[질문과 답] $(x+2)^2$으로 나눈 나머지, $(x+3)^2$으로 나눈 나머지....

[질문] 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2 $인 삼차다항식 $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+2 \right ) ^ {2} $으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 3x-2 $이고, $\displaystyle x+1 $로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle 4 $이다. $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+2 \right ) ^ {3} $으로 나누었을 때의 나머지를 $\displaystyle R ( x) $라고 했을 때, $\displaystyle R ( 2) $의 값을 구하시오.

https://youtu.be/mKH3GrmPEbw

[답] 상수 $\displaystyle a,~b,~c $에 대하여 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2 $인 삼차다항식 $\displaystyle f ( x) $를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle f ( x)=2 \left ( x+2 \right ) ^ {3} +a \left ( x+2 \right ) ^ {2} +b \left ( x+2 \right ) +c $

또, $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+2 \right ) ^ {2} $으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 3x-2 $이므로 위의 식을 변형하면

$\displaystyle \begin{align} f ( x) &=2 \left ( x+2 \right ) ^ {3} +a \left ( x+2 \right ) ^ {2} +b \left ( x+2 \right ) +c \\& = \left ( x+2 \right ) ^ {2} \left\{ 2 \left ( x+2 \right ) +a \right\} +b \left ( x+2 \right ) +c \\& = \left ( x+2 \right ) ^ {2} \left\{ 2 \left ( x+2 \right ) +a \right\} +3 \left ( x+2 \right ) -8 \end{align}$

또, $\displaystyle f ( -1)=4 $이므로

$\displaystyle f ( -1)=1 ^ {2} \left\{ 2 \times 1+a \right\} +3 \times 1-8=4 $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle a=7 $

$\displaystyle \therefore ~ f ( x) =2 \left ( x+2 \right ) ^ {3} +7 \left ( x+2 \right ) ^ {2} +3 \left ( x+2 \right ) -8 $

$\displaystyle R ( x)=7 \left ( x+2 \right ) ^ {2} +3 \left ( x+2 \right ) -8 $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle R ( 2)=116 $