[수학의 기초] 2013과고 중간고사 문제 - 함수방정식과 주기함수

22. 정의역과 공역이 실수 전체 집합인 함수 $f ( x)$가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $f ( a)=0$

(나) 임의의 실수 $x$에 대하여,

$$f ( x+y)+f ( x-y)=2f ( x)f ( y)$$

이 때, 다음을 증명하시오.

[2013 과고1 1학기 중간 서술형7]

https://youtu.be/lPr8-E8kOA4

(1) $f ( x)$는 주기함수이다. [2점]

단, 주기함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x+p)=f(x)$$ 를 만족하는 $0$이 아닌 실수 $p$가 존재할 때, 함수 $f$는 주기함수라 하고, 실수 $p$ 중 최소의 양수 $p$를 주기라고 한다.

 

(2) $f ( x)$는 우함수이다. [2점]

우함수란, 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$ 를 만족할 때, 함수 $f$는 우함수라고 한다.

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

(1) (나) 의 $y$에 $a$대입하면

$\forall x \in R$, $f ( x-a)=-f ( x+a)~ \cdots ( *)$

$( *)$에 $x$대신 $x+2a$를 대입하면 $f ( x+a)=-f ( x+3a)$이므로

$f ( x-a)=f ( x+3a)$

(2) ⅰ) $f ( x)=0$인 상수함수일 때 상수함수는 우함수이므로 증명 끝

ⅱ)

(나)에 $x$대신 $-x$를 대입하면

$2f ( x)f ( -y)=f ( x-y)+f ( x+y)=2f ( x)f ( y)~~ \cdots ( **)$

상수함수가 아니므로 $f ( b) \neq= 0$인 $b$가 존재한다.

$( **)$에 $x=b$이면 

$\forall~ y \in R$, $f ( -y)=f ( y)$

(1) (나) 의 $y$에 $a$대입하면

$\forall x \in R$, $f ( x-a)=-f ( x+a)~ \cdots ( *)$

$( *)$에 $x$대신 $x+2a$를 대입하면 $f ( x+a)=-f ( x+3a)$이므로

$f ( x-a)=f ( x+3a)$

(2) ⅰ) $f ( x)=0$인 상수함수일 때 상수함수는 우함수이므로 증명 끝

ⅱ)

(나)에 $x$대신 $-x$를 대입하면

$2f ( x)f ( -y)=f ( x-y)+f ( x+y)=2f ( x)f ( y)~~ \cdots ( **)$

상수함수가 아니므로 $f ( b) \neq= 0$인 $b$가 존재한다.

$( **)$에 $x=b$이면 

$\forall~ y \in R$, $f ( -y)=f ( y)$

따라서 함수 $f$는 우함수이다.