2020학년도 경북대 AAT 모의논술

 

https://tv.kakao.com/v/403946475

수학(문제 1)

【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) (1) 서로 다른 $ n $개의 서로 다른 $ n $개에서 $ r $ ($ 0 \leq r \leq n $)개를 택하는 순열의 수는

$$ {} _ {n} \mathrm P _ { r } =   n ( n-1) ( n-2) \cdots ( n-r+1) $$

이다.

(2) 서로 다른 $ n $개의 서로 다른 $ n $개에서 $ r $ ($ 0 \leq r \leq n $)개를 택하는 조합의 수는

$$ {} _ {n} \mathrm C _ {  r  } = \frac { {} _ {  n   } \mathrm C _ {  r   } } {  r!   } =   \frac {n!} {r! ( n-r)!} $$

이다. (단, $ {} _ {n} \mathrm C _ {0} =1 $이다.)

 

(나) 연속확률변수 $ X $가 $ a \leq X \leq b $에 속하는 모든 실수의 값을 가질 때, 함수 $ f ( x) $가 다음의 조건을 만족하면 $ f ( x) $를 $ X $의 확률밀도함수라고 한다.

(1) $ f ( x) \geq 0 $ (단, $ a \leq x \leq b $)

(2) 함수 $ y=f ( x) $의 그래프와 $ x $축, 직선 $ x=a,~x=b $로 둘러싸인 부분의 넓이가 $ 1 $이다.

(3) $ \rm P ( \it \alpha \leq X \leq \beta ) $는 함수 $ y=f ( x) $의 그래프와 $ x $축 및 두 직선 $ x= \alpha $, $ x= \beta $로 둘러싸인 부분의 넓이이다.

 

(다) 확률이 $ 0 $이 아닌 사건 $ A $에 대하여 사건 $ A $가 일어났다고 가정할 때, 사건 $ B $가 일어날 확률을 사건 $ A $가 일어났을 때의 사건 $ B $의 조건부확률이라 하고, 기호 $ \mathrm P (   B|A) $로 나타내며 다음이 성립한다.

$$ \mathrm P (  B|A)= \frac {\mathrm P (   A \cap B)} {\mathrm P (   A)}$$ (단, $\mathrm P (   A) \neq 0 )$

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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【1-1】 $ \mathrm {A,~B,~C,~D,~E,~F,~F,~O,~O,~O} $의 문자가 하나씩 적혀 있는 $ 10 $장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 문자 $ \mathrm O $가 적힌 어떤 카드도 서로 이웃하지 않을 확률을 구하시오. ($ 30 $점)

 

【1-2】 연속확률변수 $ X $가 갖는 값의 범위가 $ -2 \leq X \leq 1 $이고 $ X $의 확률밀도함수 $ f ( x) $가

$$ f ( x)=3a \left ( 1- \frac {1} {4} x- \frac {3} {4} |x| \right ) ~( -2 \leq x \leq 1 )$$

이다. 다음 물음에 답하시오. (단, $ a $는 상수이다)

(1) 상수 $ a $와 $ \mathrm P (  -1 \leq X \leq 0) $의 값을 각각 구하시오. (30점)

(2) $ \mathrm P (   c \leq X \leq c+1) $은 $ c= \alpha $일 때, 최댓값 $ \beta $를 갖는다. $ \alpha $와 $ \beta $의 값을 각각 구하시오. (단, $ -1 \leq c \leq 0 $) ($ 30 $점)

 

 

【1-3】 스마트폰을 생산하는 한 기업이 $ 2 $개의 생산 공장 $ \mathrm {A,~B} $를 가지고 있다. 이 기업이 만드는 스마트폰 중 $ 60% $는 공장 $ \mathrm A $에서 만들어지고 나머지는 공장 $ \mathrm B $에서 만들어진다. 이 기업에서 생산한 스마트폰이 공장 $ \mathrm A $에서 만들어 졌다고 할 때, 그 제품이 불량품일 확률은 $ 5% $이고, 공장 $ \mathrm B $에서 만들어 졌다고 할 때, 그 제품이 불량품일 확률은 $ 10% $이다. 이 기업에서 생산한 $ 200 $개의 스마트폰 중에서 불량품의 개수를 확률변수 $ X $라 할 때, $ X $의 기댓값을 구하시오. ($ 30 $점)

 

 

수학(문제 2)

 

【2】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 함수 $ g ( x) $가 구간 $ I $에 속하는 임의의 두 수 $ x _ {1} ,~x _ {2} $에 대하여

$ x _ {1} <x _ {2} $일 때, $ g ( x _ {1} )<g ( x _ {2} ) $

이면, 함수 $ g ( x) $는 구간 $ I $에서 증가한다고 한다. 또,

$ x _ {1} <x _ {2} $일 때, $ g ( x _ {1} )>g ( x _ {2} ) $

이면, 함수 $ g ( x) $는 구간 $ I $에서 감소한다고 한다.

