[더플러스수학] 함수와 그 역함수의 교점은 직선 $y=x$ 위에 있다(?) [오개념]

함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1} (x)$가 만난다면 그 교점은 $y=x$ 위에 있다. 이 문제에 대하여 잘 정리된 블로그가 있어서 링크합니다. 참조하세요

http://godingmath.com/invfunc2

역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점

 

여기서는 다음 명제를 증명해 보자. 여러분도 한 번 증명해 보세요.

명제. 함수 $y=f(x)$가 증가함수이면 함수 $f(x)$와 그 역함수 $g(x)$의 모든 교점은 직선 $y=x$ 위에 존재한다.

 

정답 및 풀이를 보려면 아래의 더보기를 클릭하세요.

(증명) 두 함수의 교점을 $(a,~b)$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$b=f(a),~b=g(a)$$

역함수의 정의에 의해 $b=g(a)$는 $a=f(b)$이다. 즉

$$b=f(a),~a=f(b)$$

여기서 $a=b$임을 귀류법으로 증명하자. 다음 두 가지 경우를 가정하면 모순임을 보이자.

(i) $a>b$일 때, 함수 $f(x)$가 증가함수이므로

$$f(a)>f(b) ~\Rightarrow~b>a$$

이것은 $a>b$라는 가정에 모순이다.

(ii) $a<b$일 때도 위와 같은 방법으로 하면 모순이 된다.

따라서 $a=b$이다.

 

위의 명제를 이용하여 다음을 풀어보자. 정답률 보고 겁먹지 말기를......

 

2019학년도 나형 6월 모의고사 29번

정답률 11%

함수

$$ f ( x)= { \begin {cases} ax+b ~~~~~ &( x<1)\\cx ^ {2} + \frac {5} {2} x~~~ &( x \geq 1)\end {cases} } $$

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 $ y=f ( x) $의 그래프와 역함수 $ y=f ^ {-1} ( x) $의 그래프의 교점의 개수가 $ 3 $이고, 그 교점의 $ x $좌표가 각각 $ -1,~1,~2 $일 때, $ 2a+4b-10c $의 값을 구하시오. (단, $ a,~b,~c $는 상수이다.) [4점]

https://tv.naver.com/v/10286041

[평가원 기출] 2019학년도 나형 평가원 6월 29번 [더플러스수학]

 

정답 및 풀이를 보려면 아래의 더보기를 클릭하세요.

 

정답 20

풀이

연속인 함수 $ f ( x) $의 역함수 $ f ^ {-1} ( x) $가 존재하므로 $ f ( x) $는 증가함수이거나 감소함수이다.

(ⅰ) $ f ( x) $가 증가함수일 때

$ f ( x) $가 증가함수이므로 위에서 증명된 명제에 의해 두 곡선 $ y=f ( x) $와 $ y=f ^ {-1} ( x) $의 교점은 $ y=x $ 위에만 존재한다.

따라서 $ f ( -1)=   -1,~f ( 1)=1,~f ( 2)=2 $이 성립한다.

주어진 조건에 대입하면 $ f ( 1)=c+ \frac {5} {2} =1 $에서 $ c=  - \frac {3} {2} $이고 $ f ( 2)=4c+5=2 $에서 $ c=   - \frac {3} {4} $이므로 모순이다.

(ⅱ) $ f ( x) $가 감소함수일 때

$ f ( x) $가 감소함수이므로 곡선 $ y=f ( x) $는 $ y=x $와 한 점에서 만나고, $ y=f ^ {-1} ( x) $와 두 점에서 만난다.

두 곡선 $ y=f ( x) $와 $ y=f ^ {-1} ( x) $의 두 교점은 $ y=x $에 대하여 대칭이므로

$ y=f ( x) $는 $ y=x $와 $ x=1 $에서 만나고, $ y=f ^ {-1} ( x) $와 $ x= \ -1,~2 $에서 만난다.

따라서 세 교점의 좌표는 $ ( -1,~2),~ ( 1,~1),~ ( 2,~-1) $가 된다.

이를 주어진 조건에 대입하면

$$ f ( -1)=   -a+b=2,~f ( 1)=a+b=c+ \frac {5} {2} =1,~f ( 2)=4c+5=   -1 $$

이다.

위의 연립방정식을 풀면

$$ a=   - \frac {1} {2} ,~b= \frac {3} {2} ,~c=   - \frac {3} {2} $$을 얻을 수 있다.

$$ \therefore ~2a+4b-10c=  -1+6+15=20 $$