[더플러스수학] 2013학년도 서울시립대 수리논술 (A)

2013학년도 수시모집 일반전형 논술고사 문제지 (자연계열A) 2012. 11. 20(화) 13:30 ~ 15:30

※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 중요한 요소임.

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[문제 1]

그림과 같이 좌표평면에 움직이는 점 A가 있다. 시각 $\displaystyle t  \, \left( 0 < t < \frac {\pi } {4} \right)$에서 점 A의 좌표는 $\displaystyle ( 2\sin t,~0) $이다. 제 2사분면 위의 점 B는 직선 $\displaystyle y=-x $위에 있고, $\displaystyle \overline {\mathrm{AB}} = \sqrt {2} $이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} $를 $\displaystyle r\, : \, 1-r $로 내분하는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 다음 물음에 답하여라.

(a) 시각 $\displaystyle t $에서 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 구하여라.

(b) 시각 $\displaystyle t $에서 점 $\mathrm{C}$의 속력을 구하여라.

(c) 시각 $\displaystyle t $에서 점 $\mathrm{C}$의 속력이 최소가 되는 $\displaystyle r $를 구하여라.

(d) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이가 최대가 되는 시각 $\displaystyle t $를 구하여라.

 

 

 

[문제 2]

그림과 같이 좌표평면 위에 한 변의 길이가 2인 정육각형이 놓여 있다. 점 C는 정육각형의 외접원의 중심이다. 이 정육각형을 점 B을 중심으로 시계방향으로 회전시킬 때, 변 AB와 $\displaystyle x $축이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta $라고 하자. 다음 물음에 답하여라.

(a) $\displaystyle \theta $가 $\displaystyle 0 $에서 $\displaystyle \frac {\pi } {3} $까지 변할 때, 점 C가 이루는 곡선 $\displaystyle C _ {1} $을 매개변수 $\displaystyle \theta $를 이용하여 나타내어라.

(b) $\displaystyle \theta $가 $\displaystyle 0 $에서 $\displaystyle \frac {\pi } {3} $까지 변할 때, 점 C의 $\displaystyle x $좌표를 $\displaystyle x _ {1} $이라고 하고, 정육각형과 직선 $\displaystyle y=k $가 만나게 되는 $\displaystyle k $의 값 중에서 최댓값을 $\displaystyle y _ {1} $이라 할 때, 점 $\displaystyle ( x _ {1} ,~y _ {1} ) $이 이루는 곡선 $\displaystyle C _ {2} $를 매개변수 $\displaystyle \theta $를 이용하여 나타내어라.

(c) 위에서 구한 두 곡선 $\displaystyle C _ {1} $, $\displaystyle C _ {2} $와 두 직선 $\displaystyle x=0 $, $\displaystyle x=2 $로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

 

[문제 3]

어떤 농구 선수가 자유투를 성공할 확률은 $\displaystyle \frac {2} {3} $라고 한다. 이 농구 선수가 $\displaystyle n $번의 자유투를 던질 때, 사건 $\displaystyle A,~B,~C $를 다음과 같이 정의한다.      

      $\displaystyle A $ : $\displaystyle n $번 중 한 번도 연달아 성공하지 않는 사건

      $\displaystyle B $ : $\displaystyle n $번 중 한 번도 연달아 실패하지 않는 사건

      $\displaystyle C $ : $\displaystyle n $번 중 $\displaystyle k $번 성공한 사건

다음 물음에 답하여라. (단, 자유투는 독립시행이다.)

(a) 사건 $\displaystyle A $가 일어날 확률을 $\displaystyle p _ {n} $이라 하자. 이 때, $\displaystyle p _ {n} $에 관한 점화식을 구하고, 다음 식이 그 점화식을 만족시킴을 보여라.

$$\displaystyle p _ {n} = \left ( - \frac {1} {3} \right ) ^ {n+1} +2 \left ( \frac {2} {3} \right ) ^ {n+1} ~( n=1,~2,~ \cdots )$$

(b) 조건부 확률 $\displaystyle \mathrm{ P} ( B | A) $를 구하여라.

(c) 사건 $\displaystyle A \cap B $가 일어나는 경우의 수를 구하여라.

(d) 확률 $\displaystyle \mathrm{P} ( A \cap C) $를 구하여라.