[더플러스수학] 2006학년도 고려대 수리논술

 

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[2006학년도 고려대 수시2]

그림과 같이 정사각형 모양을 이루며 나열되어 있는 $ ( n+2) ^ {2} $개의 점들 중에서 네 점을 꼭짓점으로 하는 임의의 정사각형을 생각하자. 그림에서 정사각형 $ P _ {1} $과 같이 각 변이 수평 또는 수직인 것을 “똑바른 정사각형”이라 하고, 정사각형 $ P _ {2} $와 같이 그렇지 못한 것을 “비스듬한 정사각형”이라 하자.(단, $ n \geq 1 $)

[논제1] 한 변위에 $ ( k+2) $개의 점이 놓여 있는 똑바른 정사각형의 개수를 구하시오.(단, $ 1 \leq k \leq n $)

[논제2] 한 변위에 $ ( k+2) $개의 점이 놓여 있는 똑바른 정사각형 하나에 대하여, 그 변위의 점들을 꼭짓점으로 하는 비스듬한 정사각형의 개수를 구하시오. (단, $ 1 \leq k \leq n $)

[논제3] 비스듬한 정사각형의 개수를 $ a _ {n} $이라 할 때, 다음이 성립함을 보이시오.

$$ a _ {n} =1 \cdot n ^ {2} +2 \cdot ( n-1) ^ {2} +3 \cdot ( n-2) ^ {2} + \cdots +n \cdot 1 ^ {2} $$

[논제4] 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {a _ {n} } {n ^ {4} } } $을 구하시오