[더플러스수학] 2008학년도 서울대 특기자 심층면접 (일반전형)

[2008 서울대 특기자]

(1). 양수 $ a,~b,~c $에 대하여

$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } =} A $

인 극한값 $ A $를 구하라.

(2). $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } =0} $$임을 보이고

$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {~n ^ {k} \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } } $

가 $ 0 $이 아닌 극한값을 가지는 $ k>0 $를 구하라.

(참고: 만일 $ 0<a<1 $이면 $ 1+ax- \frac {1} {2} a ( 1-a)x ^ {2} \leq ( 1+x) ^ {a} \leq 1+ax $이다.)

(3). $ 0<a<b<c $일 때

$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -A} {B _ {n} } } $

이 $ 0 $이 아닌 극한값을 가지는 수열 $ B _ {n} = \frac {1} {n} r ^ {n} $에서 상수 $ r $을 구하라

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