[연세대수리논술] 2008학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2008학년도 연세대 수리논술

다음 제시문은 적분의 개념에 관한 것이다. (아래 문제에서 $x _ {k} =a+k \Delta x$이다.)

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적분의 기본 개념 및 원리는 17세기 뉴턴과 라이프니쯔에 의해 독립적으로 체계화되었고, 적분에 관한 엄밀한 수학적 정의는 코오시와 리이만이 극한의 개념을 도입함으로써 완성되었다. 적분의 기본 원리인 구분구적법은 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f ( x)$에 대해서 정적분을 다음과 같이 구분구적법의 형태로 정의할 수 있다.

$$\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx=} \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} f ( x _ {k} ) \Delta x ~( \Delta x= \frac {b-a} {n} )}$$

다음 (가)와 (나)는 적분의 기본 개념 및 원리를 바탕으로 유도한 결과이다.

(가) 함수 $f ( x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 다음 등식이 성립하는 $p _ {1} ,~p _ {2} ,~p _ {3}$ 와 $q _ {1} ,~q _ {2} ,~q _ {3} ,~q _ {4}$가 무한히 많이 존재한다.

㉠ $\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx=} \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( p _ {1} f ( x _ {2k} )+p _ {2} f ( x _ {2k-1} )+p _ {3} f ( x _ {2k-2} ) \right ) \Delta x}$ $\left ( \Delta x= \frac {b-a} {2n} \right )$

㉡ $\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx=} \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( q _ {1} f ( x _ {3k} )+q _ {2} f ( x _ {3k-1} )+q _ {3} f ( x _ {3k-2} ) +q_4 f(3k-3) \right ) \Delta x}$ $\left ( \Delta x= \frac {b-a} {2n} \right )$

 

(나)

오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속 함수 $y=f ( x)$와 직선 $y=mx+c$ ($m \neq 0$)가 주어질 때, 곡선 $y=f ( x)$와 세 직선 $$y=mx+c ,~ y=- \frac {1} {m} ( x-a)+f ( a),y=- \frac {1} {m} ( x-b)+f ( b)$$ 로 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 아래 그림과 같이 색칠된 부분의 사다리꼴 도형의 넓이의 합을 $S _ {n}$이라 할 때, 다음 등식이 성립한다.

㉢ $$S _ {n} = \frac {1} {1+m ^ {2} } \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( \frac {f ( x _ {k} )+f ( x _ {k-1} )} {2} -m \frac {x _ {k} +x _ {k-1} } {2} -c \right ) \left ( 1+m \frac {f ( x _ {k} )-f ( x _ {k-1} )} {\Delta x} \right ) \Delta x$$

따라서 적분의 개념으로부터 다음과 같은 간단한 공식을 얻게 된다.

$$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {S _ {n} = \frac {1} {1+m ^ {2} } \int _ {a} ^ {b} {\left ( f ( x)-mx-c \right ) \left ( 1+mf ' ( x) \right ) dx} }$$

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(1-1) 등식 ㉠이 성립하기 위한 $p _ {1} ,p _ {2} ,p _ {3}$의 조건과 등식 ㉡이 성립하기 위한 $q _ {1} ,q _ {2} ,q _ {3} ,q _ {4}$의 조건을 구하고, 그 이유를 논리적으로 설명하시오. (12점)

 

(1-2)

(a) 모든 2차 다항함수 $f ( x)=Ax ^ {2} +Bx+C$에 대하여

$\int _ {-1} ^ {1} {f ( x)dx=p _ {1} f ( -1)+p _ {2} f ( 0)+p _ {3} f ( 1)}$ 이 성립되게 하는 $p _ {1} ,p _ {2} ,p _ {3}$를 구하시오. (3점)

(b) 앞에서 구한 $p _ {1} ,p _ {2} ,p _ {3}$는 모든 2차 다항함수 $f ( x)$에 대하여

$\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx= \sum\limits _ {k=1} ^ {10} \left ( p _ {1} f ( x _ {2k} )+p _ {2} f ( x _ {2k-1} )+p _ {3} f ( x _ {2k-2} ) \right ) \Delta x ( \Delta x= \frac {b-a} {20} )}$

이 성립됨을 논리적으로 설명하시오. (10점)

 

(1-3) 등식 ㉢이 성립함을 증명하시오. (15점)

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

(1) ㉠ $p _ {1} +p _ {2} +p _ {3} =2$ ㉡$p _ {1} +p _ {2} +p _ {3} +p _ {4} =3$

(2) (a) $p _ {1} =p _ {3} = \frac {1} {3} ,~p _ {2} = \frac {4} {3}$ (b) 생략

(c) 생략