터 $ \sin ^ {2} 15 ^{\circ } $의 값을 구하시오. (5점)

(b) 위 그림으로부터 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {2 ^ {n} } {a _ {n+1} } } $의 값을 구하시오. (15점)

 

[문제 3] (35점) 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오.

(가) 점 $ \left ( x _ {1} ,~y _ {1} ,~z _ {1} \right ) $을 지나고 벡터 $ \overrightarrow {u} = \left ( a,~b,~c \right ) $에 평행한 직선의 방정식은 $ \frac {x-x _ {1} } {a} = \frac {y-y _ {1} } {b} = \frac {z-z _ {1} } {c} $ (단, $ abc \neq 0 $) (나) 좌표공간에서 두 평면 $$ \alpha :a _ {1} x+b _ {1} y+c _ {1} z+d _ {1} =0 $$ $$ \beta :a _ {2} x+b _ {2} y+c _ {2} z+d _ {2} =0 $$ 이 이루는 각의 크기를 $ \theta $ ($ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } {2} $)라 하면 $ \cos \theta = \frac {\left | a _ {1} a _ {2} +b _ {1} b _ {2} +c _ {1} c _ {2} \right |} {\sqrt {a _ {1} ^ {2} +b _ {1} ^ {2} +c _ {1} ^ {2} } \sqrt {a _ {2} ^ {2} +b _ {2} ^ {2} +c _ {2} ^ {2} } } $ (다) (정사영의 넓이) 평면 $ \alpha $ 위의 도형 $ F $의 평면 $ \alpha ' $ 위로의 정사영을 $ F ' $이라 하자. $ F,~F prime $의 넓이를 각각 $ S,~S ' $이라 할 때, 두 평면 $ \alpha ,~ \alpha ' $이 이루는 각의 크기가 $ \theta $ ($ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } {2} $)이면 $$ S=S ' \cos \theta $$

 

※ 아래 그림과 같이 좌표공간에서 $ xy $평면에 평행하고 점 $ ( 0,~0,~3) $을 지나는 평면을 $ \alpha $라 하자. 평면 $ \alpha $ 위에 중심이 $ \left ( 0,~0,~3 \right ) $이고 반지름의 길이가 $ 4 $인 원 $ C $ 위의 한 점 $ \rm A ( \it a,~b,~3) $을 중심으로 하는 구 $ \left ( x-a \right ) ^ {2} + \left ( y-b \right ) ^ {2} + \left ( z-3 \right ) ^ {2} =1 $이 있다. 이 때, 두 점 $ \rm O $와 $ \rm A $를 지나는 직선을 $ l $이라 하자. (단, $ \rm O $는 원점이다.)

(3-1) 직선 $ l $과 구의 두 교점 $ \rm P _ {1} $과 $ \rm P _ {2} $의 좌표를 $ a,~b $로 나타내시오. (15점)

(3-2) 직선 $ l $에 수직이고 점 $ \rm A $를 지나는 평면을 $ \beta _ {l} $이라 할 때, 구와 평면 $ \beta _ {l} $의 교선으로 둘러싸인 평면도형을 $ F $라 하자. 점 $ \rm A $의 $ y $좌표인 $ b $가 $ 0 \leq b \leq 4 $를 만족하면서 원 $ C $ 위를 움직일 때, 도형 $ F $의 평면 $ \alpha $ 위로의 정사영들로 이루어진 도형의 넓이를 구하시오. (20점)

 

---

https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/401289939