2020학년도 경북대 모의 AAT (의학계열)

https://tv.kakao.com/v/403948173

【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 두 함수 $ f ( x),~g ( x) $가 닫힌 구간에서 연속일 때,

(1) $ \int _ {a} ^ {b} {kf ( x)dx} =k \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} $ (단, $ k $는 상수)

(2) $ \int _ {a} ^ {b} {\left\{ f ( x)\pm g ( x) \right\} dx} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} \pm \int _ {a} ^ {b} {g ( x)dx} $

(3) $ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} =- \int _ {b} ^ {a} {f ( x)dx} $

(4) 실수 $ c $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에 포함될 때,

$$ \int _ {a} ^ {c} {f ( x)dx} + \int _ {c} ^ {b} {f ( x)dx} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} $$

 

(나)

(1) $ 1+2+3+ \cdots +n= \sum\limits _ {k=1} ^ {n} k= \frac {n ( n+1)} {2} $

(2) $ 1 ^ {2} +2 ^ {2} +3 ^ {2} + \cdots +n ^ {2} = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} k ^ {2} = \frac {n ( n+1) ( 2n+1)} {6} $

 

(다) 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속인 함수 $ f ( x) $에 대하여 미분가능한 함수 $ x=g ( t) $의 도함수 $ g ' ( t) $가 닫힌 구간 $ [ \alpha ,~ \beta ] $에서 연속이고 $ a=g ( \alpha ),~b=g ( \beta ) $이면

$$ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} = \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)dt} $$

 

(라) 함수 $ f ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속일 때,

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} f ( x _ {k} ) \Delta x} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} $$

이다. (단, $ \Delta x= \frac {b-a} {n} $, $ x _ {k} =a+k \Delta x $)

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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함수 $ f ( x)= \left | \pi \sin ( \pi x) \right | $에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【1-1】 함수 $ f ( x) $는 모든 실수 $ x $에 대하여

$$ f ( x)=f ( x+k) $$

임을 증명하시오. (20점)

 

 

【1-2】 $ \sum\limits _ {j=0} ^ {9} \int _ {0} ^ {2j+1} {2xf ( x)dx} $의 값을 구하시오. (30점)

 

 

【1-3】음이 아닌 모든 정수 $ k $에 대하여

$$ \int _ {k ^ {2} } ^ {\left ( k+1 \right ) ^ {2} } {2xf ( x)dx} =a+bk+ck ^ {2} +dk ^ {3} $$

을 만족시키는 상수 $ a,~b,~c,~d $의 값을 각각 구하시오. (30점)

 

 

【1-4】일반항이 $$ a _ {n} = \frac {1} {n ^ {4} } \int _ {0} ^ {n ^ {2} } {2xf ( x)dx} $$인 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $의 극한값을 구하시오. (40점)

 

 

 

【2】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 반지름의 길이가 $ r $이고 중심이 $ \left ( a,~b \right ) $인 원의 방정식은

$$ \left ( x-a \right ) ^ {2} + \left ( y-b \right ) ^ {2} =r ^ {2} $$

이다.

 

(나)

(1) 부등식 $ x ^ {2} +y ^ {2} <r ^ {2} $의 영역은 원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =r ^ {2} $의 내부이다.

(2) 부등식 $ x ^ {2} +y ^ {2} >r ^ {2} $의 영역은 원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =r ^ {2} $의 외부이다.

 

(다) 좌표평면 위를 움직이는 점 $ \mathrm P $의 시각 $ t $에서의 위치 $ \left ( x,~y \right ) $가 $ x=f ( t),~y=g ( t) $로 주어질 때, $ t=a $에서 $ t=b $까지의 점 $ \mathrm P $의 이동거리 $ s $는

$$ s= \int _ {a} ^ {b} {\sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {dy} {dt} \right ) ^ {2} } dt} $$

이다.

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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좌표평면에서 중심이 원점 $ \mathrm O $이고 반지름의 길이가 $ 4 $인 원을 $ C $라 하자. 두 점 $ \mathrm Q _ {1} \left ( 2,~0 \right ) $, $ \mathrm Q _ {2} \left ( 8,~0 \right ) $에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【2-1】다음 조건을 만족시키는 점 $ \mathrm A $가 나타내는 부분을 영역 $ F _ {1} $이라 하자.

조건

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중심이 $ \mathrm A $인 원이 점 $ \mathrm Q _ {1} $을 내부에 포함하고 원 $ C $의 내부에 있다.

