울산과고 미적분 -급수 수렴판정법

심화수학1 보충자료

https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/403654400

 

1. 단조수열정리(단조수렴정리)

정의1. $ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} <a _ {n+1} $, 즉, $ a _ {1} <a _ {2} <a _ {3} < \cdots $일 때, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은 (순)증가수열(strictly increasing sequence)이라 한다. $ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} >a _ {n+1} $일 때 (순)감소수열이라 한다.

$ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq a _ {n+1} $, 즉, $ a _ {1} \leq a _ {2} \leq a _ {3} \leq \cdots $일 때, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은 단조증가수열(monotonic increasing sequence) 또는 감소하지 않는 수열(non-increasing sequence)이라 한다. $ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \geq a _ {n+1} $일 때 단조감소수열 또는 증가하지 않는 수열이라 한다.

 

정의2. $ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq M $을 만족하는 실수 $ M $이 존재할 때, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은 위로 유계(bounded above)라 한다. 반대로 $ n \geq 1 $인 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \geq m $을 만족하는 실수 $ m $이 존재할 때, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은 아래로 유계(bounded below)라 한다. 또, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $이 위로 유계인 동시에 아래로 유계이면 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $을 유계수열(bounded sequence)이라 한다.

 

단조수열정리(단조수렴정리). 모든 유계인 단조수열은 수렴한다.

 

 

이상적분 Improper Integral

함수의 정적분이 정의되기 위해서는 주어진 함수의 정의역이 ‘유계 닫힌구간’이고 치역도 유계인 ‘유계 함수’이어야 한다. 여기서는 이 두 조건을 만족하지 않는 두 가지 형태의 함수에 대한 적분을 극한을 써서 정의한다.

 

유형 1. 정의역이 무한구간인 경우 즉, 정의역이 유계(bounded)가 아닌 경우: $ f $ 의 정의역이 $ [a,~ \infty ) $, $ ( - \infty ,~b] $ 또는 $ \left ( - \infty ,~ \infty \right ) $일 때, 다음의 오른쪽의 적분으로 표현된 극한이 존재하면 각각

$$\textcolor{red}{ \int _ {a} ^ {\infty } {f ( x)dx} = \lim\limits _ {b \rightarrow \infty } { \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} } }$$

$$\textcolor{red}{ \int _ {- \infty } ^ {b} {f ( x)dx} = \lim\limits _ {a \rightarrow - \infty } { \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} }} $$

$$\textcolor{red}{ \int _ {- \infty } ^ {\infty } {f ( x)dx} = \lim\limits _ {b \rightarrow \infty ,a \rightarrow - \infty } { \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} } }$$

로 정의한다.

 

유형2. 함숫값이 유계가 아닌 함수인 경우 : 경계점에서 $ \pm \infty $을 가질때와 정의역의 내부의 점에서 $ \pm \infty $을 가질 때로 나누어 보면, $ ( a,~b] $에서 정의된 함수 $ f ( x) $가 임의의 $ c \in ( a,~b] $에 대해 $ [c,~b] $에서 적분가능하고 $ \lim\limits _ {c \rightarrow a} { \int _ {c} ^ {b} {f ( x)d} } $가 존재할 때, $ ( a,~b] $에서 $ f $의 이상적분은

$$ \textcolor{red}{\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} = \lim\limits _ {c \rightarrow a+} { \int _ {c} ^ {b} {f ( x)dx} } }$$

로 정의하고 $ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} $라고 쓴다. 마찬가지로 $ f $의 정의역이 $ [a,~b) $일 때, 오른쪽의 극한이 존재하면

$$\textcolor{red}{ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} = \lim\limits _ {c \rightarrow b-} { \int _ {a} ^ {c} {f ( x)dx} } }$$

로 정의한다. 정의역의 내부의 점 $ c $에서 $ \pm \infty $을 가질 때, 즉 $ f ( c)=\pm \infty $일 때는

$$\textcolor{red}{ \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} = \lim\limits _ {t \rightarrow c-} { \int _ {a} ^ {t} {f ( x)dx} } + \lim\limits _ {t \rightarrow c+} { \int _ {t} ^ {b} {f ( x)dx} } }$$

 

예 다음의 정적분을 구하시오.

(1) $ \int _ {1} ^ {\infty } { \frac {1} {x ^ {2} } dx} $

(2) $ \int _ {1} ^ {\infty } { \frac {1} {\sqrt {x} } dx} $

(3) $ \int _ {1} ^ {\infty } { \frac {1} {x ^ {p} } dx} $가 수렴하기 위한 $ p $의 값의 범위를 정하시오.

 

(4) $ \int _ {0} ^ {1} { \frac {1} {x ^ {2} } dx} $

(5) $ \int _ {0} ^ {1} { \frac {1} {\sqrt {x} } dx} $

(6) $ \int _ {0} ^ {1} { \frac {1} {x ^ {p} } dx} $가 수렴하기 위한 $ p $의 값의 범위를 정하시오.

 

 

예제 가브리엘의 뿔(horn)

$ [1,~ \infty ) $에서 정의된 함수 $ f ( x)= \frac {1} {x} $의 그래프를 $ x $축 둘레로 회전한 곡면을 가브리엘의 뿔(horn)이라 한다. 가브리엘의 뿔은 부피는 일정하지만 겉넓이는 무한이다. 이상적분의 정의를 이용하여 이를 증명하시오.

