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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [옥동수학학원][더플러스수학]##[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1
    수학과 공부이야기 2019. 12. 11. 20:26

    직선의 표현

     
    중2에서 시작하자.  두 점 (1, 2), (3, 4)을 지나는 직선을 어떻게 구할까?
    먼저 직선은 y=ax+b 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 (1, 2), (3, 4)를 대입하면
    2=a+b4=3a+b
    위의 두 식을 연립하면 a=3, b=5이므로
    y=3x+5
    이다. 여기서 나의 고민은 "두 점을 지나는 직선"을 "세 점을 지나는 2차함수"로, "네 점을 지나는 3차함수로"로 계속 올라 간다면 계속 연립방정식을 풀어야 한다는 것이다.  꼭 일차함수는 y=ax+b로, 이차함수는 y=ax2+bx+c로, 삼차함수는 y=ax3+bx2+cx+d로 놓아야 하는가?
    이 부분은 나만의 고민? 그럴리가 없다. 옛날 사람들도 고민을 했고 그 답도 주어져 있다. 그것을 찾아가 보자.
    일차함수라 하면 y=ax+b로 놓는 데, 왜 일차식은 ax+b로 놓는 걸까?
     

    표준기저 기저

    모든 일차이하의 다항식은 실수 a, b에 대하여 1, x의 일차결합-이 용어는 몰라도 된다. 걍-즉 a×x+b×1로 표현할 수 있다. 이 때, 1, x를 다항식의 표준기저(standard basis)라고 한다.
    여기서 다항식의 표준기저(basis)란 무엇인가? 벡터공간, 일차독립, 일차종속 등등 너무 깊이는 들어가지 말자.
    일차이하의 다항식의 집합에서 표준기저를 설명하고 이를 확장하여 기저를 일반화하자.
    먼저 일차이하의 다항식 집합에서 1, x가 다음 두가지 조건을 만족할 때를 1, x기저라고 한다.
    (1) 모든 실수 x에 대하여 a×x+b×1=0이면 a=0, b=0이다. (일차독립)
    (2) 일차이하의 다항식의 집합의 임의의 원소 p(x)p(x)=a×x+b×1을 만족시키는 실수 a, b가 존재한다. (생성)
     
    참고. (1)의 0은 상수함수 y=0이다. 일차이하의 다항식의 집합에서 덧셈에 대한 항등원은 y=0이기 때문이다.
    (2)에서 예를 들면 p(x)=2(x1)+3x이면 기저 x, 1의 일차결합 p(x)=ax+b에서 a=5, b=2이므로 p(x)p(x)=5x2로 표현된다. 또 이 때의 기저 x, 1의 계수의 순서쌍 (5, 2)p(x)의 좌표라고 말한다. 
    이차 이하의 다항식이라면 p(x)=3x22x5라면 이 p(x)의 좌표는 (3, 2, 5)이다.
    왜 이 기저 1, x를 표준기저라 할까? 그것은 일차이하의 다항식은 다 1, x로 쉽게 표현할 수 있기 때문이다. 걍 넘어가자. 우리는 일차식은 ax+b로 놓고 문제를 풀었잖아. 그러니 1, x를 표준기저라고 한다. 다른 기저를 우리가 알지 못하고 일차라고 하면 위의 처럼 썼으니까. 또 기저가 두개니까 2차원이라고 한다. 이것을 덤으로 이해하자. 일차이하의 다항식은 2차원, 이차이하의 다항식은 3차원......
     
