[옥동수학학원][더플러스수학]##[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1

직선의 표현

 
중2에서 시작하자.  두 점 $(1,~2),~(3,~-4)$을 지나는 직선을 어떻게 구할까?
먼저 직선은 $y=ax+b$ 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 $(1,~2),~(3,~-4)$를 대입하면
$$\begin{align}2&=a+b\\-4&=3a+b\end{align}$$
위의 두 식을 연립하면 $a=-3,~b= 5$이므로
$$y=-3x+5$$
이다. 여기서 나의 고민은 "두 점을 지나는 직선"을 "세 점을 지나는 2차함수"로, "네 점을 지나는 3차함수로"로 계속 올라 간다면 계속 연립방정식을 풀어야 한다는 것이다.  꼭 일차함수는 $y=ax+b$로, 이차함수는 $y=ax^2 +bx+c$로, 삼차함수는 $y=ax^3 +bx^2 +cx+d$로 놓아야 하는가?
이 부분은 나만의 고민? 그럴리가 없다. 옛날 사람들도 고민을 했고 그 답도 주어져 있다. 그것을 찾아가 보자.
일차함수라 하면 $y=ax+b$로 놓는 데, 왜 일차식은 $ax+b$로 놓는 걸까?
 

표준기저 기저

모든 일차이하의 다항식은 실수 $a,~b$에 대하여 $1,~x$의 일차결합-이 용어는 몰라도 된다. 걍-즉 $a \times x + b \times1$로 표현할 수 있다. 이 때, $$1,~x$$를 다항식의 표준기저(standard basis)라고 한다.
여기서 다항식의 표준기저(basis)란 무엇인가? 벡터공간, 일차독립, 일차종속 등등 너무 깊이는 들어가지 말자.
일차이하의 다항식의 집합에서 표준기저를 설명하고 이를 확장하여 기저를 일반화하자.
먼저 일차이하의 다항식 집합에서 $1,~x$가 다음 두가지 조건을 만족할 때를 $1,~x$를 기저라고 한다.
(1) 모든 실수 $x$에 대하여 $$a\times x+b \times1=0$$이면 $$a=0,~b=0$$이다. (일차독립)
(2) 일차이하의 다항식의 집합의 임의의 원소 $p(x)$는 $$p(x)=a\times x+b \times1$$을 만족시키는 실수 $a,~b$가 존재한다. (생성)
 
참고. (1)의 $0$은 상수함수 $y=0$이다. 일차이하의 다항식의 집합에서 덧셈에 대한 항등원은 $y=0$이기 때문이다.
(2)에서 예를 들면 $p(x)= 2(x-1)+3x$이면 기저 $x,~1$의 일차결합 $p(x)=ax+b$에서 $a=5,~b=-2$이므로 $p(x)$는 $$p(x)= 5x-2$$로 표현된다. 또 이 때의 기저 $x,~1$의 계수의 순서쌍 $(5,~-2)$를 $p(x)$의 좌표라고 말한다. 
이차 이하의 다항식이라면 $p(x)=3x^2 -2x-5$라면 이 $p(x)$의 좌표는 $(3,~-2,~-5) $이다.
왜 이 기저 $1,~x$를 표준기저라 할까? 그것은 일차이하의 다항식은 다 $1,~x$로 쉽게 표현할 수 있기 때문이다. 걍 넘어가자. 우리는 일차식은 $ax+b$로 놓고 문제를 풀었잖아. 그러니 $1,~x$를 표준기저라고 한다. 다른 기저를 우리가 알지 못하고 일차라고 하면 위의 처럼 썼으니까. 또 기저가 두개니까 $\textcolor{red}{2}$차원이라고 한다. 이것을 덤으로 이해하자. 일차이하의 다항식은 $2$차원, 이차이하의 다항식은 $3$차원......
 
