[더플러스수학] 2019학년도 부산대학교 수시모집 논술전형 논 술 고 사(의학계)

【문항 1】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 영벡터가 아닌 두 공간벡터 $ \overrightarrow {a} $, $ \overrightarrow {b} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta ( 0 \leq \theta \leq \pi ) $라고 할 때, $$ \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} = \left | \overrightarrow {a} \right | \left | \overrightarrow {b} \right | \cos \theta $$ (나) 점 $ \rm A ( \it x _ {1} ,y _ {1} ,z _ {1} ) $을 지나고 벡터 $ \overrightarrow {u} = ( a,b,c) $에 평행한 직선의 방정식은 (ⅰ) $ abc \neq 0 $인 경우 $ \frac {x-x _ {1} } {a} = \frac {y-y _ {1} } {b} = \frac {z-z _ {1} } {c} $ (ⅱ) $ ab \neq 0 $, $ c=0 $인 경우 $ \frac {x-x _ {1} } {a} = \frac {y-y _ {1} } {b} $, $ z=z _ {1} $ (다) 점 $ \rm A ( \it x _ {1} ,y _ {1} ,z _ {1} ) $을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $ \overrightarrow {n} = ( a,b,c) $에 수직인 평면의 방정식은 $$ a ( x-x _ {1} )+b ( y-y _ {1} )+c ( z-z _ {1} )=0 $$ (라) 삼각함수의 덧셈정리 $$ \sin ( \alpha + \beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ,$$ $$\cos ( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $$ 를 이용하면 $$ \sin 2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,$$ $$ \cos 2 \alpha =\cos ^ {2} \alpha -\sin ^ {2} \alpha =2\cos ^ {2} \alpha -1=1-2\sin ^ {2} \alpha $$ (마) 구간 $ [a,b] $의 임의의 점 $ x $에서 $ x $축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $ S ( x) $인 입체도형의 부피 $ V $는 $$ V= \int _ {a} ^ {b} {} S ( x)dx $$

 

[1-1] $ b ^ {2} +c ^ {2} <1 $을 만족하는 두 양의 실수 $ b $, $ c $에 대하여, 좌표공간에서 구 $ S:x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =1 $이 두 평면 $ \beta :y=b $, $ \gamma :z=c $와 만나서 생기는 두 원을 각각 $ C _ {1} $, $ C _ {2} $라 하자. 이 두 원이 만나는 점 중 $ x $좌표가 양수인 점을 $ \rm P $라 하자. 평면 $ \beta $에서 원 $ C _ {1} $의 점 $ \rm P $에서의 접선을 $ l _ {1} $, 평면 $ \gamma $에서 원 $ C _ {2} $의 점 $ \rm P $에서의 접선을 $ l _ {2} $라 할 때, 두 직선 $ l _ {1} $, $ l _ {2} $가 이루는 각을 $ \theta $라 하자. 이때, $ \cos \theta $의 값을 $ b $, $ c $에 관한 식으로 나타내고, $ b ^ {2} +c ^ {2} = \frac {1} {4} $을 만족할 때, $ \cos \theta $의 최댓값을 구하시오. (15점)

[1-2] 그림과 같이 구 $ S:x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =1 $과 평면 $ z=t $$ \left ( - \frac {1} {2} \leq t \leq \frac {1} {2} \right ) $가 만나서 생기는 원을 $ C $라 할 때, 원 $ C $가 평면 $ y= \frac {\sqrt {2} } {2} $와 만나는 두 점을 $ \rm P $, $ \rm Q $라 하자. 평면 $ z=t $에서 원 $ C $ 위의 두 점 $ \rm P,Q $에서의 접선을 각각 $ m _ {1} $, $ m _ {2} $라 하면, 두 직선 $ m _ {1} $, $ m _ {2} $는 한 점 $ \rm R $에서 만난다. 이때, $ t $가 $ - \frac {1} {2} $에서 $ \frac {1} {2} $까지 변할 때, 삼각형 $ \rm PQR $가 만드는 입체도형의 부피를 구하시오. (20점)

 

