2020학년도 경북대 AAT 모의논술

 

https://tv.kakao.com/v/403946475

수학(문제 1)

【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) (1) 서로 다른 $n$개의 서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 \leq r \leq n$)개를 택하는 순열의 수는

$${} _ {n} \mathrm P _ { r } =   n ( n-1) ( n-2) \cdots ( n-r+1)$$

이다.

(2) 서로 다른 $n$개의 서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 \leq r \leq n$)개를 택하는 조합의 수는

$${} _ {n} \mathrm C _ {  r  } = \frac { {} _ {  n   } \mathrm C _ {  r   } } {  r!   } =   \frac {n!} {r! ( n-r)!}$$

이다. (단, ${} _ {n} \mathrm C _ {0} =1$이다.)

 

(나) 연속확률변수 $X$가 $a \leq X \leq b$에 속하는 모든 실수의 값을 가질 때, 함수 $f ( x)$가 다음의 조건을 만족하면 $f ( x)$를 $X$의 확률밀도함수라고 한다.

(1) $f ( x) \geq 0$ (단, $a \leq x \leq b$)

(2) 함수 $y=f ( x)$의 그래프와 $x$축, 직선 $x=a,~x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $1$이다.

(3) $\rm P ( \it \alpha \leq X \leq \beta )$는 함수 $y=f ( x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x= \alpha$, $x= \beta$로 둘러싸인 부분의 넓이이다.

 

(다) 확률이 $0$이 아닌 사건 $A$에 대하여 사건 $A$가 일어났다고 가정할 때, 사건 $B$가 일어날 확률을 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률이라 하고, 기호 $\mathrm P (   B|A)$로 나타내며 다음이 성립한다.

$$\mathrm P (  B|A)= \frac {\mathrm P (   A \cap B)} {\mathrm P (   A)}$$ (단, $\mathrm P (   A) \neq 0 )$

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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【1-1】 $\mathrm {A,~B,~C,~D,~E,~F,~F,~O,~O,~O}$의 문자가 하나씩 적혀 있는 $10$장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 문자 $\mathrm O$가 적힌 어떤 카드도 서로 이웃하지 않을 확률을 구하시오. ($30$점)

 

【1-2】 연속확률변수 $X$가 갖는 값의 범위가 $-2 \leq X \leq 1$이고 $X$의 확률밀도함수 $f ( x)$가

$$f ( x)=3a \left ( 1- \frac {1} {4} x- \frac {3} {4} |x| \right ) ~( -2 \leq x \leq 1 )$$

이다. 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 상수이다)

(1) 상수 $a$와 $\mathrm P (  -1 \leq X \leq 0)$의 값을 각각 구하시오. (30점)

(2) $\mathrm P (   c \leq X \leq c+1)$은 $c= \alpha$일 때, 최댓값 $\beta$를 갖는다. $\alpha$와 $\beta$의 값을 각각 구하시오. (단, $-1 \leq c \leq 0$) ($30$점)

 

 

【1-3】 스마트폰을 생산하는 한 기업이 $2$개의 생산 공장 $\mathrm {A,~B}$를 가지고 있다. 이 기업이 만드는 스마트폰 중 $60%$는 공장 $\mathrm A$에서 만들어지고 나머지는 공장 $\mathrm B$에서 만들어진다. 이 기업에서 생산한 스마트폰이 공장 $\mathrm A$에서 만들어 졌다고 할 때, 그 제품이 불량품일 확률은 $5%$이고, 공장 $\mathrm B$에서 만들어 졌다고 할 때, 그 제품이 불량품일 확률은 $10%$이다. 이 기업에서 생산한 $200$개의 스마트폰 중에서 불량품의 개수를 확률변수 $X$라 할 때, $X$의 기댓값을 구하시오. ($30$점)

 

 

수학(문제 2)

 

【2】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 함수 $g ( x)$가 구간 $I$에 속하는 임의의 두 수 $x _ {1} ,~x _ {2}$에 대하여

$x _ {1} <x _ {2}$일 때, $g ( x _ {1} )<g ( x _ {2} )$

이면, 함수 $g ( x)$는 구간 $I$에서 증가한다고 한다. 또,

$x _ {1} <x _ {2}$일 때, $g ( x _ {1} )>g ( x _ {2} )$

이면, 함수 $g ( x)$는 구간 $I$에서 감소한다고 한다.

