[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -2

함수 $f~:~X~\longrightarrow ~Y$에 대하여

정의 일대일 함수

$X$의 서로 다른 원소에 $Y$의 서로 다른 원소가 대응되는 함수를 일대일 함수라고 한다. 즉

집합 $X$의 임의의 원소 $x_1 ,~x_2$에 대하여

$x_1 \neq x_2$이면 $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$이다.

$f(x_1 ) = f(x_2 )$이면 $x_1 = x_2$이다.

 

Denition  A function f is one-to-one or injective if and only if $f(x) =f(y)$ implies $x = y$ for all $x,~y$ in the domain $X$ of $f$. Formally:
$$\forall x,~y \in X, f(x) = f(y) ~\longrightarrow~ x = y$$
In words, this says that all elements in the domain of f have different images.

 

일대일함수임을 증명할 때는 주로

집합 $X$의 임의의 원소 $x_1 ,~x_2$에 대하여

$f(x_1 ) = f(x_2 )$이면 $x_1 = x_2$이다.

을 사용한다.

예제

(1) $f~:~\mathbb R ~\longrightarrow ~\mathbb R,~f(x)=4x+1$이 일대일 함수임을 보여라.

증명 

$f(x_1 )=f(x_2)$를 만족하는 $x_1 ,~x_2 \in \mathbb R$에 대하여

$$\begin{align}f(x_1 )=f(x_2)~~&\Longleftrightarrow ~~4x_1 +1=4x_2 +1\\&\Longleftrightarrow 4(x_1 -x_2)=0\\&\Longleftrightarrow x_1 =x_2\end{align}$$

 

https://plusthemath.tistory.com/270

[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -1

https://plusthemath.tistory.com/347

[수학의 기초] 함수에 대하여(3) - 일대일대응 역함수