[경희대 수리논술] 2019학년도 경희대 수리논술(일)

https://tv.kakao.com/v/402486135

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

 

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[가]

(1) 좌표평면 위의 한 점 $\mathrm {A} (x_1 ,~y_1 ) $을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $$y-y_1 =m(x-x_1 )$$이다.

(2) 중심이 $(a,~b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 $$(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2$$이다.

[나] $x$의 값이 $a$보다 크면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)$의 값이 일정한 값 $a$에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $$\lim\limits_{n \rightarrow a+} f(x)=L$$ 과 같이 나타내고, $L$을 $x=a$에서의 함수 $f(x)$의 우극한이라고 한다.

또, $x$의 값이 $a$보다 작으면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)$의 값이 일정한 값 $M$에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $$\lim\limits_{n \rightarrow a-} f(x)=M$$ 과 같이 나타내고, $M$을 $x=a$에서의 함수 $f(x)$의 좌극한이라고 한다.

[다]
함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여
(1) $f'(x)>0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다.
(2) $f'(x)<0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

[라]
미분가능한 두 함수 $y=f(u),~u=g(x)$에 대하여 합성함수 $y=f(g(x))$를 미분하면
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$ 또는 $$\left \{ f(g(x))\right\}'=f'(g(x))g'(x)$$이다.

[마]
함수 $y=x^n$ ($n$은 실수)의 부정적분
(1) $n \ne -1$일 때, $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^n+1 +C$$
(2) $n=-1$일 때, $$ \int x^n dx = \ln |x| +C$$(단, $C$는 상수)

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[논제 I] 제시문 [가]∼[마]를 읽고 다음 질문에 답하시오. 
$0<p \leq 1$일 때, 점 $\left ( p,~\frac{1}{p} \right)$은 곡선 $y=\frac{1}{x}$ ($x>0$ 위의 점이다. 이때, 점 $A$에서 $y=\frac{1}{x}$과 접하는 원 중에서 $x$축에도 접하는 원의 중심을 $\mathrm{C} (a,~b)$라 하자. $0<a<p$일 때, 다음
물음에 답하시오.

[논제 I-1]
$p=1$일 때, 직선 $x=1$에 의하여 나누어지는 원의 두 부분 중에서 작은 부분의 넓이를
구하고, 그 근거를 논술하시오. ($10$점)

[논제 I-2]
$a$와 $b$를 $p$에 관한 함수 $a=f(p)$와 $b=g(p)$로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. ($15$점)

[논제 I-3]
함수 $h(p)=f(p)g(p)$라 할 때,
(1) $h(p)$가 $0<p<1$에서 증가하는지 감소하는지를 조사하고, 그 근거를 논술하시오. ($15$점)

(2) $p=0$에서의 $h(p)$의 우극한이 존재하면 그 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.  만일, 우극한이 존재하지 않는다면, 그 근거를 논술하시오. ($5$점)

[논제 I-4]
직선 $x=a$, 곡선 $y=\frac{1}{x}$과 선분 $\mathrm{AC}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $p$에 관한 함수 $S(p)$라 하자. $p=0$에서의 $S(p)$의 우극한을 구하고, 그 근거를 논술하시오. ($15$점)