[더플러스수학] 2019학년도 부산대학교 수시모집 논술전형 논 술 고 사(의학계)

【문항 1】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 영벡터가 아닌 두 공간벡터 $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$가 이루는 각의 크기를 $\theta ( 0 \leq \theta \leq \pi )$라고 할 때, $$\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} = \left | \overrightarrow {a} \right | \left | \overrightarrow {b} \right | \cos \theta$$ (나) 점 $\rm A ( \it x _ {1} ,y _ {1} ,z _ {1} )$을 지나고 벡터 $\overrightarrow {u} = ( a,b,c)$에 평행한 직선의 방정식은 (ⅰ) $abc \neq 0$인 경우 $\frac {x-x _ {1} } {a} = \frac {y-y _ {1} } {b} = \frac {z-z _ {1} } {c}$ (ⅱ) $ab \neq 0$, $c=0$인 경우 $\frac {x-x _ {1} } {a} = \frac {y-y _ {1} } {b}$, $z=z _ {1}$ (다) 점 $\rm A ( \it x _ {1} ,y _ {1} ,z _ {1} )$을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\overrightarrow {n} = ( a,b,c)$에 수직인 평면의 방정식은 $$a ( x-x _ {1} )+b ( y-y _ {1} )+c ( z-z _ {1} )=0$$ (라) 삼각함수의 덧셈정리 $$\sin ( \alpha + \beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ,$$ $$\cos ( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ 를 이용하면 $$\sin 2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,$$ $$\cos 2 \alpha =\cos ^ {2} \alpha -\sin ^ {2} \alpha =2\cos ^ {2} \alpha -1=1-2\sin ^ {2} \alpha$$ (마) 구간 $[a,b]$의 임의의 점 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S ( x)$인 입체도형의 부피 $V$는 $$V= \int _ {a} ^ {b} {} S ( x)dx$$

 

[1-1] $b ^ {2} +c ^ {2} <1$을 만족하는 두 양의 실수 $b$, $c$에 대하여, 좌표공간에서 구 $S:x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =1$이 두 평면 $\beta :y=b$, $\gamma :z=c$와 만나서 생기는 두 원을 각각 $C _ {1}$, $C _ {2}$라 하자. 이 두 원이 만나는 점 중 $x$좌표가 양수인 점을 $\rm P$라 하자. 평면 $\beta$에서 원 $C _ {1}$의 점 $\rm P$에서의 접선을 $l _ {1}$, 평면 $\gamma$에서 원 $C _ {2}$의 점 $\rm P$에서의 접선을 $l _ {2}$라 할 때, 두 직선 $l _ {1}$, $l _ {2}$가 이루는 각을 $\theta$라 하자. 이때, $\cos \theta$의 값을 $b$, $c$에 관한 식으로 나타내고, $b ^ {2} +c ^ {2} = \frac {1} {4}$을 만족할 때, $\cos \theta$의 최댓값을 구하시오. (15점)

[1-2] 그림과 같이 구 $S:x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =1$과 평면 $z=t$$\left ( - \frac {1} {2} \leq t \leq \frac {1} {2} \right )$가 만나서 생기는 원을 $C$라 할 때, 원 $C$가 평면 $y= \frac {\sqrt {2} } {2}$와 만나는 두 점을 $\rm P$, $\rm Q$라 하자. 평면 $z=t$에서 원 $C$ 위의 두 점 $\rm P,Q$에서의 접선을 각각 $m _ {1}$, $m _ {2}$라 하면, 두 직선 $m _ {1}$, $m _ {2}$는 한 점 $\rm R$에서 만난다. 이때, $t$가 $- \frac {1} {2}$에서 $\frac {1} {2}$까지 변할 때, 삼각형 $\rm PQR$가 만드는 입체도형의 부피를 구하시오. (20점)

 

