[옥동수학학원][근과 계수와의 관계 응용 1] 이차함수와 직선의 교점 구한다. [더플러스수학]

정사영, \(x\)축에 내린 수선의 발과 근

수리논술이나 서술형 문제에서는 이차함수과 직선의 교점의 \(x\)좌표고 이차방정식의 근임을 이용하여 근과 계수의 관계, 판별식 등을 이용하는 문제가 자주 나온다. 이차함수와 직선의 교점을 \(x\)에 내린 수선의 발의 \(x\)좌표가 근이다. 그리고 이것을 교점을 \(x\)축 위로 정사영한다고 말한다. 이와 관련된 한양대 모의논술 문제를 고찰해보자.

이차함수 $\displaystyle y=ax^2 +bx+c$와 직선 $\displaystyle  y=mx+n$에서 $\displaystyle  y$를 소거한 방정식 $$\displaystyle  ax^2 +bx+c=mx+n$$의 근을 구하는 것은 "두 함수의 교점의 $\displaystyle  x$좌표를 구하는 것"이다. 

그럼 아래의 한양대 모의 논술문제 (가), (나)에서 "기주가  봉착하게 되는 모순이 어떤 오류"때문인가? 

이것에 대한 호기심에서 이 글을 쓰게 된 계기이다.

정사영의 자취방정식을 구하는 것

결론은 "이차방정식의 해를 구한다는 말의 의미가 두 함수의 교점을 $\displaystyle  x$축에 정사영시킨 점의 자취를 구한다"는 것이다. 공통부분을 $\displaystyle  x$-축에 정사영한 도형의 방정식이다.

즉, 교점을 $\displaystyle  x$축에 수선의 발을 내린 점의 자취방정식이다.

 

우선 아래의 문제를 풀면서 시작하자.

 

2012학년도 한양대 수시2 

<논술 2> 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 기주는 학교에서 미술시간에 찰흙으로 둥근 공을 만든 후, 칼로 평평하게 잘라보았더니 단면의 테두리 모양이 항상 원이 됨을 관찰하였다.

(나) 기주는 학교에서 수학시간에 반지름이 1이고 중심이 원점인 구의 방정식은 $\displaystyle   x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =1 $로 주어진다는 것을 공부하였다. 이 구와 평면 $\displaystyle   y=z $가 만나는 공통 부분을 구하기 위하여, 두 방정식을 연립하여 구하여 보았더니, $\displaystyle  x ^ {2} +2y ^ {2} =1 $이라는 타원의 방정식을 얻게 되어 구를 평면으로 자른 단면의 테두리 모양이 타원이 나올 수도 있을까라는 의문을 가지게 되었다.

(다) 평면 $\displaystyle   \alpha $ 밖의 한 점 $\displaystyle   \mathrm P $에서 평면 $\displaystyle   \alpha $에 내린 수선의 발 $\displaystyle   \mathrm P'$을 점$\displaystyle   \mathrm P $의 평면 $\displaystyle   \alpha $ 위로의 정사영이라고 한다. 또, 도형 $\displaystyle   F $의 각 점에서 평면 $\displaystyle   \alpha $에 내린 수선의 발들로 이루어진 도형 $\displaystyle   F' $을 도형 $\displaystyle   F $의 평면 $\displaystyle   \alpha $ 위로의 정사영이라고 한다. 두 도형 $\displaystyle   \alpha,~\beta $가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle  \theta $일 때, 평면 $\displaystyle   \alpha $ 위에 있고 넓이가 $\displaystyle S $인 도형의 평면 $\displaystyle   \beta $ 위로의 정사영의 넓이 $\displaystyle   S' $은 $\displaystyle   S ' =S\cos \theta $로 주어진다.

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(1) 제시문 (가)와 (나)에서 기주가 봉착하게 되는 모순이 어떤 오류에서 비롯된 것인지 논하시오.

 

(2) 부등식 $\displaystyle  x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} \leq 1 $로 주어지는 속이 꽉 찬 공을 생각하자. 또한 세 점 $\displaystyle   ( 1,~0,~0),~ ( 0,~1,~0), ~( 0,~0,~1) $을 지나는 평면을 생각하자. 제시문 (다)를 참고하여, 이 평면과 공의 공통부분을 $\displaystyle   xy $-평면에 정사영했을 때 얻게 되는 도형에 관해 논하고, 이 도형의 넓이를 구하시오.

 

 

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<문제 2>의 출제 의도

원, 타원, 쌍곡선 등 이차곡선과 공간도형의 위치관계를 잘 파악하고 있는지 평가하고자 한다. 수식으로부터 주어진 식이 의미하는 공간도형을 잘 이해하고 서술할 수 있는지의 능력을 측정하고자 하며, 공간도형의 정사영의 개념을 잘 숙지하고 있는지를 평가하고자 한다.

 

(2) <문제 2>의 평가내용:

① 공간도형의 위치관계에 관한 이해여부 평가

② 수식으로 주어지는 공간도형과 수식간의 상호 관계 이해여부 평가

③ 공간도형의 정사영의 개념에 관한 이해여부 평가

 

<문제 2>의 예시답안

1) 기주가 얻은 식은 구와 평면의 공통부분에 놓인 점의 $\displaystyle    x $좌표와 $\displaystyle    y $좌표가 만족하는 식이므로 공통부분을 $\displaystyle    xy $-평면에 정사영한 도형이 만족하는 식이 된다.

2) 세 점 $\displaystyle   ( 1,~0,~0), ~( 0,~1,~0), ~( 0,~0,~1) $을 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle   x+y+z=1 $로 주어진다. 이 평면과 $\displaystyle   xy $-평면이 이루는 각을 $\displaystyle   \theta $라 놓으면, $\displaystyle  \cos \theta $의 값은 $\displaystyle   \frac {1} {\sqrt {3} } $이 된다.

한편 평면 $\displaystyle   x+y+z=1 $과 공의 공통부분은 중심이 $\displaystyle   ( \frac {1} {3} , ~\frac {1} {3} ,~ \frac {1} {3} ) $이고 반지름이 $\displaystyle   \frac {\sqrt {6} } {3} $인 원의 테두리와 내부영역이 된다.

따라서 이 영역을 $\displaystyle   xy $-평면에 정사영시킨 부분은 타원이 되며, 이 타원의 면적은 원의 넓이와 $\displaystyle   \cos \theta $의 곱이 되므로 $\displaystyle   \frac {2 \sqrt {3} } {9} \pi $가 된다.

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