[질문과 답] $z^{10} =\bar{z}$인 실수가 아닌 복소수에 대하여....

 

 

(질문) 실수가 아닌 복소수 $\displaystyle z $에 대하여 $\displaystyle z ^ {10} - \overline {z} =0 $일 때, $\displaystyle 1+z+z ^ {2} + \cdots +z ^ {21} +z ^ {22} $의 값을 구하시오.

 

https://youtu.be/M3PYqdiaf0Q

 

 

 

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[정답] $\displaystyle 1 $

[풀이] $\displaystyle z ^ {10} = \overline {z} $에서 양변에 $\displaystyle \overline {z} ^ {10} =z $

를 곱하면

$\displaystyle \left ( z \overline {z} \right ) ^ {10} =z \overline {z} $

$\displaystyle z $는 $\displaystyle 0 $이 아니므로 $\displaystyle z \overline {z} >0 $인 실수

따라서 $\displaystyle z \overline {z} =1 $

$\displaystyle z ^ {10} = \overline {z} $의 양변에 $\displaystyle z $를 곱하면

$\displaystyle z ^ {11} =z \overline {z} =1 $

$\displaystyle 1+z+z ^ {2} + \cdots +z ^ {21} +z ^ {22} $$\displaystyle = \frac {z ^ {23} -1} {z-1} = \frac { ( z ^ {11} ) ^ {2} z-1} {z-1} = \frac {z-1} {z-1} =1 $