 

(나) 함수 $g ( x)$는 구간 $I$에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여

(1) $g ' ( x)>0$이면 $g ( x)$는 구간 $I$에서 증가한다.

(2) $g ' ( x)<0$이면 $g ( x)$는 구간 $I$에서 감소한다.

단, 역은 성립하지 않는다.

 

(다) 함수 $g ( x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고 $g ( a) \neq g ( b)$이면, $g ( a)$와 $g ( b)$ 사이에 있는 임의의 값 $k$에 대하여

$$g ( c)=k$$

인 $c$가 열린 구간 $( a,~b)$에 적어도 하나 존재한다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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$0$이 아닌 실수 $a$에 대하여

$$f ( x)= \frac {1} {2a} x ^ {2} + \left ( a-1 \right ) x+a-1$$

의 한 부정적분을 $F ( x)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

 

【2-1】 함수 $f ( x)$의 최댓값이 $0$일 때, $a$의 값을 구하시오. ($20$점)

 

【2-2】 함수 $F ( x)$가 실수 전체에서 증가하도록 하는 $a$의 값의 범위는 $\alpha \leq a \leq \beta$이다. $\beta - \alpha$의 최댓값을 구하시오. ($40$점)

 

【2-3】 다음 조건을 만족시키는 실수 $a$가 열린구간 $\left ( 2,~3 \right )$에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. ($50$점)

(1) 함수 $F ( x)$는 어떤 구간 $\left ( b,~c \right )$에서 감소하고 구간 $\left ( - \infty ,~b \right )$와 $\left ( c,~ \infty \right )$에서 증가한다. (2) $c-b=9.7$

 

 

수학(문제 3)

 

【3】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 미분가능한 두 함수 $y=f ( u),~u=g ( x)$에 대하여 합성함수 $y=f \left ( g ( x) \right )$의 도함수는

$\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} \cdot \frac {du} {dx}$ 또는 $y ' =f ' \left ( g ( x) \right ) g ' ( x)$

이다.

 

(나) (1) 두 초점 $\mathrm F (   c,~0)$, $\mathrm F ' (   -c,~0)$으로부터의 거리의 차가 $2a$ ($c>a>0$)인 쌍곡선의 방정식은

$$\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1$$

(단, $b ^ {2} =c ^ {2} -a ^ {2}$)이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$이다.

 

(2) 두 초점 $\mathrm F (   c,~0)$, $\mathrm F ' (   -c,~0)$으로부터의 거리의 차가 $2b$ ($c>b>0$)인 쌍곡선의 방정식은

$$\frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =-1$$ (단, $a ^ {2} =c ^ {2} -b ^ {2}$)이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $2b$이다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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실수 $a,~b,~c$ ($a \neq 0$)에 대하여 $f ( x)=ax ^ {2} +bx+c$이고 $H~:~y ^ {2} =e ^ {-f ( x)} \frac {d ^ {2} } {dx ^ {2} } e ^ {f ( x)}$은 쌍곡선이다. 다음 물음에 답하시오.

 

【3-1】쌍곡선 $H$를 $Ax ^ {2} +By ^ {2} +Cx+D=0$으로 표현할 때, $\frac {A} {B} =-4a ^ {2}$임을 증명하시오. ($20$점)

 

【3-2】다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $\left ( a,~b \right )$가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. ($30$점)

(1) 쌍곡선 $H$는 직선 $x=1$과 많아야 한 점에서 만난다. (2) 쌍곡선 $H$는 직선 $y=x+ \frac {b} {2a}$와 만나지 않는다. (3) 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는 $4$이하이다.

 

【3-3】 쌍곡선 $H$의 두 초점이 $x$축 위에 있을 때, 두 초점을 각각 $\rm F \left ( \alpha ,~0 \right ) ,~F ' ( \beta ,~0)$ ($\alpha > \beta$)라 하자.

(1) 쌍곡선 $H$위의 점 $\rm Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $S$라 하자. 점 $\rm Q$의 $x$좌표가 $\alpha$보다 클 때

$$\overline {\mathrm{FQ}} - \overline {\mathrm{FS}} \sqrt {1+   4a   ^ {2}   } =   |2a| ^ {p}$$

이다. $p$의 값을 구하시오. (40점)

 

(2) $\left ( \alpha - \beta \right ) ^ {2}$의 값이 최소가 될 때, $a$의 값을 구하시오. ($30$점)