【문항 2】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 함수 $f ( x)$, $g ( x)$가 미분가능하고 $f ' ( x)$, $g ' ( x)$가 연속일 때, $$\int _ {a} ^ {b} {\left . f ( x)g ' ( x)dx= \left [ f ( x)g ( x) \right . \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {f ' ( x)g ( x)dx} }$$ (나) 구간 $[a,~b]$에서 연속인 함수 $f ( x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x=g ( t)$의 도함수 $g ' ( t)$가 구간 $[ \alpha , ~\beta ]$에서 연속이고, $a=g ( \alpha )$, ~$b=g ( \beta )$이면 $$\int _ {a} ^ {b} {f ( x)} dx= \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)} dt$$

 

자연수 $a$, $b$에 대하여 포물선 $y=x ^ {2}$과 직선 $y=ax+b$로 둘러싸인 영역을 $D ( a,b)$라 하자. (단, 경계선은 포함한다.) 영역 $D ( a,b)$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $L ( a,b)$라 하자.

예를 들면 $D ( 1,2)$는 아래와 같은 영역이며

영역 $D ( 1,2)$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $( -1,1)$, $( 0,0)$, $( 0,1)$, $( 0,2)$, $( 1,1)$, $( 1,2)$, $( 1,3)$, $( 2,4)$이므로 $L ( 1,2)=8$이다.

[2-1] 자연수 $n$과 실수 $\alpha$, $\beta$에 대하여 제시문을 이용하여 $\int _ {\alpha } ^ {\beta } { ( x- \alpha ) ( x- \beta ) ^ {n} dx}$를 구하시오. (10점)

[2-2] 이차방정식 $x ^ {2} -ax-b=0$의 두 근의 차를 $c$라 하자. 예를 들면 $x ^ {2} -x-2=0$의 두 근이 $-1$, $2$이므로 $c=2- ( -1)=3$이다. 영역 $D ( a,b)$의 넓이가 유리수일 때, $L ( a,b)$를 $c$에 관한 식으로 나타내시오. (25점)

 

【문항 3】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개 있을 때, $n$개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 $\frac {n!} {p!q! \cdots r!}$(단, $p+q+ \cdots +r=n$) (나) 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$의 조건부확률은 $\rm P ( \it B ~| ~A)= \frac {\rm P ( \it A \cap B)} {\rm P ( \it A)}$ (단, $\rm P ( \it A)>0$)

 

그림과 같이 인접한 두 지점 사이의 거리가 $1$인 정삼각형 모양의 도로망이 있다. 이 도로망을 따라서 이동하려고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] $\rm A$지점에서 출발하여 $\rm C$지점으로 이동하려고 할 때, 이동거리가 $5$인 경로는 몇 가지인지 구하시오.  (10점)

[3-2] 주머니 안에 $1,2,3$의 숫자가 각각 하나씩 적혀 있는 세 장의 카드가 있다. 다음과 같은 방법으로도로망을 따라서 $1$만큼 이동하는 것을 시행이라고 하자.

[단계 1] 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 뽑았을 때 $1$이 적힌 카드이면 $\swarrow$방향으로, $2$가 적힌 카드이면 ↘방향으로, $3$이 적힌 카드이면 $\rightarrow$방향으로 도로망을 따라서 $1$만큼 이동한다. 만약 $3$이 적힌 카드를 뽑아서 이동을 할 수 없을 때에는 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아서 $1$이 적힌 카드를 뽑으면 $\swarrow$방향으로, $2$가 적힌 카드를 뽑으면 ↘방향으로 도로망을 따라서 $1$만큼 이동한다. [단계 2] $1$만큼 이동을 하고 나면 모든 카드를 주머니에 다시 넣는다.

이와 같은 시행을 반복하여 $\rm A$지점에서 출발하여 $\rm B$지점으로 이동하였다고 할 때, $\rm A$지점에서 $\rm B$지점까지 이동한 거리를 확률변수 $X$라 하자. 이때, $\frac {\rm P ( \it X=3)} {\rm P ( \it X=4)}$의 값을 구하시오. (20점)  (단, 시행은 최대 $5$번까지 할 수 있다.)

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