[수학의 기초] 우함수 기함수 미분

우함수 미분하면 기함수? 기함수 미분하면 우함수? 증명은?

 

우함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$ 를 만족하는 함수이다. 영어로는 우함수(even-function)으로 여기서 even은 짝수를 의미한다. 즉 $y=x^{짝수}$인 함수는 $y$축에 대칭이므로 이 함수를 일반화하여 $y$축에 대칭인 함수를 우함수라고 한다. 마찬가지로 기함수(odd-function)도 $$f(-x)=-f(x)$$ 를 만족하는 함수이다.

"우" 짝수(even), "기" 홀수(odd)

 

우함수 미분은 기함수 증명

함수 $\displaystyle f$가 미분가능하며 기함수이면 그 도함수 $f'$는 우함수 $$f'(-x)=f'(x)$$ 이다. 

(증명) 여기서 $$f'(-x)$$ 와 $$(f(-x))'$$ 을 구별해야 한다. 

(1) 먼저 $f'(-x)$는 $y=f(t)$를 $t=-x$에서 미분한 것, 즉 미분계수이므로 $f(x)$가 기함수 $f(-x)=-f(x)$라 하면 미분계수의 정의에 의해

$$\begin{align}f'(-x)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( \textcolor{red}{-x}+h)-f( \textcolor{red}{-x})}{h}\\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-f( \textcolor{red}{x}-h)+f( \textcolor{red}{x})}{h}\\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( \textcolor{red}{x}-h)-f( \textcolor{red}{x})}{-h}\\&=f'(x)\end{align}$$

이다. 즉 기함수를 미분하면 우함수가 된다.

또는 함수 $f$는 우함수, 즉 $f(-x)=f(x)$임을 이용하여 미분정의를 쓰면

$$\begin{align}f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( \textcolor{red}{x}+h)-f( \textcolor{red}{x})}{h}\\&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( \textcolor{red}{-x-h})-f( \textcolor{red}{-x})}{h}\\&=\textcolor{blue}{-}\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( \textcolor{red}{-x}\textcolor {blue}{-h})-f( \textcolor{red}{-x})}{\textcolor{blue}{-h}}\\&=-f'(-\textcolor{red}{x})\end{align}$$

 

(2) 또, $(f(-x))'$는 $g(x)=-x$와 $y=f(x)$의 합성함수 $$(f\circ g)(x)$$ 의 도함수이다. 즉 합성함수 미분법에 의해

$$\frac{d}{dx} \left\{f(-x) \right\}=\left\{(f \circ g)(x) \right\}'=f'(g(x))\times g'(x) =f'(-x)\times(-1)$$

따라서 기함수 미분하면 우함수임을 증명하는 것은 두 가지이다. 즉, (1)에서 증명하는 방식이다. 

(2)를 이용하여 증명은 다음과 같다.

$$f(-x)=-f(x)$$

양변을 미분하면 (2)에 의해 좌변은

$$\frac{d}{dx} \left\{f(-x) \right\}=f'(-x)\times(-1)$$

우변은 $$-f'(x)$$

이므로

$$\frac{d}{dx} \left\{f(-x) \right\}=f'(-x)\times(-1)=-f'(x)$$

즉,

$$f'(-x)=f'(x)$$

 

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