2019학년도 경북대 AAT

https://tv.kakao.com/v/404010631

수학(문제1)

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[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (1) 서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0<r \leq n$)개를 택하는 순열의 수는

$${} _ {n} \mathrm P _ { r } = n \left ( n-1 \right ) \left ( n-2 \right ) \cdots \left ( n-r+1 \right )$$

이다.

(2) 서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0<r \leq n$)개를 택하는 조합의 수는

$${} _ {n} \mathrm C _ { r } = \frac { _ { n } \mathrm P _ { r } } { r! } = \frac {n!} {r! ( n-r)!}$$

이다. (단, ${} _ {n} \mathrm C _ {0} =1$이다.)

 

(3) 서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0<r \leq n$)개를 택하는 중복조합의 수는

$${} _ {n} \mathrm H _ { r } = _ { n+r-1 } \mathrm C _ { r }$$

이다.

 

(나) 한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 $r$라 하자.

(1) 확률변수 $X$가 갖는 값은 $0,~1,~2,~ \cdots ,~n$이고, $X$의 확률질량함수는

$$\mathrm P ( X=x)= _ {n} \mathrm C _ { x } p ^ {x} \left ( 1-p \right ) ^ {n-x} ~( x=0,~1,~2,~\cdots,~n )$$ 이며, 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm B ( n,~p)$를 따른다고 한다.

(2) 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm B ( n,~p)$를 따를 때

$$\mathrm E ( X)=np ,~ \mathrm V ( X)=npq ,~ \sigma ( X)= \sqrt {npq}$$

(단, $q=1-p$)

이다.

(다) 평균이 $0$이고 분산이 $1$인 정규분포 $\mathrm N ( 0,~1)$을 표준정규분포라고 한다. 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm N ( 0,~1)$을 따른다고 할 때, 양수 $z$에 대하여 확률 $\mathrm P \left ( 0 \leq Z \leq z \right )$는 다음과 같은 표준정규분포표를 이용하여 구할 수 있다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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【1-1】 학생 $\mathrm A$가 수영 강습을 받기 위해, 다음 조건

$$m _ {2} -m _ {1} \geq 3 ,~ m _ {3} -m _ {2} \geq 3$$

을 만족시키도록 $2019$년도의 열두 달 중 세 달 $m _ {1}$월, $m _ {2}$월, $m _ {3}$월을 선택할 수 있는 모든 순서쌍 $\left ( m _ {1} ,~m _ {2} ,~m _ {3} \right )$의 개수를 구하시오. (30점)

 

【1-2】 여덟 개의 면 중 $k$개의 면에는 빨간색이 각각 칠해져 있고, 나머지 면에는 파란색이 각각 칠해져 있는 정팔면체 모양의 물체가 있다. 이 물체를 $n$번 던져서 지면에 닿은 면이 빨간색이 되는 횟수를 $X$라 하자. 확률변수 $X$가 다음의 조건을 만족시킬 때, $k$와 $n$의 값을 구하시오. (단, 각각의 면에는 한 가지 색만 칠해져 있다.) (30점)

(a) $\mathrm E ( X)=4 \mathrm V ( X)$

(b) $\mathrm P ( X=1)=30 \mathrm P ( X=0)$

 

 

【1-3】 확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm N \left ( m,~ \frac {4} {\left ( 2m+1 \right ) ^ {2} } \right )$를 따른다고 한다. $\mathrm P ( X \leq 4)=0.9772$일 때, 양수 $m$의 값을 구하시오. (30점)

 

 

 

수학(문제2)

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 $h ( x)$에 대하여 $t=h ( x)$로 놓으면

$$\int {g \left ( h \left ( x \right ) \right )} h ' ( x)dx= \int g \left ( t \right ) dt$$

이다.

(나) 함수 $g \left ( x \right )$가 닫힌 구간 $[-a,~a]$에서 연속일 때, 이 구간의 모든 $x$ 에 대하여 $g \left ( -x \right ) =-g \left ( x \right )$이면

$$\int _ {-a} ^ {a} {g \left ( x \right )} dx=0$$

이다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

사차함수 $f ( x)=x ^ {4} =ax ^ {3} +bx ^ {2} +cx+d$가 다음 조건을 만족한다. (단, $a,~b,~c,~d$는 상수이다.)

모든 실수 $x$에 대하여

$$3f ' \left ( x \right ) = \left ( x+3 \right ) f '' ( x)$$

이다.

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【2-1】 $\frac {a} {b}$의 값을 구하시오. (30점)

 

【2-2】 함수 $f \left ( x \right )$에 대하여 $\frac {f \left ( 3 \right ) -f \left ( 0 \right )} {3} =f ' \left ( \alpha \right )$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 값을 구하시오. (20점)

 

【2-3】 함수 $f \left ( x \right )$가

$$\int _ {-4} ^ {-2} {\left ( \sin \left ( \frac {x+3} {2} \right ) -\cos \left ( \frac {x+3} {2} \right ) \right )} ^ {2} f ( x)dx=0$$

을 만족시킬 때, $f ( -3)$의 값을 구하시오. (30점)

 

 

수학(문제3)

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 두 초점 $\mathrm F ( c,~0)$, $\mathrm F ' ( -c,~0)$으로부터 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식은

$$\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$$

(단, $a>c>0$, $b ^ {2} =a ^ {2} -c ^ {2}$)

이다.