(1) 부피 $ V= \pi $

(2) 겉넓이 $ A= \infty $

(참조 회전체의 겉넓이 구하는 공식은 $ \int _ {a} ^ {b} {2 \pi f ( x) \sqrt {1+ \left\{ f ' ( x) \right\} ^ {2} } dx} $이다.)

 

 

2. 적분판정법, $ p $-급수판정법

적분판정법. $ f $ 가 $ [1,~ \infty ) $에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고, $ a _ {n} =f ( n) $이라 하자. 그러면 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $이 수렴하기 위한 필요충분조건은 이상적분 $ \int _ {1} ^ {\infty } {} f ( x)dx $가 수렴하는 것이다.

 

$\textcolor{blue}{p}$급수 판정법

$ p- $급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {1} {n ^ {p} } $은 $ p>1 $이면 수렴하고 $ 0<p \leq 1 $이면 발산한다.

 

 

 

3. 비교판정법

비교판정법. $ a _ {n} \geq 0,~b _ {n} \geq 0 $인 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $과 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $에 대하여

1) $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $이 수렴하고, 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq b _ {n} $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $도 수렴한다.

2) $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $이 발산하고, 모든 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \geq b _ {n} $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $도 발산한다.

 

 

 

정답 및 풀이을 보려면 아래를 클릭하세요.

 

(증명) (1) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $, $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $의 제$ n $부분합을 각각 $ S _ {n} ,~T _ {n} $이라 하자. $ a _ {n} ,~b _ {n} $이 모두 음이 아닌 실수이므로 부분합의 수열 $ \left\{ S _ {n} \right\} ,~ \left\{ T _ {n} \right\} $은 증가수열이다. $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $이 수렴하므로 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} =T $(실수)라 두면 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ T _ {n} \leq T $이다.

모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq b _ {n} $이므로 $ S _ {n} \leq T _ {n} \leq T $

따라서 부분합의 수열 $ \left\{ S _ {n} \right\} $은 증가수열이고 $ S _ {n} \leq T $이므로 단조수렴정리에 의해

$ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 수렴한다.

(2) 귀류법으로 증명하자.

$ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $이 수렴한다고 가정하자. 또, $ b _ {n} \leq a _ {n} $이므로 (1)에 의해 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $은 수렴한다. 이것은 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $이 발산한다는 가정에 모순이다. 따라서 (2)는 증명되었다.

 

 

문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {5} {2n ^ {2} +4n+3} $의 수렴, 발산여부를 판정하시오.

 

 

 

4. 극한비교판정법

극한비교판정법. $ a _ {n} >0,~b _ {n} >0 $인 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $과 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $에 대하여

$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {a _ {n} } {b _ {n} } =c>0} $인 실수 $ c $가 존재한다면 두 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $과 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } b _ {n} $는 모두 수렴하거나 모두 발산한다. 즉 수렴발산을 함께 한다.

(증명) $ epsilon -N $을 이용한 증명은 동영상을 참조

https://plusthemath.tistory.com/247

[수학의 기초] 수열의 극한의 엄밀한 정의

 

 

문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {1} {2 ^ {n} -1} $의 수렴, 발산여부를 판정하여라.

 

 

5. 절대수렴

정의. 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $에 대하여 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \left | a _ {n} \right | $이 수렴할 때, 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 절대수렴(absolutely convergent)한다고 하고 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 수렴하지만 절대수렴하지 않을 때, 즉 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \left | a _ {n} \right | $이 수렴하지 않을 때, 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 조건부수렴한다(conditionally convergent)고 한다.

 

급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $이 절대수렴하면 즉, $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \left | a _ {n} \right | $이 수렴하면 그 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $는 수렴한다.

 

(증명) $ \left. -|a _ {n} | \leq a _ {n} \leq |a _ {n} \right | $이므로 양변에 $ |a _ {n} | $을 더하면

$ 0 \leq a _ {n} + \left | a _ {n} \right | \leq 2 \left | a _ {n} \right | $

이 성립한다. 이 부등식과 비교판정법, 급수의 성질을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

 

 

(문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {\cos n} {n ^ {2} } $의 수렴, 발산여부를 판정하시오.

(문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } ( -1) ^ {n+1} \frac {1} {n} $이 조건부 수렴함을 보이시오.

 

 

 

6. 비판정법(ratio test)

비판정법

양수의 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $과 모든 자연수 $ n $에 대하여

(1) $ \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \leq r<1 $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 수렴한다.

(2) $ \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \geq 1 $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 발산한다.

 

증명)

 

 

 

 

절댓값과 비판정법

1) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left | \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \right | =L<1} $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 절대수렴한다.

2) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left | \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \right | =L>1} $ 또는 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left | \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \right | = \infty } $이면 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $은 발산한다.

3) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left | \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } \right | =1} $이면 비판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

 

증명) $ epsilon -N $의 정의를 이용한 증명은 동영상 참조

 

 

 

 

문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \left ( -1 \right ) ^ {n} \frac {n ^ {3} } {3 ^ {n} } $이 절대수렴함을 보여라.

 

 

 

 

7. 근판정법(root test)

근판정법

1) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\root {n} \of {|a _ {n} |} =L<1} $이면 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $는 절대수렴한다.

2) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\root {n} \of {|a _ {n} |} =L>1} $ 또는 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\root {n} \of {|a _ {n} |} = \infty } $이면 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } a _ {n} $는 발산한다.

3) $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\root {n} \of {|a _ {n} |} =1} $이면 근판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

 

문제) 급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \left ( \frac {2n+3} {3n+2} \right ) ^ {n} $의 수렴, 발산여부를 판정하여라.