 

(나) 함수 $ g ( x) $는 구간 $ I $에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $ x $에 대하여

(1) $ g ' ( x)>0 $이면 $ g ( x) $는 구간 $ I $에서 증가한다.

(2) $ g ' ( x)<0 $이면 $ g ( x) $는 구간 $ I $에서 감소한다.

단, 역은 성립하지 않는다.

 

(다) 함수 $ g ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이고 $ g ( a) \neq g ( b) $이면, $ g ( a) $와 $ g ( b) $ 사이에 있는 임의의 값 $ k $에 대하여

$$ g ( c)=k $$

인 $ c $가 열린 구간 $ ( a,~b) $에 적어도 하나 존재한다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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$ 0 $이 아닌 실수 $ a $에 대하여

$$ f ( x)= \frac {1} {2a} x ^ {2} + \left ( a-1 \right ) x+a-1 $$

의 한 부정적분을 $ F ( x) $라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

 

【2-1】 함수 $ f ( x) $의 최댓값이 $ 0 $일 때, $ a $의 값을 구하시오. ($ 20 $점)

 

【2-2】 함수 $ F ( x) $가 실수 전체에서 증가하도록 하는 $ a $의 값의 범위는 $ \alpha \leq a \leq \beta $이다. $ \beta - \alpha $의 최댓값을 구하시오. ($ 40 $점)

 

【2-3】 다음 조건을 만족시키는 실수 $ a $가 열린구간 $ \left ( 2,~3 \right ) $에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. ($ 50 $점)

(1) 함수 $ F ( x) $는 어떤 구간 $ \left ( b,~c \right ) $에서 감소하고 구간 $ \left ( - \infty ,~b \right ) $와 $ \left ( c,~ \infty \right ) $에서 증가한다. (2) $ c-b=9.7 $

 

 

수학(문제 3)

 

【3】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 미분가능한 두 함수 $ y=f ( u),~u=g ( x) $에 대하여 합성함수 $ y=f \left ( g ( x) \right ) $의 도함수는

$ \frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} \cdot \frac {du} {dx} $ 또는 $ y ' =f ' \left ( g ( x) \right ) g ' ( x) $

이다.

 

(나) (1) 두 초점 $ \mathrm F (   c,~0) $, $ \mathrm F ' (   -c,~0) $으로부터의 거리의 차가 $ 2a $ ($ c>a>0 $)인 쌍곡선의 방정식은

$$ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $$

(단, $ b ^ {2} =c ^ {2} -a ^ {2} $)이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $ 2a $이다.

 

(2) 두 초점 $ \mathrm F (   c,~0) $, $ \mathrm F ' (   -c,~0) $으로부터의 거리의 차가 $ 2b $ ($ c>b>0 $)인 쌍곡선의 방정식은

$$ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =-1 $$ (단, $ a ^ {2} =c ^ {2} -b ^ {2} $)이다. 이때, 쌍곡선의 주축의 길이는 $ 2b $이다.

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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실수 $ a,~b,~c $ ($ a \neq 0 $)에 대하여 $ f ( x)=ax ^ {2} +bx+c $이고 $ H~:~y ^ {2} =e ^ {-f ( x)} \frac {d ^ {2} } {dx ^ {2} } e ^ {f ( x)} $은 쌍곡선이다. 다음 물음에 답하시오.

 

【3-1】쌍곡선 $ H $를 $ Ax ^ {2} +By ^ {2} +Cx+D=0 $으로 표현할 때, $ \frac {A} {B} =-4a ^ {2} $임을 증명하시오. ($ 20 $점)

 

【3-2】다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $ \left ( a,~b \right ) $가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. ($ 30 $점)

(1) 쌍곡선 $ H $는 직선 $ x=1 $과 많아야 한 점에서 만난다. (2) 쌍곡선 $ H $는 직선 $ y=x+ \frac {b} {2a} $와 만나지 않는다. (3) 쌍곡선 $ H $의 주축의 길이는 $ 4 $이하이다.

 

【3-3】 쌍곡선 $ H $의 두 초점이 $ x $축 위에 있을 때, 두 초점을 각각 $ \rm F \left ( \alpha ,~0 \right ) ,~F ' ( \beta ,~0) $ ($ \alpha > \beta $)라 하자.

(1) 쌍곡선 $ H $위의 점 $ \rm Q $에서 $ x $축에 내린 수선의 발을 $ S $라 하자. 점 $ \rm Q $의 $ x $좌표가 $ \alpha $보다 클 때

$$ \overline {\mathrm{FQ}} - \overline {\mathrm{FS}} \sqrt {1+   4a   ^ {2}   } =   |2a| ^ {p} $$

이다. $ p $의 값을 구하시오. (40점)

 

(2) $ \left ( \alpha - \beta \right ) ^ {2} $의 값이 최소가 될 때, $ a $의 값을 구하시오. ($ 30 $점)