 

(나) 타원의 방정식 $\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동한 타원의 방정식은

$$\frac { ( x-m) ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac { ( y-n) ^ {2} } {b ^ {2} } =1$$

이다.

 

(다) 타원

$$\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$$

위의 점 $( x _ {0} ,~y _ {0} )$에서의 접선의 방정식은

$$\frac {x _ {0} x} {a ^ {2} } + \frac {y _ {0} y} {b ^ {2} } =1$$

이다.

 

(라) 삼각함수의 덧셈정리

$$\tan \left ( \alpha + \beta \right ) = \frac {\tan \alpha +\tan \beta } {1-\tan \alpha \tan \beta }$$

$$\tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac {\tan \alpha -\tan \beta } {1+\tan \alpha \tan \beta }$$

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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【3-1】 타원

$$\frac {x ^ {2} } {4} +y ^ {2} -px-qy+1=0$$

이 $x$축에 접하고 단축의 길이가 $6$일 때, 두 초점의 좌표를 구하시오. (단, $p \geq 0$, $q \geq 0$이고 $p ^ {2} + \frac {q ^ {2} } {4} >1$이다.) (30점)

 

【3-2】 타원

$$\frac {x ^ {2} } {4R ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {R ^ {2} } =1$$

과 직선 $l:y=mx$의 교점 중 제1사분면 위의 점을 $\mathrm P$라 하고, 점 $\mathrm P$에서 타원에 접하는 직선을 $l _ {2}$라 하자. (단, $R>0$, $m>0$이다.)

 

(1) 직선 $l _ {2}$의 기울기를 $f \left ( m \right )$이라 할 때, $mf \left ( m \right )$을 구하시오. (20점)

 

(2) 직선 $l _ {1}$과 직선 $l _ {2}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta \left ( m \right )$이라 할 때, $\theta \left ( m \right )$이 최소가 되도록 하는 $m$의 값을 구하시오. (30점)

 

 

수학(문제4)

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[4] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 미분가능한 두 함수 $y=f \left ( u \right )$, $u=g \left ( x \right )$에 대하여 $y=f \left ( g \left ( x \right ) \right )$의 도함수는

$$y ' =f ' \left ( g \left ( x \right ) \right ) g ' \left ( x \right )$$

이다.

 

(나) 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속인 함수 $f \left ( x \right )$에 대하여 미분가능한 함수 $x=g \left ( t \right )$의 도함수 $g ' ( t)$가 닫힌 구간 $[ \alpha ,~ \beta ]$에서 연속일 때,

$$\int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right )} dx= \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)dt}$$

이다. (단, $a=g \left ( \alpha \right )$, $b=g \left ( \beta \right )$이다.)

 

(다) 두 함수 $f \left ( x \right )$, $g \left ( x \right )$가 미분가능하고 $f ' \left ( x \right ) ,~g ' \left ( x \right )$가 연속일 때,

$$\int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right ) g ' \left ( x \right )} dx= \left [ f ( x)g ( x) \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {f ' \left ( x \right ) g \left ( x \right ) dx}$$

이다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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이차함수 $f ( x)=4ax ^ {2} -8ax$는

$$\int _ {e} ^ {3} { \frac {2} {f ( x)} dx} =1-\ln \left ( 3e-6 \right )$$

을 만족한다. (단, $a>0$이고 $e$는 자연로그의 밑이다.)

 

【4-1】 $a$의 값을 구하시오. (15점)

 

【4-2】이차함수 $g ( x)= \frac {x ^ {2} } {4} -x+10$과 구간 $\left ( 0,~ \infty \right )$에서 정의된 함수

$$h ( x)=x ^ {5} e ^ {-g ( x)} \frac {d} {dx} \left ( \frac {e ^ {f ( x)} } {x ^ {4} } \right )$$

에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $h ( 1)$의 값을 구하시오. (15점)

 

(2) $$\int _ {1} ^ {2} {\left ( \frac {d} {dx} e ^ {f ( x)} \right )} h ( x)dx= \frac {p} {e} +q$$ 일 때, $p+2q$의 값을 구하시오. (단, $p,~q$는 유리수이다.) (30점)

 

 

【4-3】음이 아닌 두 실수 $c,~d$에 대하여 구간 $I= \left [ \frac {19} {10} ,~ \infty \right )$에서 정의된 함수 $k \left ( x \right )$는

$$k \left ( x \right ) =\ln \left ( f ( x)+c \right ) +e ^ {-f ( x)} -d$$

이다. 함수 $k \left ( x \right )$가 다음의 조건을 동시에 만족시킬 때, $c$와 $d$의 순서쌍 $\left ( c,~d \right )$가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (40점)

 

(a) 모든 $x \geq 2$에 대하여 $k \left ( x \right ) \geq 0$

(b) 모든 $x _ {1} ,~x _ {2} \in I$에 대하여 $$\left ( x _ {1} -x _ {2} \right ) \left ( k ( x _ {1} \right ) -k \left ( x _ {2} \right ) ) \geq 0$$