일차이하의 다항식의 기저는 $1,~x$ 밖에 없는가? 아니다. 기저는 무수히 많다. 위의 (1), (2) 조건을 만족하는 다항식은 모두 기저가 될 수 있다. 예를 들면 $x-1,~x+2$도 기저가 될 수 있다.
먼저 (1) 조건을 보면
모든 실수 $x$에 대하여 $$a(x-1)+b(x+2)=0~~\cdots\cdots ~(\mathrm{i})$$이 성립하려면 $x=1,~x=-2$일 때도 성립해야 하므로
$$a(1-1)+b(1+2)=0,~~\therefore~b=0$$
$$a(-2-1)+b(-2+2)=0,~~\therefore~a=0$$
이다. $a=0,~b=0$을 대입하면 $(\mathrm{i})$이 성립하므로 조건(1)을 만족한다. 다른 말로 $x-1$과 $x+2$는 일차독립이다.
조건 (2)가 성립함을 보자.
일차이하의 임의의 원소 $p(x)$는 표준기저 $1,~x$로 표현하면 $px+q$ ($p,~q \in \mathbb R$이다. 이 $p(x)$는 $x-1,~x+2$의 실수배의 합으로(일차결합) 표현할 수 있고 그 표현 방법-좌표표현-은 오직 하나 임을 보이자.
$$p(x)=px+q= a(x-1)+b(x+2)$$
$$\begin{align} \therefore ~ &p=a+b\\&q=-a+2b\end{align}$$
$p,~q$가 주어졌을 때, 위의 방정식을 만족하는 해는 오직 하나 존재한다. 왜냐하면 위의 연립방정식은 $$\frac{1}{-1} \neq \frac{1}{2}$$
을 만족하기 때문이다.
구체적인 예로 $3x+2$의 $x-1,~x+2$을 기저로 했을 때의 좌표를 구해보자. 즉
$$3x+9= a(x-1)+b(x+2)$$
$$\begin{align} \therefore ~ &3=a+b\\&9=-a+2b\end{align}$$
방정식을 풀면 $a=-1,~b=4$이다. 따라서 $3x+9$의 좌표는 $(\textcolor{red}{-1,~4})$이다. 즉
$$3x+9=\textcolor{red}{ -1}(x-1)+\textcolor{red}{4}(x+2)$$
그럼 다 기저인가? 아닌 예는 $x-1,~2x-2$는 기저가 아니다. 먼저 (1)번 조건을 만족하지 않는다.
$$a(x-1)+b(2x-2)=0$$
이면 $a=-2,~b=1$일 때 위의 조건을 만족하므로 $a=0,~b=0$만 해인 것은 아니다.
그러면 일차이하의 다항식의 기저는 $p(x) \neq k q(x)~(k ~\in \mathbb R)$을 만족하는 일차이하의 모든 다항식 $p(x),~q(x)$이다.
예를 들면 (1) $x-1,~x+2$  (2) $x-2,~1$ 등등..
정리하면 (1) 일차이하의 다항식의 표준기저는 $1,~x$가 있다. 
             (2) 일차이하의 다항식의 기저는 $p(x) \neq k q(x)~(k ~\in \mathbb R)$을 만족하는 일차이하의 모든 다항식 $p(x),~q(x)$이다.
이것을 왜 배우는데 어렵게시리.....
다시 처음으로 돌아가서 두 점 $(\textcolor{red}{1},~2),~(\textcolor{red}{3},~-4)$을 지나는 직선을 구해보자. 위의 처럼 표준기저 $1,~x$를 사용하지 않고 다르게!!!
직선은 $2$차원이니까 나는 기저를 $x-\textcolor{red}{1},~x-\textcolor{red}{3}$으로 잡는다.
따라서 직선은 $y=a(x-\textcolor{red}{1})+b(x-\textcolor{red}{3})$ 꼴로 나타낼 수 있고 이 식에 $(1,~2),~(3,~-4)$를 대입하면
$$\begin{align}2&=(1-1)a+(1-3)b\\-4&=(3-1)a+(3-3)b\end{align}$$
이므로 $a=-2,~b= -1$이므로
$$y=-2(x-\textcolor{red}{1})-1(x-\textcolor{red}{3})=-3x+5$$
이다.
또 다르게 해 볼까?
기저를  $x-\textcolor{red}{3},~\textcolor{red}{1}$로 잡으면 직선은 $$y=a(x-\textcolor{red}{3})+b\times\textcolor{red}{1}$$ 꼴로 놓을 수 있고.......
그런데 이것은 어디서 많이 보던 꼴인데 기울기가 $a$, $(0,~b)$를 지나는 직선을 위의 처럼 놓았는데....
위의 식에 $(1,~2)$를 대입하여 $a$를 구하면 똑같은 답이 나온다.
 
 
다음 예는 실력정석 연습문제 4-3번 문제이다.
4-3
다항식 $ f ( x) $를 $ x-1 $로 나눈 나머지가 $ 1 $이고, $ x+1 $로 나눈 나머지가 $ -1 $일 때, 다항식 $ ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) $를 $ x ^ {2} -1 $로 나눈 나머지를 구하여라.
 
https://youtu.be/FzPw9rMS_Ig

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정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.
 
정답 $ 4x-2 $
$ ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) $를$ x ^ {2} -1 $로 나눈 몫을 $ \mathrm Q  ( x) $, 나머지를 $ ax+b $라고 하면
$ ( x ^ {2} -2x+3)f ( x)= ( x ^ {2} -1) \mathrm Q  ( x)+ax+b $
양변에$ x=1,~-1 $을 대입하면
$ 2f ( 1)=a+b $, $ 6f ( -1)=-a+b $
$ f ( 1)=1,~f ( -1)=-1 $
이므로
$ 2 \times 1=a+b $, $ 6 \times ( -1)=-a+b $
$ \therefore a=4,~b=-2 $
정답$ 4x-2 $
 
나는 다르게 풀고 싶다. 
$ ( x ^ {2} -2x+3)f ( x) $를$ x ^ {2} -1 $로 나눈 몫을 $ \mathrm Q  ( x) $, 나머지를$ a(\textcolor{red}{x+1})+b( \textcolor{red}{x-1}) $라고 하면
$ ( x ^ {2} -2x+3)f ( x)= ( x ^ {2} -1) \mathrm Q ( x)+ a(\textcolor{red}{x+1})+b( \textcolor{red}{x-1}) $

양변에$ x=1,~-1 $을 대입하면
$ 2f ( 1)=2a,~ 6f ( -1)=-2b $
$ f ( 1)=1,~f ( -1)=-1 $
이므로
$ \therefore ~a=1,~b=3 $
따라서 나머지는
$$  1 \times (\textcolor{red}{x+1})+3 \times ( \textcolor{red}{x-1}) =4x-2$$
 
3차식에서 기저를 적용한 다음 문제를 한 번 보면 왜 필요한지 알 수 있다.
https://plusthemath.tistory.com/358

[질문과 답]삼차식을 $(x+1)^2$으로 나눈 몫과 나머지 같다.

 
다음편에서는 2차이하의 다항식의 기저들을 살펴보고 그것에 맞는 문제들을 풀어보도록 하자.

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