[옥동수학학원] 미적분 기초-열린구간, 닫힌구간 [더플러스수학학원]

울산과고 학생들을 대상으로 과고수업을 하다보면 열린구간, 닫힌구간의 용어가 나온다. 구간의 정의에 대해서는 아래와 같이 나오지만 이것을 정확하게 이해하는 것이 미적분학을 공부하기 위한 기초이다. 이를 위해 울산 옥동의 더플러스수학학원에서는 구간에 대한 정확한 정의와 이후 서울대 수리논술 문제에서 나온 예를 통해 미적분에서 나오는 정리나 정의에서 나오는 구간에 대해 이해하는 계기가 되기를 바란다.  

구간의 정의

두 실수 $a,~b~(a<b)$에 대하여 다음 실수의 집합

$$\begin{align} &\left\{ ~x~ \left|~a <x<b~ \right. \right\},~\left\{~x~\left|~a \leq x \leq b ~\right.\right\} \\& \left\{ ~x~ \left|~a <x \leq b~ \right.\right\},~\left\{~x~\left|~a \leq x < b ~\right.\right\} \end{align}$$

를 각각 구간(interval)이라 하고, 각각 기호로

$$ (a,~b),~[a,~b],~(a,~b],~[a,~b)$$

라고 나타낸다.

 

구간의 수직선에서의 표시

이 때,

$(a,~b)$를 열린 구간(open interval) 또는 개구간, 

$([a,~b]$를 닫힌 구간(closed interval) 또는 폐구간, 

$(a,~b],~[a,~b)$를 반열린 구간(half-open interval),

반개구간 또는 반닫힌구간(half-close interval), 반폐구간

이라 한다. 또, 실수의 집합 $$\begin{align} &\left\{ ~x~ \left|~a <x~ \right. \right\},~\left\{~x~\left|~a \leq x  ~\right.\right\} \\& \left\{ ~x~ \left|~x <a ~ \right.\right\},~\left\{~x~\left|~x \leq a ~\right.\right\} \end{align}$$

도 각각 구간이라 하고 각각 기호로

$$(a,~\infty),~[a,~\infty),~(-\infty,~a),~(-\infty,~a]$$

라고 나타낸다.

특기, 실수 전체의 집합도 하나의 구간으로 보고 기호로 $$(-\infty,~\infty)$$로 나타낸다.

위의 정의가 고등학교 교과서에 나오는 정의이다. 그러면 의문이 든다. 다음은 구간일까? 아닐까?

$$(2,~3) \cup (4,~5)$$

$$[2,~3)\cup (3,~5]$$

$$ (2,~5) \cup (3,~7)$$

정답 : 첫번째, 두번째는 구간이 아니다. 세번째는 구간이다. $(2,~7]$

왜 그럴까? 구간에 대한 엄밀한 정의를 보면 당연히 구간이라 느낄 수 있다.

 

구간의 정의

Definition. 구간[Interval]

구간은 실수전체의 집합 중에서 그 집합에 속하는 임의의 두 원소 사이의 원소가 그 집합에 포함되는 집합을 구간 이라 하고 양 끝값이 포함되느냐에 따라 열린구간, 닫힌구간, 반열린구간, 반닫힌구간이 있다.

그리고 그 표현방법은 위의 것과 같다.

"A subset $\mathrm{I}$ on $\mathbb {R}$ is an $\bf {interval}$ if whether $x,~y \in \mathrm{I}$ with $x<y$, then every $\textcolor{red}{\bf{t}}$ satisfying $x<t<y$ is in $\mathrm{I}$"

$$(2,~3) \cup (4,~5)$$

이 집합은 구간이 아니다. 위이 밑줄친 부분의 부정으로-반례로 $\mathrm{I}$에 속하지 않는 한 실수를 잡으면 구간이 아님을 보일 수 있다. 즉

$2.5 \in \mathrm{I},~4.5 \in \mathrm{I}$를 잡으면 $2.5<3.5<4.5$를 만족하는 $3.5$는 집합 $\mathrm {I}$에 속하지 않는다. 따라서 이 집합은 위의 구간의 정의를 만족하지 않는다.

$$[2,~3)\cup (3,~5)$$

이것 역시 $3$을 잡으면 구간이 아님을 보일 수 있다.

$$ (2,~5) \cup (3,~7)$$

이것은 반열린구간 $(2,~7]$이다.

열린 구간의 합집합은 열린구간일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 열린구간에서 성립하는 명제가 열린구간의 합집합에서 성립하지 않을 수도 있다. 그 예가 

2019/08/22 - [수리논술과 심층면접] - [더플러스수학] 2008학년도 서울대 수리논술 (정시)

"열린구간에서 미분가능하고 도함수가 $0$, 즉 $f'(x)=0$이면 그 구간에서 상수함수"인데 "열린구간의 합집합"에서 $f'(x)=0$이지만 상수함수가 아닌 예를 주고 그 의미를 파악하라는 문제가 나왔다.

위의 예를 통해 구간의 정의를 정확히 하고 어떤 명제가 어떤 조건에서 성립하는지 분명히 하는 습관이 필요하다.

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