【문항 2】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 함수 $ f ( x) $, $ g ( x) $가 미분가능하고 $ f ' ( x) $, $ g ' ( x) $가 연속일 때, $$ \int _ {a} ^ {b} {\left . f ( x)g ' ( x)dx= \left [ f ( x)g ( x) \right . \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {f ' ( x)g ( x)dx} } $$ (나) 구간 $ [a,~b] $에서 연속인 함수 $ f ( x) $에 대하여 미분가능한 함수 $ x=g ( t) $의 도함수 $ g ' ( t) $가 구간 $ [ \alpha , ~\beta ] $에서 연속이고, $ a=g ( \alpha ) $, ~$ b=g ( \beta ) $이면 $$ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)} dx= \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)} dt $$

 

자연수 $ a $, $ b $에 대하여 포물선 $ y=x ^ {2} $과 직선 $ y=ax+b $로 둘러싸인 영역을 $ D ( a,b) $라 하자. (단, 경계선은 포함한다.) 영역 $ D ( a,b) $의 $ x $좌표와 $ y $좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $ L ( a,b) $라 하자.

예를 들면 $ D ( 1,2) $는 아래와 같은 영역이며

영역 $ D ( 1,2) $의 $ x $좌표와 $ y $좌표가 모두 정수인 점은 $ ( -1,1) $, $ ( 0,0) $, $ ( 0,1) $, $ ( 0,2) $, $ ( 1,1) $, $ ( 1,2) $, $ ( 1,3) $, $ ( 2,4) $이므로 $ L ( 1,2)=8 $이다.

[2-1] 자연수 $ n $과 실수 $ \alpha $, $ \beta $에 대하여 제시문을 이용하여 $ \int _ {\alpha } ^ {\beta } { ( x- \alpha ) ( x- \beta ) ^ {n} dx} $를 구하시오. (10점)

[2-2] 이차방정식 $ x ^ {2} -ax-b=0 $의 두 근의 차를 $ c $라 하자. 예를 들면 $ x ^ {2} -x-2=0 $의 두 근이 $ -1 $, $ 2 $이므로 $ c=2- ( -1)=3 $이다. 영역 $ D ( a,b) $의 넓이가 유리수일 때, $ L ( a,b) $를 $ c $에 관한 식으로 나타내시오. (25점)

 

【문항 3】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) $ n $개 중에서 같은 것이 각각 $ p $개, $ q $개, $ \cdots $, $ r $개 있을 때, $ n $개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 $ \frac {n!} {p!q! \cdots r!} $(단, $ p+q+ \cdots +r=n $) (나) 사건 $ A $가 일어났을 때 사건 $ B $의 조건부확률은 $ \rm P ( \it B ~| ~A)= \frac {\rm P ( \it A \cap B)} {\rm P ( \it A)} $ (단, $ \rm P ( \it A)>0 $)

 

그림과 같이 인접한 두 지점 사이의 거리가 $ 1 $인 정삼각형 모양의 도로망이 있다. 이 도로망을 따라서 이동하려고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] $ \rm A $지점에서 출발하여 $ \rm C $지점으로 이동하려고 할 때, 이동거리가 $ 5 $인 경로는 몇 가지인지 구하시오.  (10점)

[3-2] 주머니 안에 $ 1,2,3 $의 숫자가 각각 하나씩 적혀 있는 세 장의 카드가 있다. 다음과 같은 방법으로도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동하는 것을 시행이라고 하자.

[단계 1] 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 뽑았을 때 $ 1 $이 적힌 카드이면 $ \swarrow $방향으로, $ 2 $가 적힌 카드이면 ↘방향으로, $ 3 $이 적힌 카드이면 $ \rightarrow $방향으로 도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동한다. 만약 $ 3 $이 적힌 카드를 뽑아서 이동을 할 수 없을 때에는 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아서 $ 1 $이 적힌 카드를 뽑으면 $ \swarrow$방향으로, $ 2 $가 적힌 카드를 뽑으면 ↘방향으로 도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동한다. [단계 2] $ 1 $만큼 이동을 하고 나면 모든 카드를 주머니에 다시 넣는다.

이와 같은 시행을 반복하여 $ \rm A $지점에서 출발하여 $ \rm B $지점으로 이동하였다고 할 때, $ \rm A $지점에서 $ \rm B $지점까지 이동한 거리를 확률변수 $ X $라 하자. 이때, $ \frac {\rm P ( \it X=3)} {\rm P ( \it X=4)} $의 값을 구하시오. (20점)  (단, 시행은 최대 $ 5 $번까지 할 수 있다.)

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