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2020학년도 경북대 모의 AAT (의학계열)수리논술과 심층면접/2020학년도 부산대 경북대 수리논술수업 2019. 11. 5. 20:51
https://tv.kakao.com/v/403948173
【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.
(가) 두 함수 f(x), g(x)f(x), g(x)가 닫힌 구간에서 연속일 때,
(1) ∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx (단, kk는 상수)
(2) ∫ba{f(x)±g(x)}dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx∫ba{f(x)±g(x)}dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
(3) ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
(4) 실수 cc가 닫힌 구간 [a, b][a, b]에 포함될 때,
∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫baf(x)dx∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫baf(x)dx
(나)
(1) 1+2+3+⋯+n=n∑k=1k=n(n+1)21+2+3+⋯+n=n∑k=1k=n(n+1)2
(2) 12+22+32+⋯+n2=n∑k=1k2=n(n+1)(2n+1)612+22+32+⋯+n2=n∑k=1k2=n(n+1)(2n+1)6
(다) 닫힌 구간 [a, b][a, b]에서 연속인 함수 f(x)f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)x=g(t)의 도함수 g′(t)g′(t)가 닫힌 구간 [α, β][α, β]에서 연속이고 a=g(α), b=g(β)a=g(α), b=g(β)이면
∫baf(x)dx=∫βαf(g(t))g′(t)dt∫baf(x)dx=∫βαf(g(t))g′(t)dt
(라) 함수 f(x)f(x)가 닫힌 구간 [a, b][a, b]에서 연속일 때,
limn→∞n∑k=1f(xk)Δx=∫baf(x)dxlimn→∞n∑k=1f(xk)Δx=∫baf(x)dx
이다. (단, Δx=b−anΔx=b−an, xk=a+kΔxxk=a+kΔx)
※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.
함수 f(x)=|πsin(πx)|f(x)=|πsin(πx)|에 대하여 다음 물음에 답하시오.
【1-1】 함수 f(x)f(x)는 모든 실수 xx에 대하여
f(x)=f(x+k)f(x)=f(x+k)
임을 증명하시오. (20점)
【1-2】 9∑j=0∫2j+102xf(x)dx9∑j=0∫2j+102xf(x)dx의 값을 구하시오. (30점)
【1-3】음이 아닌 모든 정수 kk에 대하여
∫(k+1)2k22xf(x)dx=a+bk+ck2+dk3∫(k+1)2k22xf(x)dx=a+bk+ck2+dk3
을 만족시키는 상수 a, b, c, da, b, c, d의 값을 각각 구하시오. (30점)
【1-4】일반항이 an=1n4∫n202xf(x)dxan=1n4∫n202xf(x)dx인 수열 {an}{an}의 극한값을 구하시오. (40점)
【2】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.
(가) 반지름의 길이가 rr이고 중심이 (a, b)(a, b)인 원의 방정식은
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2
이다.
(나)
(1) 부등식 x2+y2<r2x2+y2<r2의 영역은 원 x2+y2=r2x2+y2=r2의 내부이다.
(2) 부등식 x2+y2>r2의 영역은 원 x2+y2=r2의 외부이다.
(다) 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)로 주어질 때, t=a에서 t=b까지의 점 P의 이동거리 s는
s=∫ba√(dxdt)2+(dydt)2dt
이다.
※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.
좌표평면에서 중심이 원점 O이고 반지름의 길이가 4인 원을 C라 하자. 두 점 Q1(2, 0), Q2(8, 0)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
【2-1】다음 조건을 만족시키는 점 A가 나타내는 부분을 영역 F1이라 하자.
조건
중심이 A인 원이 점 Q1을 내부에 포함하고 원 C의 내부에 있다.
영역 F1의 경계선 위에 있는 점 x 좌표와 y좌표가 모두 정수인 점을 모두 구하시오. (50점)
【2-2】다음 조건을 만족시키는 점 B가 나타내는 부분을 영역 F2이라 하자.
조건
중심이 B인 원이 점 Q2을 내부에 포함하고 원 C의 외부에 있다.
원점을 지나면서 기울기가 0이상이고 √33이하인 임의의 직선이 영역 F2의 경계선과 만나는 점을 P2라 하자. 선분 ¯OP2와 문제【2-1】에서 정의한 영역 F1의 경계선이 만나는 점을 P1이라 할 때,
¯Q1P1 : ¯Q2P2=¯P1P : ¯PP2
를 만족하는 선분 ¯P1P2 위의 점 P가 그리는 곡선의 길이를 구하시오. (60점)
【3】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.
(가) 함수 f(x)의 도함수 f′(x)가 미분가능할 때 f′(x)의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
ddxf′(x)=limΔx→0f′(x+Δx)−f′(x)Δx
이를 함수 f(x)의 이계도함수라 하고 이것을 기호 f″(x)와 같이 나타낸다.
(나) 최고차항의 계수가 1인 이차다항식 p(x)의 근이 α, β일 때,
p(x)=(x−α)(x−β)
이다.
(다) 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면
f′(c)=0
인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
(라) 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다.
※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 f(x), h(x)와 세 실수 a, b, c (a<b<c)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
【3-1】(1) 세 점 (a, f(a)), (b, 0), (c, 0)은 이차함수 y=q1(x)의 그래프 위의 점일 때,
q1(x)=f(a)(x−b)(x−c)(a+1b)(2a+3c)
이다. 1, 2, 3에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)
(2) 세 점 (a, 0), (b, f(b)), (c, 0)은 이차함수 y=q2(x)의 그래프 위의 점일 때,
q2(x)=f(b)(x−c)(x−a)(a+4b)(5b+6c)
이다. 4, 5, 6에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)
【3-2】함수 h(x)가 h(a)=h(b)=h(c)를 만족시킬 때,
h″(d)=0
인 실수 d가 열린구간 (a, c)에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (40점)
【3-3】등식
(f(c)−f(b)c−b)−(f(b)−f(a)b−a)c−a=f″(d)2
를 만족시키는 실수 d가 열린구간 (a, c)에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (50점)
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