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영역 $ F _ {1} $의 경계선 위에 있는 점 $ x $ 좌표와 $ y $좌표가 모두 정수인 점을 모두 구하시오. (50점)

 

 

【2-2】다음 조건을 만족시키는 점 $ \mathrm B $가 나타내는 부분을 영역 $ F _ {2} $이라 하자.

조건

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중심이 $ \mathrm B $인 원이 점 $ \mathrm Q _ {2} $을 내부에 포함하고 원 $ C $의 외부에 있다.

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원점을 지나면서 기울기가 $ 0 $이상이고 $ \frac {\sqrt {3} } {3} $이하인 임의의 직선이 영역 $ F _ {2} $의 경계선과 만나는 점을 $ \mathrm P _ {2} $라 하자. 선분 $ \overline {\mathrm{OP} _ {2} } $와 문제【2-1】에서 정의한 영역 $ F _ {1} $의 경계선이 만나는 점을 $ \rm P _ {1} $이라 할 때,

$$ \overline {\mathrm{Q _ {1} P _ {1}} } ~:~ \overline {\mathrm{Q _ {2} P _ {2}} } = \overline {\mathrm{P _ {1} P}} ~:~ \overline {\mathrm{PP _ {2} }} $$

를 만족하는 선분 $ \overline {\mathrm{P _ {1} P _ {2} }} $ 위의 점 $ \mathrm P $가 그리는 곡선의 길이를 구하시오. (60점)

 

 

 

【3】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

 

(가) 함수 $ f ( x) $의 도함수 $ f ' ( x) $가 미분가능할 때 $ f ' ( x) $의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ \frac {d} {dx} f ' ( x)= \lim\limits _ {\Delta x \rightarrow 0} { \frac {f ' ( x+ \Delta x)-f ' ( x)} {\Delta x} } $$

이를 함수 $ f ( x) $의 이계도함수라 하고 이것을 기호 $ f '' ( x) $와 같이 나타낸다.

 

(나) 최고차항의 계수가 $ 1 $인 이차다항식 $ p ( x) $의 근이 $ \alpha ,~ \beta $일 때,

$$ p ( x)= \left ( x- \alpha \right ) \left ( x- \beta \right ) $$

이다.

 

(다) 함수 $ f ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이고 열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에서 미분가능할 때, $ f ( a)=f ( b) $이면

$$ f ' ( c)=0 $$

인 $ c $가 열린구간 $ \left ( a,~b \right ) $에 적어도 하나 존재한다.

 

(라) 함수 $ f ( x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 함수 $ f ( x) $는 $ x=a $에서 연속이다.

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

 

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 $ f ( x) $, $ h ( x) $와 세 실수 $ a,~b,~c $ ($ a<b<c $)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【3-1】(1) 세 점 $ \left ( a,~f ( a) \right ) ,~ \left ( b,~0 \right ) ,~ \left ( c,~0 \right ) $은 이차함수 $ y=q _ {1} ( x) $의 그래프 위의 점일 때,

$$ q _ {1} ( x)= \frac {f ( a) ( x-b) ( x-c)} {\left ( a+ \boxed {1} b \right ) \left ( \boxed {2} a+ \boxed {3} c \right )} $$

이다. $\boxed{1}$, $\boxed{2}$, $\boxed{3}$에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

 

 

(2) 세 점 $ \left ( a,~0 \right ) ,~ \left ( b,~f ( b) \right ) ,~ \left ( c,~0 \right ) $은 이차함수 $ y=q _ {2} ( x) $의 그래프 위의 점일 때,

$$ q _ {2} ( x)= \frac {f ( b) ( x-c) ( x-a)} {\left ( a+ \boxed {4} b \right ) \left ( \boxed {5} b+ \boxed {6} c \right )} $$

이다. $\boxed{4}$, $\boxed{5}$, $\boxed{6}$에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

 

 

【3-2】함수 $ h ( x) $가 $ h ( a)=h ( b)=h ( c) $를 만족시킬 때,

$$ h '' ( d)=0 $$

인 실수 $ d $가 열린구간 $ ( a,~c) $에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (40점)

 

 

【3-3】등식

$$ \frac {\left ( \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b} \right ) - \left ( \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} \right )} {c-a} = \frac {f '' ( d)} {2} $$

를 만족시키는 실수 $ d $가 열린구간 $ ( a,~c) $에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (50점)