    일차이하의 다항식의 기저는 1, x 밖에 없는가? 아니다. 기저는 무수히 많다. 위의 (1), (2) 조건을 만족하는 다항식은 모두 기저가 될 수 있다. 예를 들면 x1, x+2도 기저가 될 수 있다.
    먼저 (1) 조건을 보면
    모든 실수 x에 대하여 a(x1)+b(x+2)=0   (i)이 성립하려면 x=1, x=2일 때도 성립해야 하므로
    a(11)+b(1+2)=0,  
    a(-2-1)+b(-2+2)=0,~~\therefore~a=0
    이다. a=0,~b=0을 대입하면 (\mathrm{i})이 성립하므로 조건(1)을 만족한다. 다른 말로 x-1x+2는 일차독립이다.
    조건 (2)가 성립함을 보자.
    일차이하의 임의의 원소 p(x)는 표준기저 1,~x로 표현하면 px+q (p,~q \in \mathbb R이다. 이 p(x)x-1,~x+2의 실수배의 합으로(일차결합) 표현할 수 있고 그 표현 방법-좌표표현-은 오직 하나 임을 보이자.
    p(x)=px+q= a(x-1)+b(x+2)
    \begin{align} \therefore ~ &p=a+b\\&q=-a+2b\end{align}
    p,~q가 주어졌을 때, 위의 방정식을 만족하는 해는 오직 하나 존재한다. 왜냐하면 위의 연립방정식은 \frac{1}{-1} \neq \frac{1}{2}
    을 만족하기 때문이다.
    구체적인 예로 3x+2x-1,~x+2을 기저로 했을 때의 좌표를 구해보자. 즉
    3x+9= a(x-1)+b(x+2)
    \begin{align} \therefore ~ &3=a+b\\&9=-a+2b\end{align}
    방정식을 풀면 a=-1,~b=4이다. 따라서 3x+9의 좌표는 (\textcolor{red}{-1,~4})이다. 즉
    3x+9=\textcolor{red}{ -1}(x-1)+\textcolor{red}{4}(x+2)
    그럼 다 기저인가? 아닌 예는 x-1,~2x-2는 기저가 아니다. 먼저 (1)번 조건을 만족하지 않는다.
    a(x-1)+b(2x-2)=0
    이면 a=-2,~b=1일 때 위의 조건을 만족하므로 a=0,~b=0만 해인 것은 아니다.
    그러면 일차이하의 다항식의 기저는 p(x) \neq k q(x)~(k ~\in \mathbb R)을 만족하는 일차이하의 모든 다항식 p(x),~q(x)이다.
    예를 들면 (1) x-1,~x+2  (2) x-2,~1 등등..
    정리하면 (1) 일차이하의 다항식의 표준기저는 1,~x가 있다. 
                 (2) 일차이하의 다항식의 기저는 p(x) \neq k q(x)~(k ~\in \mathbb R)을 만족하는 일차이하의 모든 다항식 p(x),~q(x)이다.
    이것을 왜 배우는데 어렵게시리.....
    다시 처음으로 돌아가서 두 점 (\textcolor{red}{1},~2),~(\textcolor{red}{3},~-4)을 지나는 직선을 구해보자. 위의 처럼 표준기저 1,~x를 사용하지 않고 다르게!!!
    직선은 2차원이니까 나는 기저를 x-\textcolor{red}{1},~x-\textcolor{red}{3}으로 잡는다.
    따라서 직선은 y=a(x-\textcolor{red}{1})+b(x-\textcolor{red}{3}) 꼴로 나타낼 수 있고 이 식에 (1,~2),~(3,~-4)를 대입하면
    \begin{align}2&=(1-1)a+(1-3)b\\-4&=(3-1)a+(3-3)b\end{align}
    이므로 a=-2,~b= -1이므로
    y=-2(x-\textcolor{red}{1})-1(x-\textcolor{red}{3})=-3x+5
    이다.
    또 다르게 해 볼까?
    기저를  x-\textcolor{red}{3},~\textcolor{red}{1}로 잡으면 직선은 y=a(x-\textcolor{red}{3})+b\times\textcolor{red}{1} 꼴로 놓을 수 있고.......
    그런데 이것은 어디서 많이 보던 꼴인데 기울기가 a, (0,~b)를 지나는 직선을 위의 처럼 놓았는데....
    위의 식에 (1,~2)를 대입하여 a를 구하면 똑같은 답이 나온다.
     
     
    다음 예는 실력정석 연습문제 4-3번 문제이다.
    4-3
    다항식  f ( x) 를  x-1 로 나눈 나머지가  1 이고, x+1 로 나눈 나머지가  -1 일 때, 다항식  ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) 를  x ^ {2} -1 로 나눈 나머지를 구하여라.
     
    https://youtu.be/FzPw9rMS_Ig

     

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    정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.
     
    정답  4x-2
    ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) x ^ {2} -1 로 나눈 몫을 \mathrm Q  ( x) , 나머지를 ax+b 라고 하면
    ( x ^ {2} -2x+3)f ( x)= ( x ^ {2} -1) \mathrm Q  ( x)+ax+b
    양변에 x=1,~-1 을 대입하면
    2f ( 1)=a+b , 6f ( -1)=-a+b
    f ( 1)=1,~f ( -1)=-1
    이므로
    2 \times 1=a+b , 6 \times ( -1)=-a+b
    \therefore a=4,~b=-2
    정답 4x-2
     
    나는 다르게 풀고 싶다. 
    ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) x ^ {2} -1 로 나눈 몫을 \mathrm Q  ( x) , 나머지를 a(\textcolor{red}{x+1})+b( \textcolor{red}{x-1}) 라고 하면
    ( x ^ {2} -2x+3)f ( x)= ( x ^ {2} -1) \mathrm Q ( x)+ a(\textcolor{red}{x+1})+b( \textcolor{red}{x-1})

    양변에 x=1,~-1 을 대입하면
    2f ( 1)=2a,~ 6f ( -1)=-2b
    f ( 1)=1,~f ( -1)=-1
    이므로
    \therefore ~a=1,~b=3
    따라서 나머지는
      1 \times (\textcolor{red}{x+1})+3 \times ( \textcolor{red}{x-1}) =4x-2
     
    3차식에서 기저를 적용한 다음 문제를 한 번 보면 왜 필요한지 알 수 있다.
    https://plusthemath.tistory.com/358

    [질문과 답]삼차식을 (x+1)^2으로 나눈 몫과 나머지 같다.

    삼차의 다항식 \displaystyle f ( x) 가 다음 조건을 만족시킨다. \displaystyle f ( x) \displaystyle \left ( x+1 \right ) ^ {3} 으로 나눈 나머지를 \displaystyle R ( x) 라 하자. $\displaystyle..

    plusthemath.tistory.com

     
    다음편에서는 2차이하의 다항식의 기저들을 살펴보고 그것에 맞는 문제들을 풀어보도록 하자.

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