[수학의 기초] 수열의 극한의 엄밀한 정의

정의

"임의의 양수 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 $N=N(\epsilon)$이 존재하여 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $\left| a_n -L \right|<\epsilon$"

을 만족하면 수열 $a_n$은 $L$에 수렴한다고 한다. 즉 $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n =L$$

영어로 표현하면

Let $\epsilon>0$ be given, there exists an corresponding $N=N(\epsilon)$ such that for all $n$,

$$n>N ~\Leftrightarrow~ |a_n -L| <\epsilon$$

 

여기서 $\epsilon$은 우리가 다룰 수 있는 수가 아니다. $\epsilon$이 주어져 있다고 하면 그 $\epsilon$에 대응되는 $N$을 찾아야 한다.

위에서 "임의의 양수 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 $N=N(\epsilon)$이 존재하여"라는 표현이 우리가 이해하기가 어렵다. 그래서 영어표현 "Let $\epsilon>0$ be given"을 직역하면 $\epsilon>0$이 주어졌다고 할 때, 그것에 대응하는(corresponding) $N$을 찾아야 한다.

따라서 우리는 $\left| a_n -L \right|<\epsilon$을 만족하는 $N$을 찾아야 한다. 

예를 들어

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{2}{n+1}=0$$

임을 보이기 위해 우리는 $\left| \frac{2}{n+1}-0 \right|<\epsilon$을 만족하는 $n$의 범위를 찾아야 한다. 즉

$$\left| \frac{2}{n+1}-0 \right|<\epsilon$$

$$\frac{2}{n+1} <\epsilon$$

$$n+1 >\frac{2}{\epsilon}$$

$$n>\frac{2}{\epsilon}-1$$

여기서 $N$을 $N= \frac{2}{\epsilon}-1$로 잡으면 된다. 즉 형식적인 증명으로 위의 문구를 적으면서 $N$자리에 $N= \frac{2}{\epsilon}-1$을 넣으면 증명이 완성된다. 즉,

임의의 양수 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 $N= \frac{2}{\epsilon}-1$이 존재하여 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $$\left| \frac{2}{n+1}-0 \right|<\epsilon$$

따라서 $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{2}{n+1}=0$$

 

아래 동영상을 참조해 주세요

 

https://tv.kakao.com/v/403506759