[수학의 기초] 2013과고 중간고사 문제 - 함수방정식과 주기함수

22. 정의역과 공역이 실수 전체 집합인 함수 $ f ( x) $가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $ f ( a)=0 $

(나) 임의의 실수 $ x $에 대하여,

$$ f ( x+y)+f ( x-y)=2f ( x)f ( y) $$

이 때, 다음을 증명하시오.

[2013 과고1 1학기 중간 서술형7]

https://youtu.be/lPr8-E8kOA4

(1) $ f ( x) $는 주기함수이다. [2점]

단, 주기함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x+p)=f(x)$$를 만족하는 $0$이 아닌 실수 $p$가 존재할 때, 함수 $f$는 주기함수라 하고, 실수 $p$ 중 최소의 양수 $p$를 주기라고 한다.

 

(2) $ f ( x) $는 우함수이다. [2점]

우함수란, 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$를 만족할 때, 함수 $f$는 우함수라고 한다.

 

 

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(1) (나) 의 $ y $에 $ a $대입하면

$ \forall x \in R $, $ f ( x-a)=-f ( x+a)~ \cdots ( *) $

$ ( *) $에 $ x $대신 $ x+2a $를 대입하면 $ f ( x+a)=-f ( x+3a) $이므로

$ f ( x-a)=f ( x+3a) $

(2) ⅰ) $ f ( x)=0 $인 상수함수일 때 상수함수는 우함수이므로 증명 끝

ⅱ)

(나)에 $ x $대신 $ -x $를 대입하면

$ 2f ( x)f ( -y)=f ( x-y)+f ( x+y)=2f ( x)f ( y)~~ \cdots ( **) $

상수함수가 아니므로 $ f ( b) \neq= 0 $인 $ b $가 존재한다.

$ ( **) $에 $ x=b $이면 

$ \forall~ y \in R $, $ f ( -y)=f ( y) $

(1) (나) 의 $ y $에 $ a $대입하면

$ \forall x \in R $, $ f ( x-a)=-f ( x+a)~ \cdots ( *) $

$ ( *) $에 $ x $대신 $ x+2a $를 대입하면 $ f ( x+a)=-f ( x+3a) $이므로

$ f ( x-a)=f ( x+3a) $

(2) ⅰ) $ f ( x)=0 $인 상수함수일 때 상수함수는 우함수이므로 증명 끝

ⅱ)

(나)에 $ x $대신 $ -x $를 대입하면

$ 2f ( x)f ( -y)=f ( x-y)+f ( x+y)=2f ( x)f ( y)~~ \cdots ( **) $

상수함수가 아니므로 $ f ( b) \neq= 0 $인 $ b $가 존재한다.

$ ( **) $에 $ x=b $이면 

$ \forall~ y \in R $, $ f ( -y)=f ( y) $

따라서 함수 $f$는 우함수이다.